随机分析 I · 布朗运动：从高斯中点到粗糙路径

1. 定义里为什么必须单独写连续性

标准布朗运动是同一概率空间上的过程 \((B_t)_{t\ge0}\)，满足 \(B_0=0\)；任意不相交时间区间上的增量相互独立；对 \(0\le s\lt t\)，

并且存在一个概率为1的事件，使其中每条路径 \(t\mapsto B_t(\omega)\) 都连续。这里方差是时间长度，标准差是其平方根。

前三项确定全部有限维分布，却不自动确定连续样本路径。一个具体反例是：在布朗运动之外取独立的均匀随机时间U∈(0,1)，定义

对任何预先选好的有限个时间，U命中其中之一的概率为0，所以这两过程的有限维分布完全相同。但是每条修改后的路径都在自己的随机时间U突然多出1，因而不连续。不能把“每个固定时间都以概率1相等”直接换成“以概率1在所有时间同时相等”。若两个版本都连续，则在有理时刻取可数交，再用稠密性，才可得到所有时间同时相等。

关于信息，我们先使用自然过滤 \(\mathcal F_t^0=\sigma(B_s:0\le s\le t)\)。布朗增量独立于过去信息，是独立增量条件从有限个过去时刻通过单调类延伸的结果。以后说“相对于某过滤的布朗运动”，还要求这个独立性与适应性；任意加入未来信息的更大过滤可能破坏它。

2. 一个中点为什么需要 h/4 的方差

先看长度h的一段。若两个半段增量X、Y独立且均服从N(0,h/2)，定义总增量与中点残差

直接算出

S、R是联合高斯，所以不相关即独立。这个高斯特有的结论可从特征函数看出：均值μ、协方差Σ的高斯向量满足

协方差矩阵分块对角时，特征函数分解为各块的乘积，便得到独立性。一般非高斯向量不能只靠协方差为0得出独立。

因此，给定两个端点值a、b，中点可以按

生成，其中Z独立于已知端点信息。其条件均值是直线中点，条件方差是h/4。把标准差误写成√h，会使新细节方差放大四倍。

反过来，若S∼N(0,h)、Z∼N(0,1)独立，令R=√h·Z/2，两个新增量S/2+R与S/2−R均有方差h/2，协方差为h/4−h/4=0，故独立。这条反向计算让我们能从粗到细构造整个过程。

3. Lévy–Ciesielski 构造：每一层只加入新的帽子

在可数乘积概率空间上取相互独立的标准高斯变量 \(Z_*\) 和 \(Z_{m,k}\)，其中 \(m\ge0\)、\(0\le k\lt2^m\)。定义峰值为1的帽函数

最高生成网格为M时，有限折线为

M=0时只有从0到Z*的线段；M=1时加入中点；每提升一级，加入一层帽子。第m层帽子的支撑长度为2⁻ᵐ、峰值标准差为 \(2^{-m/2}/2\)，恰好符合上一节的h/4条件方差。旧dyadic节点位于新帽子的零点，因此保留不变。

用归纳证明每一级网格分布正确。假设粗网格各段增量独立且服从对应长度的中心高斯。对每一段加入独立的新Z；同一段的两个半增量由上一节可知独立，不同粗段则使用相互独立的旧增量与新变量。因此全部半段增量仍相互独立，方差为新的段长。起点M=0的增量Z*符合条件，归纳完成。

这证明了全部有限dyadic网格的分布，却还没有完成无限过程的构造。还必须证明帽子叠加会收敛到连续函数。

4. 可求和的层幅度，给出连续的无限极限

标准高斯的矩母函数为 \(\mathbb E e^{\lambda Z}=e^{\lambda^2/2}\)。对λ=u>0用Markov不等式，再对负尾同样处理，得到

第m层有2ᵐ个系数。选择常数C使 \(C^2/2\gt\log2\)，联合界给出

右边关于m可求和。Borel–Cantelli因此保证：在一个共同的概率1事件上，只有有限层超出阈值。把这些有限层吸收到一个随机有限常数Cω中，便有所有层同时满足的界

同一层的帽子支撑内部互不重叠，所以该层函数 \(F_m=\sum_k Z_{m,k}\phi_{m,k}\) 的统一范数恰为最大峰值，因而

连续函数的级数由此一致收敛到连续极限B。在概率0的坏事件上统一定义B为零路径即可。每条有限折线是有限个随机变量的可测函数；C[0,1]的统一范数可以在有理点上取上确界，所以其极限也是可测的连续函数值随机变量。这同时给出了单时刻可测性和路径解释。

在任一固定dyadic网格上，足够后面的帽子全为零，因此极限的节点值早已固定，具有第3节证明的高斯增量分布。对一般时间 \(t_1\lt\cdots\lt t_r\)，选有序dyadic近似趋近它们。连续性使增量向量几乎处处收敛；特征函数的模恒为1，可用有界收敛传递极限，得到

这正是独立中心高斯增量的联合特征函数。我们没有在没有一致可积性依据时直接交换二阶矩与随机极限。至此[0,1]上的布朗运动存在。再取独立副本逐个区间拼接，并在每段加上此前终点的累计值，即得到[0,∞)上的连续布朗运动。

还没采样的尾部能说多少？ 若停止于M，给第m=M+j层分配失败概率εⱼ=δ·2⁻ʲ⁻¹，令

上述联合界使该层最大系数超过c的概率不大于εⱼ。再次对全部未生成层求并，总失败概率不大于δ；成功事件上

令 \(r=2^{-1/2}\)。Cauchy–Schwarz与几何级数给出这串和的解析上界

它描述无限独立高斯延伸的概率，不保证某个已画样本的实际尾巴恰好小于该值。实验显示的是这个解析表达式的浮点参考值，没有将计算机对数和平方根的舍入结果冒称为严格区间算术证书。

5. 连续有多强：任意小于1/2的Hölder指数

第m层是分段线性的，斜率绝对值不超过 \(2^{m+1}\|F_m\|_\infty\)；即使经过折点，分段相加仍给出相同Lipschitz界。设h=|t−s|，选n使 \(2^{-n-1}\lt h\le2^{-n}\)。把层分成粗、细两部分：

粗层的斜率虽增加，却只积到n；细层虽无限多，幅度却几何衰减。用上一节的界，第一串和不超过常数倍 \(h\sqrt{n+1}\,2^{n/2}\)，第二串不超过常数倍 \(\sqrt{n+1}\,2^{-n/2}\)。它们都不超过随机常数倍

例如细层的估计可写m=n+j，用 \(\sqrt{n+j+1}\le\sqrt{n+1}\sqrt{j+1}\)，剩下可求和的几何衰减级数。粗层从最大m向后编号，也得到可求和几何级数。因此对每个0<α<1/2，因为 \(h^{1/2-\alpha}\sqrt{\log(e/h)}\) 在(0,1]上有界，路径是α-Hölder的。用有理α的可数集合和指数间的包含关系，可以让所有0<α<1/2在同一个概率1事件上成立。

为什么不能把“<”换成“≤”？若整段[0,1]存在常数K，使 \(|B_t-B_s|\le K|t-s|^{1/2}\)，则任何第m级网格的全部标准化增量都不超过K。它们是2ᵐ个独立标准高斯，所以这件事的概率不超过

对整数K取可数并，便排除了区间上的一致1/2-Hölder性；缩放并对有理端点取交，可排除每个非平凡区间。这里说的是整个区间统一控制所有点对，不能进一步偷换成“每个随机点都不具有局部1/2-Hölder性质”。后者涉及更细的异常点理论。

6. 处处不可微：怎样处理不可数多个候选点

只证明某个固定t的差商不收敛，不能自动对所有t同时下结论。我们把不可数个t压缩成每层有限个“三连段”事件。

假设某条路径在t∈[0,1)有有限右导数，则存在整数K和δ>0，使 \(|B_{t+u}-B_t|\le Ku\) 对0≤u≤δ成立。取h=2⁻ᵐ，设j=⌊t/h⌋+1；当m充分大时，右侧三个完整网格段

都在[0,1]内且端点距t不超过4h。三角不等式使每段增量绝对值不超过7Kh。即使t恰好落在网格点上，这个选法仍有效。在t=1若有有限左导数，改取末尾三个网格段，也得到不超过7Kh的界。

一个长度h的布朗增量满足

其中用到了标准高斯密度的最大值。三个不相交段的增量独立，联合概率至多是该界的三次方；一层至多有h⁻¹个候选起点，所以“存在一个合格三连段”的概率至多

这个上界关于m可求和。Borel–Cantelli排除了三连段事件发生无穷多次；任何一个有有限导数的t却会迫使所有充分细层都发生该事件，矛盾。再对整数K取可数并，便同时排除所有候选点。因此，以概率1，布朗样本路径在每一点都不可微；两个端点的相应一侧有限导数也被排除。对整数时间区间拼接，同样得到任意有限时间范围的结论。

这里排除的是有限的经典导数。没有把这个证明扩张为对全部单侧Dini导数取值的完整分类。

7. 二次变差：先算随机变量的误差，再谈路径极限

固定t>0，取确定性分割 \(\pi:0=t_0\lt\cdots\lt t_n=t\)，令hⱼ=tⱼ₊₁−tⱼ。各增量独立，服从N(0,hⱼ)。由标准高斯的二阶矩1、四阶矩3可得

因此，只要确定性分割的最大段长|π|趋于0，Q就以L²、从而以概率趋于t。这个结论不要求这些分割互相嵌套。

要得到几乎处处收敛，还需再走一步。对于把[0,t]均分成2ᴸ段的dyadic分割，方差为2t²·2⁻ᴸ。对任意ε>0，Chebyshev界

使Borel–Cantelli适用。先对ε=1/r、r∈N取可数交，就得到Qᴸ→t几乎处处。对有理端点区间也可这样做，并再次取可数交。

不能把这一步概括成“任何网格变细都逐路径收敛”。一般确定性分割有前述L²结论；某些更强的分割条件可以给出几乎处处结论，但需要相应证明。若分割由路径的未来行为选择，上面的独立高斯计算也不能原样套用。

还有一个读图陷阱：Qᴸ不是单调量。将一个粗增量d拆成d₁+d₂，粗平方与细平方之差为

两半增量同号或异号会给出不同方向；单个样本的Q可以上下波动。均值为t也不要求每个样本在每一层恰好等于t。实验把实际值、理想高斯模型的均值和方差分开记录。

8. 三笔账与两个不能交换的极限

在[0,1]的dyadic网格上，另外记

三角不等式使Vᴸ随嵌套网格加密而不减；路径连续使Mᴸ趋于0。若某条连续路径的总变差V有限，那么

布朗路径却在共同的概率1事件上有Qᴸ→1，所以它不可能有有限总变差。对所有有理端点的非平凡子区间重复这个论证，就得到几乎必然在每个非平凡区间上总变差无限。

增长量级也可以核算。对N=2ᴸ个独立N(0,1/N)增量，利用半正态分布的均值和方差，

因此 \(V_L/\sqrt N\) 以L²趋于√(2/π)，沿dyadic层还可用同样的可加尾概率得到几乎处处收敛。这里的线性变差V增长，平方变差Q稳定在非零量级，最大增量M缩小；把三者混在同一纵轴上，反而不容易看清。

现在固定一条M层有限折线，继续把每个线段分成q=2ᴸ⁻ᴹ段，L>M。每个新增量只是旧增量的1/q，因此严格的实数恒等式是

程序用实际节点重新计算三笔账，同时列出这些关系的浮点残差；没有把预期恒等式直接填进实际结果栏。对共同的Lévy构造，可以把两个极限次序明确写出：

第一个先把固定折线看得无限细；第二个先在固定测量网格上让真实布朗节点稳定下来，再加密测量。实验最多生成有限个高斯系数，不能用画面代替任一无限极限的证明。

同一组数还藏着一条能量恒等式。 在第m层把粗增量d分成d/2+a与d/2−a，两平方之和为d²/2+2a²；此处 \(a=2^{-(m+2)/2}Z_{m,k}\)。逐层相加、乘上相应2的幂，得到

这就是本构造中的Parseval恒等式，也能解释一个容易误读的实验现象：两种算法若使用同一组N个高斯数，最细层Q都会是它们平方和除以N；但一个把这些数当细增量，另一个把它们当帽系数，路径一般不同。相同的一个统计量不能证明两条路径相同。

9. 从条件高斯分布得到三种鞅

记W=Bₜ−Bₛ，它独立于过去信息、均值0、方差t−s。于是

对任意实数θ，高斯矩母函数还给出

各随机变量可积，因此Bₜ、Bₜ²−t、指数过程都是鞅。它们不是三条必须水平的样本曲线：“鞅”的内容是给定过去后的条件平均，不是每个实现都没有涨跌。

以后默认使用自然过滤的通常增广：先补零概率事件，再取右连续化。为什么独立增量仍成立？固定s，增广后的Fₛ包含于每个稍晚的已完备过去Fₛ₊ε；从s+ε开始的未来增量独立于它。令ε↓0，路径连续让有限个增量收敛，用有界连续函数传递独立性，再通过单调类扩展到全部相关事件。补入零概率事件也不改变条件期望的几乎处处等式。

有界停止时间也需要证明桥梁。 若连续鞅在固定有限时间H满足二阶矩条件，可先在有限dyadic网格使用离散Doob L²不等式，再让网格稠密；连续性与单调收敛给出

对有界停止时间T，用dyadic上取整Tₙ↓T，将Tₙ限制在一个略大的固定时间范围；离散有界OST给出\(\mathbb E[M_{T_n}]=\mathbb E[M_0]\)。上面的可积统一上界与连续性允许用支配收敛令n→∞。这为下一节使用连续指数鞅的有界OST提供依据；指数鞅在有限时间的二阶矩确实有限，因为高斯变量有全部实指数矩。

10. 停在随机时刻：强Markov与首达时间

确定时刻之后的增量独立，不自动等于任意随机时刻之后也独立。停止时间的条件保证：是否已经停止，只需看当时及过去的信息。

设T几乎处处有限，定义严格向上取整

这是只取可数个确定时刻的停止时间，且 \(\mathcal F_T\subseteq\mathcal F_{T_n}\)。对 \(A\in\mathcal F_T\)，在各事件{Tₙ=k2⁻ⁿ}上分开条件；这些事件与A的交属于确定时刻k2⁻ⁿ的过去。于是对任意有界连续函数g和固定未来时间u₁,…,uᵣ，

可数求和合法，因为g有界。路径连续与有界收敛允许n→∞；再用单调类把g扩展为有界可测函数，得到T之后的整个有限维增量分布是标准布朗分布且独立于 \(\mathcal F_T\)。路径连续、时间有理点可数且稠密，进一步将此提升为连续路径值随机变量的独立性。这就是强Markov性质。

一个会用到它的例子是反射原则。在停止时刻T之后把增量变号：由于新的布朗增量与过去独立，且B与−B同分布，拼接后的过程仍与原过程同分布。若T可能无限，先在固定观察范围H内使用T∧H，便得到所需的有限时间结论。

取a>0，令 \(\tau_a=\inf\{t\ge0:B_t=a\}\)，\(M_t=\max_{0\le s\le t}B_s\)。路径连续保证τₐ为停止时间。在第一次达到a之后反射，将“到过a、但终点低于a”的路径与“终点高于a”的路径配对；终点恰为a的概率为0。因此

这里Φ是标准高斯分布函数。t→∞时右边趋于1，所以τₐ几乎处处有限。对t求导，得到密度

“最终一定到达”并不意味着平均等候时间有限：t充分大时指数因子有正的常数下界，而 \(\int_1^\infty t\,t^{-3/2}\,dt=\infty\)，故Eτₐ=∞。

指数鞅还给出另一种可核对的结果。对λ>0取θ=√(2λ)，在τₐ∧n处停止。停止前B\(e^{\theta a}\)；在{τₐ>n}上，它甚至不超过 \(e^{\theta a-\lambda n}\)。利用有界OST和支配收敛，

即使尚未用反射证明τₐ有限，也可先约定 \(e^{-\lambda\infty}=0\) 得到这条式子，再令λ↓0，由单调收敛推出P(τₐ<∞)=1。这说明极限步骤不需要循环假设“首达时间已经有限”。λ=0由这个极限补上。

11. 四道练习：把图形直觉写成可以检查的式子

12. 从路径构造走向 Itô 积分

实验的有限最高层M提供了一个准确的有限高斯模型。其帽函数协方差为

在M层网格节点上，它等于min(s,t)。若s≤t位于同一最细小段[a,a+h]内部，线性插值却给出

右边正是尚未加入的桥的协方差。实验用实际帽函数求和和节点线性插值两条路线计算它，明确展示有限折线缺少的内容。

真正布朗运动连续、具有非零二次变差而总变差无限。这解释了为什么以有限变差为条件的经典Riemann–Stieltjes理论不能直接解决一般布朗积分；下一讲会从适应简单过程开始，证明Itô等距，再做L²完备化。符号 \((dB)^2=dt\) 是这些极限定理支持的计算记号，不是新加的一条普通代数公理。

再往后，Lévy刻画将说明：从0出发的连续局部鞅，若二次变差为t，就是相对于该过滤的布朗运动。这条刻画在本页作为后续定理引用，其证明要用已经建立的随机积分或等价的鞅工具；本页的存在性和不可微性没有借它循环论证。重对数律、精确连续模、局部时和SLE也各有额外内容，不能由有限模拟图自动推出。

参考与继续阅读。 Mörters–Peres, Brownian Motion，作者提供的书稿，第1章的构造与路径性质、第2章的强Markov和反射原则。下一页：Itô积分的L²构造。