矩阵分析 I · 范数、谱半径与扰动理论
对标：Horn & Johnson MA §5.6–5.8、§6.3、Weyl 定理 ｜ 前置：本科高代 V–VI、泛函 I、数值 I 矩阵分析 = 矩阵的"分析学"：极限、范数、扰动。本页三大件：Gelfand 公式（谱半径是渐近行为的唯一裁判）、Weyl 扰动定理（对称谱的完美稳定性）、Gershgorin 圆盘（谱的免费定位器）——全站多次引用的"谱半径决定长期行为"在此获得总证明。
1. 矩阵范数与谱半径
诱导范数 \(\|A\| = \sup_{\|x\|=1}\|Ax\|\)（次可乘 \(\|AB\| \leq \|A\|\|B\|\)）；谱半径 \(\rho(A) = \max|\lambda_i|\)。
基本不等式 \(\rho(A) \leq \|A\|\)（任何诱导范数；特征向量一行）。⚠️ 反向不成立：\(A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0& 0\end{pmatrix}\)，\(\rho = 0\) 而 \(\|A\|_2 = 1\)——非正规矩阵的范数与谱可以严重脱节（瞬态增长现象：\(\|A^k\|\) 可先涨后消——伪谱理论的入口【引用 Trefethen–Embree】）。
定理（Gelfand 公式）
【证明】 （\(\geq\)）\(\rho(A)^k = \rho(A^k) \leq \|A^k\|\)。（\(\leq\)）对任意 \(\varepsilon\)，\(B = A/(\rho + \varepsilon)\) 的谱半径 \(< 1\) ⇒ \(B^k \to 0\)（Jordan 形逐块验证：\(J^k\) 的元素是 \(\lambda^{k-j}\binom kj\) 型，\(|\lambda| < 1\) 时多项式×几何衰减归零——高代 V 的 Jordan 在此干活）⇒ \(\|B^k\|\) 有界，\(\|A^k\|^{1/k} \leq (\rho + \varepsilon)\cdot C^{1/k} \to \rho + \varepsilon\)。\(\blacksquare\)
推论（全站欠条的总清偿） \(A^k \to 0 \iff \rho(A) < 1\)；幂级数 \(\sum c_kA^k\) 的收敛判据以 \(\rho\) 为半径——迭代法收敛判据（数值 II）、Markov 链混合（随机过程）、AR 过程平稳性（时序）、离散动力系统稳定（ode-03）：四门课引用的"谱半径 < 1"是同一条 Gelfand。另一实用件：\(\forall\varepsilon\ \exists\) 范数使 \(\|A\| \leq \rho + \varepsilon\)（Jordan 基下加权——"谱半径是所有诱导范数的下确界"）。
2. 对称谱的扰动：Weyl 与 Davis–Kahan
定理（Weyl） 对称 \(A, E\)：
【证明】 Courant–Fischer 极小极大（\(\lambda_i = \min_{\dim S = n-i+1}\max_{x\in S}\frac{x^\top Ax}{x^\top x}\)——高代 VI Rayleigh 商的推广，本页顺带补全）：对同一子空间族，\(\frac{x^\top(A+E)x}{x^\top x}\) 与 \(\frac{x^\top Ax}{x^\top x}\) 逐点差 \(\leq \|E\|\)，min-max 保持不等式。\(\blacksquare\)
读法：对称特征值是"条件数为 1"的完美量——扰动多少、谱至多动多少（nla-02 引用的定理在此还账）；样本协方差谱因此可信到 \(\|\hat\Sigma - \Sigma\|\) 级（hdp-03 的谱界直接换算成特征值误差——三门课在一行不等式上接通）。
特征向量则不然（Davis–Kahan，\(\sin\Theta\) 定理陈述）【引用】：\(\sin\angle(v_i, \hat v_i) \lesssim \frac{\|E\|}{\text{gap}_i}\)——谱隙做分母：特征值挤在一起时方向失稳（nla-02 例 3 "PCA 单轴不可信"的定理出处）。"值稳定、向量看谱隙"六个字带走。
3. Gershgorin 圆盘（谱的免费定位）
定理 \(A\) 的每个特征值落在某个圆盘 \(D_i = \{z: |z - a_{ii}| \leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|\}\) 内。 【证明】 \(Ax = \lambda x\)，取 \(|x_i|\) 最大的分量：\(|\lambda - a_{ii}||x_i| = |\sum_{j\neq i}a_{ij}x_j| \leq |x_i|\sum|a_{ij}|\)。\(\blacksquare\)（两行定理，性价比之王。） 推论：严格对角占优 ⇒ 可逆（0 不在任何圆盘）——数值 II Jacobi/GS 收敛条件的一行证明补齐；连通版本（\(k\) 个圆盘的连通块恰含 \(k\) 个特征值）用于谱的分离论证【引用】。
4. 练习与要点
例 1（Gelfand 体感） \(A = \begin{pmatrix}0.9 & 10\\ 0 & 0.9\end{pmatrix}\)：\(\rho = 0.9 < 1\) 但 \(\|A\|_2 \approx 10\)——\(\|A^k\|\) 先冲高（\(k\cdot0.9^{k-1}\cdot10\) 型）至 \(k \approx 10\) 才衰减："最终收敛"与"过程平稳"是两回事（迭代法/RNN 的瞬态爆发同源；非正规性的实害一图看懂）。
例 2（Weyl 应用） 协方差估计误差 \(\|\hat\Sigma - \Sigma\| \leq 0.1\)：每个特征值误差 \(\leq 0.1\)——"解释方差前 5 名"的排序在特征值间隔 \(> 0.2\) 时保序（Weyl 两次）；间隔更小时排序不可信——PCA 报告的严谨措辞由此。
例 3（Gershgorin 速判） \(A = \begin{pmatrix}4 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}\)：圆盘 \([3,5], [1,5], [-4,0]\)——立即知道：可能有负特征值（第三盘）、谱 \(\subseteq [-4, 5]\)、且 \(\{-4\leq z\leq0\}\) 盘与前两盘不交 ⇒ 恰一个负特征值。不解特征方程的谱侦察。\(\blacksquare\)
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