抽象代数 II · 群作用、Sylow定理与可解性

学习层：同一个群，换一种作用就换一种问题

正方形可以旋转、反射。盯着一个顶点，问它能到哪里，得到轨道；问哪些操作让它不动，得到稳定子。现在把“一个顶点”换成“一个子群”，让对称操作通过共轭移动它，就会遇到正规化子和Sylow子群计数。

这两次计数使用的是同一条规则：到达多少种位置 × 每个位置有多少种到达方式 = 操作总数。但“固定一个点”与“固定所有点”不同，“保持一个子群不变”与“和其中每个元素交换”也不同。实验把这些集合完整列出，不只显示一个总数。

无脚本读法。 先比较固定记录中的轨道、稳定子与导出列，再下载完整乘法表、子群生成词、共轭像及商群证书。S₄的导出列能降到平凡群；A₅停在自身；S₅先降到A₅再停下。这里的计算验证这几个有限模型，任意有限群的定理仍由下面的证明负责。

固定运行：2026-09-11，Node 24.14.0 / darwin arm64。下载四份完整乘法表、子群列表、生成词与作用证书。S₃用H=〈(12)〉的左陪集，全群作用；A₄用首个Sylow 3子群作为作用者，共轭作用在全部Sylow 3子群上；S₄与A₅保留完整导出列及所有子群。具体置换编号、生成元与所选点写在每份参数中。

固定参数下的量	参考值
S₃群阶	6
S₃所选H的阶	2
S₃左陪集数量	3
S₃所选点稳定子的阶	2
S₃陪集作用核的阶	1
S₃所选H是否能定义商群	否
A₄实验作用者的阶	3
A₄实验各轨道大小	1,3
A₄实验全部固定点数	1
A₄实际Sylow 3子群数	4
S₄导出列各群阶	24,12,4,1
S₄是否可解	是
S₄导出长度	3
S₄全部子群数	30
S₄正规子群数（含平凡及全群）	4
A₅各共轭类大小	1,20,15,12,12
A₅是否为单群	是
A₅导出列末项阶	60
A₅是否可解	否
A₅全部子群数	59
A₅正规子群数（含平凡及全群）	2

作用核的阶为1表示核平凡。A₅的导出列停在非平凡的60阶群，因此不可解；它没有漏算后续步骤。子群总数来自完整闭包枚举，Sylow计数条件本身不给出所有子群数。

先选群，再选作用与作用者。作用者可用全群，也可用输入生成元生成的子群H。自然作用的“点标签”从1开始；实验的群元素、子群与作用点编号从0开始，完整对照表给出实际置换。陪集作用对任意H都有意义，陪集上的群乘法则要求H正规。

1. 轨道—稳定子：不是两个独立的计数技巧

左作用是满足 \(e\cdot x=x\)、\((gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\) 的规则。记

稳定子是子群：恒等元固定x；两个固定x的操作复合仍固定x；由g固定x可得其逆也固定x。映射

是双射。若 \(gG_x=hG_x\)，则 \(h^{-1}g\in G_x\)，所以两者给同一点；反过来也成立。这同时证明良定义与单射；满射来自轨道的定义。有限时便有

更具体地，若 \(t\cdot x=y\)，所有把x送到y的元素恰为左陪集 \(tG_x\)。因此每个位置的到达方式确实一样多。对于正方形的八阶对称群，某顶点的轨道有4点、稳定子有2元素；多出来的第二种方式是经过该顶点与对角顶点轴的反射。

作用核是 \(\ker\rho=\bigcap_xG_x\)，其中 \(\rho:G\to\operatorname{Sym}(X)\)。它是正规子群，因为核总在共轭下不变。核平凡叫忠实作用；所有稳定子平凡叫自由作用；只有一个轨道叫传递作用。三个概念不能互换：S₃在三个点上的自然作用忠实且传递，却不自由，因为一个点的稳定子有两个元素。

还可以数集合 \(\{(g,x):g\cdot x=x\}\)。按g数得 \(\sum_g|X^g|\)；按轨道数时，一个轨道贡献 \(|Gx|\,|G_x|=|G|\)。所以

这就是Burnside轨道计数公式。实验同时保留每个元素的固定点表与分子，不把平均值当成无需解释的按钮输出。

2. 共轭、正规化子与商群的条件

取作用 \(g\cdot x=gxg^{-1}\)，元素x的稳定子就是中心化子

因此共轭类大小为 \([G:C_G(x)]\)。单点共轭类恰好组成中心 \(Z(G)\)；将其余共轭类选代表元得到类方程

现在让G共轭作用于子群集合。H的稳定子变为

它要求集合H保持不变，可以在H内部交换元素；\(C_G(H)=\bigcap_{h\in H}C_G(h)\) 要求逐个元素不动。总有 \(C_G(H)\le N_G(H)\)，通常不相等。H的不同共轭子群个数为 \([G:N_G(H)]\)；H正规恰好对应这个轨道只有一个成员。

左陪集 \(G/H\) 总有左乘作用 \(g\cdot(xH)=(gx)H\)。它的核是 \(\bigcap_g gHg^{-1}\)，也称H在G中的核：若t固定每个xH，则 \(x^{-1}tx\in H\)；反之亦然。

若还要定义乘法 \((xH)(yH)=xyH\)，就必须检查代表元改变。H正规时，\(h_1y=yh_2\) 对某个 \(h_2\in H\) 成立，于是 \((xh_1)(yh_3)\in xyH\)，故良定义。反过来，若投影是群同态，其核H必正规。因此非正规H仍有陪集作用，却不能照搬这条公式变成商群。实验会给出一个共轭离开H的具体见证。

3. p群与Cauchy：先学会数固定点

设有限p群P作用在有限集合X上。每条轨道大小整除 \(|P|\)，故为p的幂；非单点轨道的大小都被p整除。于是

应用于P对自身的共轭作用，得到 \(|P|\equiv|Z(P)|\pmod p\)。非平凡p群的中心含恒等元且大小被p整除，所以至少有p个元素。

Cauchy定理。 若素数p整除有限群G的阶，则G有p阶元素。考虑

前p−1个元素任选，末项唯一，故 \(|T|=|G|^{p-1}\) 被p整除。循环移动各坐标保持T不变：原乘积为e时，移动后的乘积是 \(g_1^{-1}(g_1\cdots g_p)g_1=e\)。因此循环群Cₚ作用在T上。固定元正是 \((g,\ldots,g)\) 且 \(g^p=e\)。这类元个数被p整除，已有恒等元解，所以还有非恒等元解，其阶只能是p。

再看 \(|G|=p^2\)。中心大小为p或p²。若为p，\(G/Z(G)\) 的阶为p，因而循环。一般地，若 \(G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle\)，任意两元素都能写成 \(g^iz\)、\(g^jw\)，其中z、w居中，故相互交换。这迫使G阿贝尔，反而中心应是全群。因此p²阶群必阿贝尔。

中心非平凡不意味着群已经阿贝尔：八阶二面体群与四元数群的中心都只有两个元素。

4. Sylow存在性：寻找一个“不被p整除”的轨道

写 \(|G|=p^am\)，其中 \(p\nmid m\)。Sylow p子群是阶恰为 \(p^a\) 的子群。让G通过左乘作用于所有具有 \(p^a\) 个元素的子集，记该集合为X。

为什么X的大小不被p整除？在模p多项式环里，二项式系数 \(\binom pj\) 在 \(0\lt j\lt p\) 时被p整除，所以 \((1+t)^p=1+t^p\)。迭代a次可得

比较 \(t^{p^a}\) 系数便得

因此至少有一条G轨道的大小不被p整除，取其中一个子集A，其稳定子记H。轨道—稳定子公式迫使 \(|H|\) 含有全部因子 \(p^a\)。另一方面，H通过左乘作用在A上，而且是自由作用：\(ha=a\) 可消去a得到h=e。因此A分解成每条大小为 \(|H|\) 的H轨道，故 \(|H|\mid |A|=p^a\)。两边合起来只能有 \(|H|=p^a\)，存在性得证。

这段证明中的A起初只是一个子集；最后构造出来的子群是它的稳定子H，没有预先假定A本身对乘法封闭。找到一个阶符合要求的子集远远不够。

5. 包含、共轭与计数：三步使用两种作用

先固定一个Sylow p子群Q，让任意p子群P作用于左陪集集合 \(G/Q\)。集合大小m不被p整除，由固定点同余必有一个固定陪集gQ。于是 \(g^{-1}Pg\le Q\)，等价于 \(P\le gQg^{-1}\)。这证明每个p子群都包含在某个Sylow p子群中。

若P自身也是Sylow p子群，包含两端阶相等，因而相等。所以所有Sylow p子群互相共轭。记它们的数目为 \(n_p\)。通过G的共轭作用立即得到

还要证明 \(n_p\equiv1\pmod p\)。让P共轭作用于Sylow p子群集合。P本身当然固定。若另一个Q也固定，则P正规化Q，因此PQ是子群：乘积与逆封闭可由P把Q共轭回Q直接验证。其阶

是p的幂，不可能超过群阶中的最大p幂。因P、Q都已有阶 \(p^a\)，只能P=Q。因此固定点恰有一个，固定点同余给出结论。

最后，\(n_p=1\) 当且仅当Sylow p子群正规。注意：整除和同余筛出的是候选数目；候选中可能还有别的数字，需要别的群结构论证排除。实验的“候选”来自这两个必要条件，“实际”来自全部子群的精确枚举。

6. 如何精确枚举子群，而不遍历所有子集

从恒等元子群开始。对已经找到的H，逐个加入尚不在H中的元素g，计算 \(\langle H,g\rangle\)；新结果尚未出现就加入待处理队列。有限群只有有限多个子群，因此算法终止。它为什么不会漏？任何子群K都由其有限个元素生成，按某种顺序逐个加入，就形成一条从平凡子群到K的路径，每一步都在这套枚举中。

计算生成元闭包时，反复右乘生成元即可。在有限群中，生成元的逆等于它的某个非负次幂，因此不另外加入逆也不会漏；停止时所得集合包含恒等元、对生成元乘法封闭，并已包含所有生成词。记录中为每个元素保留一个实际生成词。

还可以少算一些重复：同一右陪集Hg里的元素 \(h g\) 与g给出相同的 \(\langle H,g\rangle\)。所以每个这样的陪集取一个代表元即可；记录保留“从哪个H、加入哪个g、到哪个子群”的每条扩展边。展示的子群格另取包含关系的覆盖边：中间没有第三个子群时才画边。

所有实验模型用有限置换忠实表示，乘法约定 \((\sigma\tau)(i)=\sigma(\tau(i))\)。D₄指正方形的八个对称；Q₈以左正则作用表示；V₄和C₁₅也使用正则表示。置换标签说明的是本次表示，不应把Q₈的八个位置误认成正方形顶点。S₅虽然有120个元素，这个算法仍只枚举实际子群和必要的生成闭包，没有扫描全部 \(2^{120}\) 个子集。

7. 导出列：一步步消除不交换的部分

约定交换子 \([x,y]=xyx^{-1}y^{-1}\)，并令

这里必须取“生成的子群”；不能假定所有单个交换子本身已经对乘法封闭。任意自同构把交换子变为交换子，所以G′是特征子群，特别是正规子群。在 \(G/G'\) 中，任意两个像的交换子都为恒等元，商群因此阿贝尔。若 \(G/N\) 阿贝尔，所有交换子都落在N中，故 \(G'\le N\)。这说明G′正是使商变为阿贝尔所必须消去的最小正规子群。

若存在r使 \(G^{(r)}=\{e\}\)，称G可解。它与存在有限次正规列、各相邻商阿贝尔等价。一个方向直接用导出列。反方向，设

由商阿贝尔可得 \(G_i'\le G_{i+1}\)。归纳得到 \(G^{(i)}\le G_i\)，因此第r步为平凡群。列中只需下一项在上一项中正规，不必一开始就假定每项都在G中正规。

对于有限群，导出列若还没有稳定，每一步的阶都会严格下降，因此可以一直计算到平凡群或某个非平凡稳定子群。若 \(K'=K\ne\{e\}\)，K称完美群；以后永远留在K。这就是实验“不再下降”的判据，并非到了某个任意的迭代次数就宣布不可解。

8. 可解性如何沿子群、商群与扩张传递

若 \(H\le G\)，交换子定义直接给 \(H^{(j)}\le G^{(j)}\)，故可解群的子群可解。对满同态 \(\pi:G\to Q\)，每个Q中交换子都能提升为G中交换子的像，所以 \(\pi(G^{(j)})=Q^{(j)}\)；可解群的商群也可解。

若 \(N\triangleleft G\)，N与 \(G/N\) 都可解，设其导出长度分别至多r、s。由于 \(\pi(G^{(s)})=(G/N)^{(s)}=1\)，有 \(G^{(s)}\le N\)，再取r次导出可得

所以可解群的扩张可解，并且长度至多相加。有限p群必可解也由此得到：对群阶归纳，非平凡中心是阿贝尔正规子群，商群仍是更小的p群；应用扩张结论。若中心已经是全群，直接结束。

这和“群阶只含几个素因子”并非同一件事。Burnside的两素数阶定理进一步断言 \(p^aq^b\) 阶有限群可解，但它需要本讲之外的方法；本讲的Sylow计数没有单独证明这个一般结论。遇到含两种素因子的例子，不应把实验输出误写成这一定理的证明。

9. S₃与S₄：把一条可解列真正算出来

置换的符号同态给出 \(S_n'\le A_n\)。另一方面，两个有一个共同字母的换位的交换子是三循环，例如

三循环生成Aₙ：偶置换可把换位两两配对；同一换位配对得恒等元；有一个共同字母的乘积是三循环；四字母互不相同的情形可写成

因此当 \(n\ge3\) 时 \(S_n'=A_n\)。特别地，S₃的导出列为 \(S_3\supset A_3\supset1\)，阶数为6、3、1。

对S₄，令

任意两个不同的非恒等元相乘是第三个，故这是阿贝尔子群。共轭只重新命名字母，因此在S₄中正规。商 \(A_4/V_4\) 的阶为3，因而阿贝尔，所以 \(A_4'\le V_4\)。再计算

此元素在A₄内的共轭包含其余两个双换位，因此整个V₄都在A₄′里，得到 \(A_4'=V_4\)。最后V₄阿贝尔，所以

阶数依次为24、12、4、1。相邻商为C₂、C₃、V₄，都阿贝尔。这是一条可解列，末项商V₄并不单；“可解列”与“合成列”不能混称。若细化到合成列，还要把V₄再分成两个C₂因子。

10. A₅为什么停止：五个共轭类足以证明单性

A₅的元素按循环类型分为恒等元、三循环、两个互不相交的换位之积、五循环。总数分别为1、20、15、24；没有其他偶循环类型。对每类还要确认在A₅中的共轭类是否分裂。

三循环例如(123)的中心化子在S₅中由其三个幂与剩余两点的交换组成，共6个元素；只有前3个是偶置换。因此它在A₅中的共轭类大小为 \(60/3=20\)。

双换位例如(12)(34)的中心化子必须固定点5，且可以交换两个二点轨道，并在各轨道内部交换，共 \(2\cdot2\cdot2=8\) 个元素，其中有奇置换(12)，所以恰半数为偶置换。其A₅共轭类大小为 \(60/4=15\)。

五循环c的中心化子只有它的5个幂：与c交换的置换由它把一个点送到哪里唯一决定，且每种选择恰是一个c的幂。这5个幂都是偶置换，因此每个A₅共轭类有 \(60/5=12\) 个元素。24个五循环恰分成两个这样的类。类方程是

正规子群必须是共轭类的并并含恒等元，其阶也必须整除60。把1与非恒等类的大小作子集和，可能值为

其中整除60的只有1与60。因此A₅没有非平凡真正规子群，即A₅是单群。它又不是阿贝尔群，例如上节两个三循环并不交换。于是A₅′是非平凡正规子群，只能等于A₅本身。其导出列停在阶60，故不可解。

结合上一节 \(S_5'=A_5\)，S₅的导出列是 \(S_5\supset A_5=A_5'=\cdots\)，同样不可解。这个有限计算与证明为五次方程的障碍提供群论入口；仍需下一讲建立“根式可解”与“Galois群可解”的对应，不能只见到一个五次多项式就断言它的群一定是S₅。

11. 四道练习：把条件用完，而不是猜一个候选

练习一：15阶群为什么一定循环

先求两个Sylow计数，再解释“两个正规子群”如何变成一个循环群。

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Sylow条件给 \(n_5\mid3\) 且 \(n_5\equiv1\pmod5\)，只能 \(n_5=1\)；同理 \(n_3\mid5\) 且 \(n_3\equiv1\pmod3\)，只能 \(n_3=1\)。记唯一子群为P、Q，阶分别为5、3，二者正规。

交集的阶同时整除3和5，所以 \(P\cap Q=1\)。对 \(p\in P,q\in Q\)，正规性使 \([p,q]\) 同时落在P和Q中，故两者交换。乘法映射 \(P\times Q\to G\) 因此是同态，核平凡，源与目标都15阶，所以是同构。P、Q各为素数阶循环群，取生成元p、q。若 \((pq)^k=1\)，则 \(p^k=q^{-k}\in P\cap Q\)，于是3和5都整除k，故pq的阶为15，G循环。

练习二：40阶与30阶群的非单性

40阶群用一个计数就够；30阶群要先排除两种Sylow计数同时取大值。

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40阶时 \(n_5\mid8\) 且 \(n_5\equiv1\pmod5\)，候选1、2、4、8中只有1满足同余。唯一5阶子群是非平凡真正规子群，所以群不单。

30阶时 \(n_5\in\{1,6\}\)、\(n_3\in\{1,10\}\)。假设两者都不为1。不同的素数阶子群只交于恒等元，且3阶与5阶非恒等元素不能重合。因此6个5阶子群贡献24个非恒等元，10个3阶子群贡献20个非恒等元，加恒等元已达45个，超过30，矛盾。至少一种Sylow子群唯一，给出非平凡真正规子群。

不能在一般p幂阶Sylow子群之间照搬这一步：不同的p²阶子群可能有非平凡交集。本题能直接相加，是因为使用的是素数阶子群。

练习三：S₃的两个陪集作用

分别取 \(H=\langle(12)\rangle\) 与 \(K=A_3\)。求陪集数量、作用核，并判断能否按代表元乘法定义商群。

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H有2个元素，左陪集有3个。三个共轭子群分别由(12)、(13)、(23)生成，只交于恒等元；作用核是所有共轭的交，所以平凡。这个三点传递作用忠实，H却不是正规子群。例如 \((123)(12)(123)^{-1}=(23)\notin H\)，故不存在所述商群乘法。

K有3个元素且正规，所以左陪集有2个，作用核恰为K。这个作用不忠实于S₃，但诱导S₃/K在两个点上的忠实作用。商群有两个元素，为C₂；其两个陪集是偶置换与奇置换，乘法对应符号相乘。此例也说明传递作用不必忠实。

练习四：A₄的Sylow作用为什么有一个固定点

让一个Sylow 3子群P通过共轭作用在A₄的全部Sylow 3子群上。求轨道大小，并与全群的作用比较。

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A₄有8个三循环，每个3阶子群含两个非恒等元，故有4个Sylow 3子群。P作为作用者，其轨道大小只能是1或3。P自身固定；若另一个Q也固定，P正规化Q，PQ便成为一个3群子群。若P与Q不同，它们交集平凡，PQ将有9个元素，不可能整除12。因此仅P固定，另外3个子群构成一个轨道，轨道分解为1+3。

改用A₄全群作用，Sylow共轭性给出一个大小4的轨道。P的稳定子即正规化子，大小为 \(12/4=3\)，所以 \(N_{A_4}(P)=P\)。同时P是循环群，此处中心化子也为P；但它们在一般子群上不必相等。

12. 下一步：哪些工具已准备好，哪些还没有

现在可以从一个群作用提取轨道、稳定子与作用核；用类方程和Sylow定理约束子群；用完整导出列证明一个有限群可解或不可解。实验还可以检验同一个H在不同作用中的表现，例如H的陪集作用核与共轭作用核通常并不相同。

接到Galois理论时，群会作用于多项式根，子群对应固定域。这里的正规子群与商群条件会转化为中间域扩张的条件；可解列会连接到分层的根式扩张。有限群实验没有实现域扩张、分裂域或自动识别任意多项式的Galois群，这些内容在下一讲展开。

更远的方向包括有限群表示、群上算法与形式化证明。要进一步学习它们，先确认自己能解释一次乘法、一个生成词、一个共轭见证与一个商群投影；仅记住S₅不可解还不够。本讲没有尝试给任意有限群分类，也没有把几个预设的枚举范围称为分类定理。

参考入口：J. S. Milne《Group Theory》，重点查阅第4章群作用、第5章Sylow定理、第6章可解群。符号与定理编号可能随版本变化；本页采用右侧置换先作用、交换子为xyx⁻¹y⁻¹的约定。