基础衔接 14 · 纤维与基变换：两个点怎样合成一个双点

两个解在原点撞成一个以后，另一个解真的消失了吗？

1. 纤维不是把点画在竖线上，而是做一次张量积

设仿射态射

来自反向环同态 \(B\to A\)。对底空间中的点 \(p\in\operatorname{Spec}B\)，它的剩余域记为 \(\kappa(p)\)。概形论纤维定义成纤维积

仿射纤维积把箭头翻回环上的张量积，因此

这比集合论原像多做了一件关键的事：不仅找出哪些素理想落在 \(p\) 上，还保留商环中的幂零元、剩余域和重数信息。

本讲的固定模型是

在闭点坐标上，它对应

下面先算底空间闭点 \(p_a=(t-a)\) 的纤维，其中 \(a\in\mathbb C\)。因为 \(\kappa(p_a)=\mathbb C\)，且 \(t\) 在剩余域中变成 \(a\)，

所以“令 \(t=a\)”不是随意代值，而是张量积化成商环后的结果。

2. 非零闭纤维：两个不同的约化点

若 \(a\ne0\)，在 \(\mathbb C\) 中选平方根 \(r\)，使 \(r^2=a\)。于是

因为 \(r\ne0\) 且复数域特征不是 2，两个根不同，理想 \((x-r)\) 与 \((x+r)\) 互素。中国剩余定理给出

因此每个非零复闭点纤维含两个不同闭点 \(x=r,-r\)，每一点都是约化的，局部长度各为 1。

若实验只让 \(a\) 沿实轴移动，\(a>0\) 时两根落在实轴，\(a<0\) 时两根落在虚轴；但底域仍是 \(\mathbb C\)，所以负的实参数也有两个复闭点。不能把“没有实根”误写成“纤维为空”。

3. 零闭纤维：只有一个点，却仍保留长度 2

令 \(a=0\)，纤维环变成

它只有一个素理想 \((x)\)：每个素理想都必须包含幂零元 \(x\)，而商掉 \((x)\) 后只剩域 \(\mathbb C\)。因此底层拓扑空间只有一个闭点。

但 \(x\) 在 \(R_0\) 中不为零，只满足 \(x^2=0\)。所以该纤维不是约化点 \(\operatorname{Spec}\mathbb C\)，而是带有一阶无穷小方向的双点。作为复向量空间，

更可算地，对任意闭纤维 \(R_a=\mathbb C[x]/(x^2-a)\)，以 \((1,\bar x)\) 为基，“乘以 \(\bar x\)”的矩阵是

当 \(a=0\) 时，这仍是非零矩阵，但平方为零。根图只显示一个原点，这个算符却直接暴露了该点上保留的幂零结构。

组成列

的两个相邻商都同构于 \(\mathbb C\)，故这个局部 Artin 环的长度为 2。这里“长度 2”不表示纤维的 Krull 维数是 2；它仍是零维概形，也不表示有两个无法区分的普通拓扑点。长度记录的是结构层中仍未消失的代数厚度。

4. 为什么总长度不跳：源环本来就是秩 2 自由模

任意多项式都能唯一拆成偶次与奇次部分：

把 \(t\) 的作用解释为乘 \(x^2\)，就得到 \(\mathbb C[t]\)-模同构

所以 \(A\) 是秩 2 的自由 \(B\)-模，因而在本例中是平坦模。与任意点的剩余域张量后，

仍是二维 \(\kappa(p)\)-向量空间。对这里的有限复闭点纤维，这个维数就是总长度：

因此“所有闭纤维总长度为 2”不等于“每个闭纤维都有两个不同点”。平坦性在这个例子里容许两个点合并，只要特殊纤维用非约化结构保存丢失的长度。

这里只使用了“自由模推出平坦模”。一般情况下，凭几张纤维图或长度表不能自动证明一个态射平坦；有限平坦、平坦族的判据与纤维长度定理需要额外假设。

5. 闭点不是底空间的全部点

上面 \(a\in\mathbb C\) 描述的是 \(\operatorname{Spec}\mathbb C[t]\) 的闭点 \((t-a)\)。底空间还含泛点

泛纤维为

\(t\) 不是 \(\mathbb C(t)\) 中的平方：按不可约因子 \(t\) 计算零点阶数，\(t\) 的阶数为 1，而任意有理函数平方的零点与极点阶数都为偶数。因此 \(x^2-t\) 在该域上不可约；这个商本身是次数 2 的域扩张，泛纤维只有一个点，其剩余域却比 \(\mathbb C(t)\) 大二次。于是“非零纤维有两个点”必须严格读成“非零复闭点上的纤维有两个复闭点”，不能拿闭点图代替整个素谱。

6. 基变换：让平方根成为底空间上的坐标

现在用

改变底空间。拉回后的总空间是

其坐标环为

几何上出现两条分支

它们在 \((s,x)=(0,0)\) 相交。这里不能直接使用中国剩余定理宣称

因为两个理想的和是

它在原点仍是适当理想，并不等于整个环。换句话说，两条分支在原点没有分开。

只有把 \(s\) 变成可逆元，也就是删掉基底的原点后，\(2s\) 才可逆，两个理想才互素。此时中国剩余定理给出

两个线性因子各生成素理想，而且

所以取两条分支上的限制给出单射

它不是满射：像中的一对多项式在 \(s=0\) 必须取相同值。这个单射说明总空间 \(X'\) 本身是两条相交的约化直线；但它在 \(s=0\) 上的纤维仍是 \(\operatorname{Spec}\mathbb C[x]/(x^2)\)，是非约化双点。约化的总空间可以拥有非约化纤维，这两句话并不冲突。

哪些分支上的函数对确实来自总空间？

前面的单射有一个完整的像描述：恰好是满足 p(0)=q(0) 的多项式对 \((p(s),q(s))\)。必要性已由两分支共用原点说明。反过来，若 p(0)=q(0)，则 p−q 能被 s 整除，所以

都是多项式，而 \(h(s,x)=A(s)+xB(s)\) 在两分支上的限制正是 p、q。这给出了可直接执行的粘合公式。

例如 \((p,q)=(1+s,1-s)\) 来自 \(h=1+x\)；但 \((1,0)\) 在原点取值不同，不能来自总空间的一个正则函数。

删掉 s=0 后，最后这个函数对终于可以实现：

由 \(x^2=s^2\) 可验证 \(e_+^2=e_+\)、\(e_-^2=e_-\)、\(e_+e_-=0\)；它们分别限制为 \((1,0)\) 和 \((0,1)\)。这些幂等元正是直积两部分的投影函数。公式中的 \(1/s\) 显示了为什么它们不能直接穿过原点：分支交会处要求函数值一致。

7. 实验怎样读，哪些东西它没有画出

实验固定复数底域，只让闭点参数 \(a\) 沿实区间 \([-2,2]\) 移动。它会把 \(x^2=a\) 的根画在复平面上：负 \(a\) 给两个纯虚根，正 \(a\) 给两个实根，\(a=0\) 显示一个带长度 2 标记的双点。根轨迹只是闭点支撑的动画，不是完整概形，也没有画出泛点、局部环或所有素理想。

无脚本后备：

8. 两道迁移题

题一。 把模型改成 \(\mathbb C[t]\to\mathbb C[x]\)，\(t\mapsto x^3\)。证明源环是秩 3 自由模，并计算非零闭纤维与零闭纤维的支撑点数、约化性和总长度。若再作 \(t=s^3\) 的基变换，会看到什么？

题二。 把底域改为 \(\mathbb R\)，仍取 \(t=x^2\)。对实闭点 \(a>0,a=0,a<0\)，纤维是否分别有两个、一个、零个点？