现代 PDE III · 椭圆方程的弱解理论

对标：Evans PDE §6.1–6.3 ｜ 前置：pde2-01/02、泛函 II 现代 PDE 的标准作业流程在本页完整走一遍：弱形式化 → Lax–Milgram 给存在唯一 → 能量估计 → 正则性升级。这套"先在弱空间里赢、再逐步赎回光滑性"的战略，是二十世纪分析学最成功的方法论之一。

1. 弱形式：把方程变成积分等式

样板问题（Dirichlet）：

对测试函数 \(v \in H_0^1\) 乘方程、分部积分（边界项被 \(v|_{\partial\Omega} = 0\) 杀死）：

定义（弱解）：满足上式的 \(u \in H_0^1\)。只需一阶弱导数——比经典解的 \(C^2\) 便宜两个数量级；边界条件内化在空间 \(H_0^1\) 里（pde2-02 迹定理的安排）。一般椭圆算子 \(-\mathrm{div}(A\nabla u) + cu\) 同构，双线性形式 \(B[u,v] = \int A\nabla u\cdot\nabla v + cuv\)。

2. Lax–Milgram 定理（存在唯一性的发动机）

定理（Lax–Milgram） Hilbert 空间 \(H\) 上的双线性形式 \(B\) 若满足 （i）有界：\(|B[u,v]| \leq \beta\|u\|\|v\|\)；（ii）强制（coercive）：\(B[u,u] \geq \alpha\|u\|^2\)， 则对每个有界线性泛函 \(F\)，存在唯一 \(u \in H\) 使 \(B[u, v] = F(v)\ \forall v\)，且 \(\|u\| \leq \frac{1}{\alpha}\|F\|\)。

【证明】 ① 固定 \(u\)，\(v \mapsto B[u,v]\) 有界线性 ⇒ Riesz 表示（泛函 II）给算子 \(Au\)：\(B[u,v] = \langle Au, v\rangle\)；\(A\) 线性有界（(i)）。② 强制性给 \(\alpha\|u\|^2 \leq \langle Au, u\rangle \leq \|Au\|\|u\|\) ⇒ \(\|Au\| \geq \alpha\|u\|\)：\(A\) 单射且值域闭（Cauchy 列拉回）。③ 值域稠密：若 \(w \perp \mathrm{ran}A\) 则 \(\alpha\|w\|^2 \leq B[w,w] = \langle Aw, w\rangle = 0\) ⇒ \(w = 0\)。闭 + 稠 = 满射。④ \(F\) 用 Riesz 表示成 \(\langle w_F, \cdot\rangle\)，解 \(u = A^{-1}w_F\)；唯一性与界由 ②。\(\blacksquare\) （对称情形另有变分证明：\(u = \arg\min \frac12 B[v,v] - F(v)\)——弱解 = 能量极小元，Dirichlet 原理的严格版；非对称时 L–M 正是"没有变分结构也能活"的价值所在。）

应用到样板：\(B[u,v] = \int\nabla u\cdot\nabla v\) 在 \(H_0^1\)（范数取 \(\|\nabla u\|_{L^2}\)）上：有界 = Cauchy–Schwarz；强制 = Poincaré 不等式（pde2-02 §3 在此交货——\(B[u,u] = \|\nabla u\|^2 \gtrsim \|u\|_{H^1}^2\)）⇒ 对每个 \(f \in L^2\)（甚至 \(H^{-1}\)），弱解存在唯一且 \(\|u\|_{H_0^1} \leq C\|f\|\)——存在、唯一、稳定（连续依赖），Hadamard 适定性三条一次交齐（本科 pde-01 的悬念闭环）。

3. 能量估计与正则性：赎回光滑

弱解只有一阶导数——它"配得上"更多吗？

定理（内正则性）【骨架】 \(f \in L^2 \Rightarrow u \in H^2_{loc}\)，且 \(\|u\|_{H^2_{loc}} \leq C(\|f\|_{L^2} + \|u\|_{L^2})\)。 思路（差商法，Nirenberg）：用平移差商 \(D^h u = \frac{u(x+he) - u(x)}{h}\) 当测试函数的原料代入弱形式，能量估计给 \(\|\nabla D^hu\|_{L^2}\) 关于 \(h\) 一致有界 ⇒ 差商弱收敛的极限即二阶弱导数（"差商有界 ⇒ 导数存在"的 \(L^2\) 版）。\(\blacksquare\)

自举（bootstrap）：\(u \in H^2\) 使方程可逐项再差商 ⇒ \(f \in H^k \Rightarrow u \in H^{k+2}_{loc}\)；配合 Sobolev 嵌入（pde2-02：\(H^k\)，\(k\) 大 ⇒ 连续可微）：\(f \in C^\infty \Rightarrow u \in C^\infty\)——椭圆算子把数据的光滑性"加二传递"（椭圆正则性：解永远比数据好两阶——热方程的无穷光滑化、复变解析函数的无穷可导都是这个家族的成员）。边界正则性需边界平坦化，结论同型【引用】。

谱理论闭环【骨架】：解算子 \(T: f \mapsto u\) 是 \(L^2 \to H_0^1 \hookrightarrow L^2\) 的复合——Rellich 紧嵌入（pde2-02）使 \(T\) 紧且对称正 ⇒ 泛函 III 紧自伴谱定理：存在特征值 \(0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \to \infty\) 与 \(L^2\) 正交基特征函数。本科 pde-01 分离变量法的合法性证明书在此正式签发（那页引用的 Sturm–Liouville 理论即本段的一维情形）。

4. 现代 PDE 三页资产盘点

（工程出口一嘴：有限元方法 = 在 \(H_0^1\) 的有限维子空间里解同一个弱形式——Galerkin 投影；Céa 引理说误差 = 最佳逼近误差的常数倍。弱解理论不是抽象洁癖，是 FEM 工业的直接地基【引用】。）

5. 练习与要点

例 1（L–M 条件检查） \(-\Delta u + cu = f\)，\(c(x) \geq 0\)：\(B[u,u] = \|\nabla u\|^2 + \int cu^2 \geq \|\nabla u\|^2\)——强制性照旧（\(c \geq 0\) 白送）；若 \(c < -\lambda_1\)（首特征值）强制性破产——共振：\(c = -\lambda_k\) 时解不唯一/不存在（Fredholm 择一【引用】），本科 ode-02 共振现象的椭圆版。

例 2（弱解亲手验证） 一维 \(-u'' = 1\) 于 \((0,1)\)、零边界：\(u = \frac{x(1-x)}{2}\)；验证弱形式 \(\int u'v' = \int v\) 对 \(v \in C_c^\infty\)（分部积分）——最小的完整弱解实例，值得写全。

例 3（正则性的边界失效） L 形域（内角 \(\frac{3\pi}{2}\)）上 \(\Delta u = f\) 光滑数据：角点处 \(u \sim r^{2/3}\)——不在 \(H^2\)：内正则性 ✓ 而边界角点破坏全局正则性（FEM 在角点要加密网格的数学原因）。"正则性理论的边界条件"本身就是工程知识。\(\blacksquare\)

概率与分析线九门全部完卷（测度概率/高维概率/随机分析/现代 PDE）。接下来：统计与学习线——渐近统计、统计学习理论、MDP。