基础衔接 11 · Zariski 切空间：一个普通点里能藏几条无穷小方向

同样只有一个点，为什么一个方向为零，另一个却有切向量？

1. 点集只回答“在哪里”，函数环还回答“怎样靠近”

对含单位交换环 \(A\)，仿射概形

的点是 \(A\) 的素理想。一个点 \(\mathfrak p\) 附近的函数由局部环

记录；它的极大理想为 \(\mathfrak m_{\mathfrak p}=\mathfrak pA_{\mathfrak p}\)，剩余域为

一般点的剩余域未必是底域。本讲限定 \(A\) 是有限生成 \(\mathbb C\)-代数，并只看闭点。Hilbert 零点定理保证这些闭点的剩余域就是 \(\mathbb C\)；在多项式坐标中，闭点 \((p_1,\ldots,p_n)\) 对应极大理想 \((x_1-p_1,\ldots,x_n-p_n)\)。

先比较

两个底层拓扑空间都只有一个点：第二个环中每个素理想都包含幂零元 \(\eta\)，所以唯一素理想是 \((\eta)\)。但 \(X_0\) 的点附近没有非零的消失函数，而 \(X_1\) 中 \(\eta\ne0\)、\(\eta^2=0\)。普通点集忘掉了这条一阶厚度。

2. 为什么要先除掉平方消失

在闭点 \(p\) 的局部环中，\(\mathfrak m_p\) 由所有在 \(p\) 消失的函数芽组成。乘积 \(fg\) 若 \(f,g\in\mathfrak m_p\)，就在该点至少二阶消失。只保留一阶信息，就是取余切空间

Zariski 切空间定义为它的复线性对偶：

对 \(X_0=\operatorname{Spec}\mathbb C\)，极大理想为零，所以 \(T_pX_0=0\)。对双数点 \(X_1\)，\(\mathfrak m=(\eta)\) 且 \(\mathfrak m^2=0\)，故 \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\) 由 \(\eta\) 的类生成，切空间维数为 1。两个空间的普通点集相同，切空间却不同。

“取对偶”把一阶消失函数变成测量方向的线性规则。一个切向量 \(v\) 接收函数 \(f\)，输出它沿该方向的一阶变化；任何二阶乘积都应输出零，所以规则必须经过 \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\)。

3. 双数把“一阶但没有更高阶”做成精确代数

令

闭点 \(p\) 给出求值同态 \(p^\#:A\to\mathbb C\)。点上的一个双数提升，是 \(\mathbb C\)-代数同态

使它模掉 \(\epsilon\) 后回到 \(p^\#\)。因此必可写成

乘法保持要求

也就是点 \(p\) 处的 Leibniz 规则。若 \(a,b\in\mathfrak m_p\)，两项的函数值都为零，所以 \(\delta(ab)=0\)；\(\delta\) 因而消掉 \(\mathfrak m_p^2\)，给出 \(\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2\) 上的线性泛函。

这里从 \(A\) 进入局部环还需核对分母。记闭点对应的极大理想为 \(\mathfrak p=\ker p^\#\)。若 \(s\notin\mathfrak p\)，则 \(p^\#(s)\ne0\)，而

在 \(D\) 中可逆，其逆为

因此局部化的通用性质让提升唯一延拓到 \(A_{\mathfrak p}=\mathcal O_{X,p}\)；这才使上面的局部环余切空间与双数提升严格接上。

反过来，给定 \(\ell:\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2\to\mathbb C\)，令

就得到满足 Leibniz 规则的 \(\delta\)，从而得到唯一双数提升。因此

这不是把 \(\epsilon\) 当成一个“很小但非零的实数”。\(\epsilon^2=0\) 是精确关系，它强制所有二阶及更高项消失。

4. Jacobian 核从多项式一阶展开直接出现

令

闭点 \(p=(p_1,\ldots,p_n)\) 满足所有 \(F_\alpha(p)=0\)。向量

对应候选提升

因为 \(\epsilon^2=0\)，多项式展开精确截断在一阶：

提升能穿过商环，当且仅当每个生成关系仍被送到零。又因 \(F_\alpha(p)=0\)，条件就是

于是

这里的 Jacobian 是所给定义方程在该点的一阶部分。它不是从画出的曲线“目测一条切线”，也不是数值微分近似。

5. 抛物线：代数切空间与熟悉切线一致

取

参数点 \(p_t=(t,t^2)\)。将

代入 \(F=y-x^2\)：

所以

梯度为 \(\nabla F(p_t)=(-2t,1)\)，永远非零，切空间维数始终为 1。参数曲线 \(t\mapsto(t,t^2)\) 的速度 \((1,2t)\) 正好张成这个核。在这里，Zariski 切空间与微积分中的切线相符。

6. 尖点：曲线一维，Zariski 切空间却在原点跳到二维

取尖点曲线

设 \(F=y^2-x^3\)。梯度为

所以切向约束是

当 \(t\ne0\) 时，这是一个非零线性方程，切空间维数为 1；等价地 \(b=(3t/2)a\)。但在尖点 \(t=0\)，

一阶约束变成 \(0=0\)，故

这不表示曲线在原点突然变成二维。坐标环

是超越次数 1 的整环，所以曲线维数为 1。这里使用了有限生成整域的 Krull 维数等于其分式域超越次数这一标准定理，本讲不证明它。切空间变大是在报告奇性：方程最低次数为二，没有线性项，一阶探针来不及看见约束。

也不要把二维 Zariski 切空间与实图像的割线极限混同。实参数点 \((t^2,t^3)\) 从原点看过去，斜率

所以实割线趋向 \(x\) 轴。要系统记录最低次齐次方程及重数，需要切锥等进一步工具；本讲只计算一阶 Zariski 切空间。

通过一阶检验的方向，未必能继续延长

在尖点原点，把一阶候选 \((a\epsilon,b\epsilon)\) 延长为

并改在 \(\mathbb C[\epsilon]/(\epsilon^3)\) 中检查。关系 \(y^2-x^3\) 的像是 \(b^2\epsilon^2\)，所以必须有 b=0；一阶允许的 \((0,1)\) 已被二阶测试排除。

即使取方向 \((1,0)\)，再多保留一阶也会失败：在模 \(\epsilon^4\) 的探针里，无论怎样加入高阶系数，y 的最低次数至少为二，而 \(x^3\) 的三次项为 \(\epsilon^3\)。因此 \(y^2-x^3\) 的三次项为 \(-\epsilon^3\)，无法消去。

这不否定二维 Zariski 切空间的计算。切空间按定义只检测第一阶；更高阶关系回答的是能否把该一阶方向延长。参数化 \((t^2,t^3)\) 在 t=0 的一阶速度恰好为零，也与这里的障碍一致。

多写一个冗余方程，与把方程平方不同

令 \(F=y-x^2\)。用 \((F,F^2)\) 定义的理想仍是 \((F)\)，第二个 Jacobian 行在曲线上为零，不改变第一行给出的切空间。但若只保留 \(F^2=0\)，理想变成 \((F^2)\)；普通复数点集仍是一条抛物线，然而在其每个点

所以这个加厚结构的 Zariski 切空间处处为二维。要检查“换了一组方程，答案是否不变”，必须确认定义的是同一个理想；仅仅零点集相同还不够。

7. 切空间仍然看不见全部厚度

再比较两个都只有一个闭点的局部 Artin 概形：

两者的极大理想都由 \(\eta\) 生成，而且

所以它们的 Zariski 切空间都为一维。然而坐标环作为 \(\mathbb C\)-向量空间的基分别为

局部 Artin 长度分别为 2 和 3。切空间只看 \(\mathfrak m/\mathfrak m^2\)，会忘记 \(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\) 中的二阶厚度。相同普通点和相同切维仍不足以判定两个概形相同。

8. 两道迁移题

题一。 取交叉曲线 \(X=V(xy)\subset\mathbb A^2_{\mathbb C}\)。分别计算原点、\((1,0)\) 与 \((0,1)\) 的 Zariski 切空间，并比较曲线维数。

题二。 为什么 \(Z_2=\operatorname{Spec}\mathbb C[\eta]/(\eta^2)\) 与 \(Z_3=\operatorname{Spec}\mathbb C[\eta]/(\eta^3)\) 有相同切维，却能被二阶截断探针 \(\mathbb C[\epsilon]/(\epsilon^3)\) 区分？