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量子 I · 波函数与基本框架

对标：Griffiths QM §1–3 ｜前置：泛函 II（Hilbert 空间——量子力学的数学就是它）、em-03（经典原子之死）、概率线量子力学的公理体系一页立齐：态 = Hilbert 空间矢量、观测量 = 自伴算符、测量 = 谱投影 + Born 概率、演化 = Schrödinger 方程。你的泛函分析在此整体变现——量子力学是 Hilbert 空间理论的物理实例化。

图 qm-01.1Stern–Gerlach：非均匀磁场把银原子束分成上下两束：自旋量子化 + 测量塌缩的实验图。

1. 为什么必须量子（三条实验判决）

黑体辐射（sm-03：能量量子 \(\hbar\omega\)）；光电效应（光子 \(E = \hbar\omega\)——光的粒子性）；电子双缝干涉（单个电子逐个发射仍积累出干涉条纹——物质的波动性，de Broglie \(p = \hbar k\)）。合并：微观对象既非经典粒子也非经典波——需要新框架。

2. 公理体系（配泛函语言对照）

公理	内容	泛函分析对应
态	归一化矢量 \(\lvert\psi\rangle \in \mathcal H\)（相位不物理）	Hilbert 空间（泛函 II）
观测量	自伴算符 \(\hat A\)	谱定理保实谱+正交本征系（泛函 III）
测量	得本征值 \(a_n\)，概率 \(\lvert\langle a_n\vert\psi\rangle\rvert^2\)（Born 规则），测后塌缩到本征态	正交投影（泛函 II 投影定理）
演化	\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\lvert\psi\rangle = \hat H\lvert\psi\rangle\)	酉群 \(e^{-i\hat Ht/\hbar}\)（保范——概率守恒）

位置表象：\(\psi(x) = \langle x\vert\psi\rangle\)，\(\hat x = x\)、\(\hat p = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\)，\(|\psi(x)|^2\) = 概率密度（\(\mathcal H = L^2\)——实变 III 的空间是量子态的家）。正则对易关系：

\[ [\hat x, \hat p] = i\hbar \]

（mech-03 的字典 \(\{q,p\} = 1 \to \frac{1}{i\hbar}[\hat x,\hat p]\) 兑现——经典力学按泊松括号整体翻译。）

期望值与演化：\(\langle A\rangle = \langle\psi|\hat A|\psi\rangle\)；Ehrenfest 定理【推导】（Schrödinger 方程代入求导一行）：\(\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat A, \hat H]\rangle\)——期望值走经典方程（对应原理的定理形态；与经典 \(\frac{df}{dt} = \{f, H\}\) 逐字平行）。

3. 不确定性原理（定理，非哲学）

定理（Robertson）【推导】 对任意态：

\[ \sigma_A\,\sigma_B \;\geq\; \frac{1}{2}\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| \]

证：对 \(|f\rangle = (\hat A - \langle A\rangle)|\psi\rangle\)、\(|g\rangle = (\hat B - \langle B\rangle)|\psi\rangle\) 用 Cauchy–Schwarz（全站第 N 次），取虚部整理出对易子。\(\blacksquare\) 代 \([\hat x, \hat p] = i\hbar\)：

\[ \sigma_x\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} \]

读法：不是测量技术的缺陷，是非对易算符没有共同本征态的数学事实；Fourier 对偶（数分 IV：窄函数宽频谱）的物理化身——位置与动量互为 Fourier 变换的表象。

4. 定态与一般解法

分离变量（pde-01 的方法在量子的主场）：\(\hat H\psi_n = E_n\psi_n\)（定态 Schrödinger 方程——自伴算符的本征值问题：能级 = 谱，泛函 III 的语言完全接管），一般解

\[ \Psi(x, t) = \sum_n c_n\,\psi_n(x)\,e^{-iE_nt/\hbar}, \qquad c_n = \langle\psi_n|\Psi(0)\rangle \]

——正交展开（泛函 II Fourier 展开的量子版）：解量子问题 = 求谱 + 展开初态。定态的 \(|\Psi|^2\) 不随时间变（名字的由来）；动力学来自能级间的相位差拍（例 3）。

5. 练习与要点

例 1（Born 规则手算） \(\Psi = \frac{1}{\sqrt2}\psi_1 + \frac{1}{\sqrt2}\psi_2\)：测能量得 \(E_1, E_2\) 各半概率；测后塌缩——再测必得同值（投影的幂等性）。期望 \(\langle H\rangle = \frac{E_1+E_2}{2}\) 但单次测量永远得不到这个值——期望值 ≠ 可能读数：量子概率的第一课。

例 2（不确定性数量级） 电子限制在原子尺度 \(\sigma_x \sim 10^{-10}\) m：\(\sigma_p \geq \frac{\hbar}{2\sigma_x}\) ⇒ 动能 \(\sim\frac{\sigma_p^2}{2m} \sim\) eV 级——原子的尺寸-能量刻度由不确定性原理锁定（电子不塌进核：压得越紧动能越贵——em-03 经典塌缩悖论的量子解答）。

例 3（相位差拍） 上例叠加态的 \(|\Psi(x,t)|^2\) 含 \(\cos\frac{(E_2 - E_1)t}{\hbar}\) 项——概率密度以 Bohr 频率振荡："能级差 = 跃迁频率"（光谱线的出处，atom-01 收线）。\(\blacksquare\)

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