代数拓扑 II · 覆盖空间、van Kampen 与子群的可计算模型

1. 覆盖条件比“局部看起来一样”更强

覆盖映射 \(p:\widetilde X\to X\) 要求满射，且每个 \(x\in X\) 有开邻域 \(U\)，使

关键是同一个 \(U\) 同时把整个逆像分成开片。仅说每个提升点有局部同胚邻域，尚未检查这个统一条件。

圆周覆盖 \(p(u)=e^{2\pi iu}\) 有无穷层；\(z\mapsto z^n\) 在 \(S^1\) 上对 \(n\ge1\) 是 \(n\) 层覆盖。它作为整个复平面上的映射，在 \(n\ge2\) 时于0分支，不能称为无分支的普通覆盖。\(S^m\to\mathbb{RP}^m\) 是对径商的双覆盖；用它推出基本群为 \(\mathbb Z/2\) 还需 \(S^m\) 单连通，即 \(m\ge2\)。

对图而言，把玫瑰顶点上方的 \(n\) 个顶点编号，每个顶点恰有一条出发的 \(a\) 边、一条到达的 \(a\) 边，\(b\) 也一样。于是两种边分别给双射。反过来，任意两个置换都可粘出这样的图：取每个 \(i\) 的有向边 \(i\to\sigma_a(i)\) 和 \(i\to\sigma_b(i)\)。顶点的小星形邻域一一对应，边内小区间也一一对应，故确实是玫瑰的覆盖。图上有向箭头只选定遍历方向，拓扑空间里的边仍可逆着走。

2. 提升定理在一般覆盖中怎样证明

前一讲圆周上的开弧现在换成均匀覆盖邻域。把路径的紧定义域细分，每段落在一个这样的邻域里，选包含已知起点的开片并用局部逆映射续接，就得到提升。

唯一性不能再用“两个实数之差是整数”。若两提升在某点相等，在其附近就落在同一开片，局部逆唯一，故相等；若不等，在足够小的邻域内落在两个不相交开片，故仍不等。相等点集既开又闭；定义域连通且至少一点相等，就处处相等。

固定端点同伦的方块细分证明同样成立：每格映入均匀覆盖邻域，沿已提升边界选择开片。两条相邻已知边在公共顶点相接，落在同一个开片，因而局部逆同时匹配。逐行粘贴得到同伦提升。两侧恒值路径的提升恒值，故端点固定。

由此覆盖诱导的同态

是单射：若提升空间里的回路投影后可缩，提升这个收缩同伦，其终点回路必须恒值，所以原回路也可缩。其像正是从指定提升点出发会闭合的回路类。

一般同伦 \(Y\times I\to X\) 也有覆盖同伦提升性质。可在每个 \(y\) 附近，用紧区间 \(\{y\}\times I\) 的有限分割选择统一小邻域，沿时间逐段提升；不同小邻域上的构造由路径唯一性在重叠处一致。这里无需把任意 \(Y\) 当成紧空间。

3. 一般映射提升判据：存在与连续性都要证明

给定相容基点的 \(f:(Y,y_0)\to(X,x_0)\)，假设 \(Y\) 道路连通、局部道路连通。则存在从指定 \(\widetilde x_0\) 出发的连续提升，当且仅当

必要性来自 \(f_*=p_*\widetilde f_*\)。充分性分两步。对任意 \(y\)，选从 \(y_0\) 到 \(y\) 的路 \(\gamma\)，把 \(f\gamma\) 提升，定义 \(\widetilde f(y)\) 为其终点。若换路 \(\eta\)，回路 \(\gamma\bar\eta\) 的像在 \(H\) 内，故其提升闭合；提升唯一性保证两条路的终点相同。于是定义良好。

再证连续。选 \(f(y)\) 附近均匀覆盖邻域 \(U\)，并在 \(f^{-1}(U)\) 内选含 \(y\) 的道路连通开邻域 \(V\)。对 \(y'\in V\)，先沿固定路到 \(y\)，再在 \(V\) 内走到 \(y'\)。后一段提升始终位于包含 \(\widetilde f(y)\) 的开片，所以

右侧连续。局部道路连通性恰好用于选这个 \(V\)，不能在写出端点公式后直接跳过连续性。

例子：\(f:S^1\to S^1\) 的度数为 \(k\)，要提升到 \(z\mapsto z^n\) 的圆周覆盖，条件是 \(k\mathbb Z\subseteq n\mathbb Z\)，即 \(n\mid k\)。提升到实线覆盖则要求 \(k=0\)。这是存在连续相位或连续 \(n\) 次根的问题，而不是任取每点的代数根。

4. 覆盖分类的三个假设分别做什么

从现在起，\(X\) 道路连通、局部道路连通且半局部单连通。最后一条意指每点有邻域 \(U\)，其中的所有基点回路在整个 \(X\) 中可缩；不要求它们已在 \(U\) 内可缩。结合局部道路连通，可取这样的道路连通小开集。

给定 \(H\le G=\pi_1(X,x_0)\)，考虑所有从 \(x_0\) 出发的路径，规定

子群对乘法与逆封闭，立即给出等价关系。投影发送等价类到路径终点。在上述小开集 \(U\) 内，从 \([\alpha]\) 续接一段留在 \(U\) 的路；将全部续接类作为一个基本邻域。因为 \(U\) 内任意两条同端点续路的差回路在 \(X\) 可缩，每个 \(y\in U\) 恰有一个续接类。于是该邻域与 \(U\) 一一对应，并用此对应定义拓扑。

两个这样的基本邻域相交时，可在交点附近进一步缩小 \(U\)，所以它们确实构成拓扑基。同一个 \(U\) 上的两片若相交就完全相同；否则不交。因此投影满足覆盖条件。沿路径的初段 \(t\mapsto[\alpha|_{[0,t]}]\) 给从常值类到 \([\alpha]\) 的连续路，故总空间道路连通。从常值类出发的回路提升闭合，当且仅当它的类属于 \(H\)，因此对应像子群恰是 \(H\)。

这证明每个子群都能实现。取 \(H=1\)，再用第2节单射，所得覆盖的基本群为零，所以是万有覆盖。若没有半局部单连通性，上述“小开集每个终点恰好一片”的论证会失败；不能无条件给任意空间套上这张分类表。

5. 陪集、基点与分类的唯一性

对道路连通覆盖，令 \(s_0=\widetilde x_0\)。约定从左到右走词，得到右作用

从 \(s_0\) 出发的提升终点相同，当且仅当 \(uv^{-1}\in H\)，即两个右陪集 \(Hu,Hv\) 相同。因此

是双射。满射依赖总空间道路连通：任一纤维点都能由总空间路径连接到 \(s_0\)，其投影是回路。于是层数等于指数 \([G:H]\)。

若两个带点覆盖像子群相同，分别把一个覆盖投影提升到另一个覆盖中；第3节提供两个相反方向的映射。两次复合都是原投影的提升且固定所选点，由唯一性只能为恒等映射。故两者带点同构。这补全带点连通覆盖同构类与具体子群的双射。

若新起点 \(s_1=s_0\cdot g\)，则

因为 \(s_1\cdot w=s_1\) 等价于 \(s_0\cdot gwg^{-1}=s_0\)。所以忘记提升基点后，才得到子群共轭类。断开的覆盖对应多个轨道，不能把整个总层数当成某一个连通分支的指数。

6. 单值化像、稳定子和甲板群不是同一个对象

用 \(\rho\) 表示回路对纤维的动作，\(M\) 为其有限置换像，\(K\) 为作用核。对于右作用，逐词置换满足 \(\rho(uv)=\rho(v)\circ\rho(u)\)；实现使用“先做前者再做后者”的乘法约定，避免把函数复合方向弄反。有限置换集合生成的群及其阶不受这个记号选择影响。

稳定子在两个不同群中出现：

前者在 \(G\) 内，后者在有限 \(M\) 内。它们通过核 \(K\) 联系；不能因为 \(M_{s_0}\) 只有两个元素就说 \(H\) 也只有两个元素。在连通作用中，\(K\) 是各点稳定子的交，等于 \(H\) 的正规核 \(\bigcap_g g^{-1}Hg\)。因此

甲板变换 \(D\) 是满足 \(pD=p\) 的总空间同胚。其纤维置换必须与所有回路动作交换。反过来，对玫瑰覆盖，任意同时与 \(\sigma_a,\sigma_b\) 交换的纤维置换，都把每条标号边送到唯一相应边，延拓为甲板变换。故实验可在全部 \(n!\) 个置换中逐一验证交换关系，得到完整甲板群，而不只猜它的阶。

这个方法对断开的有限覆盖也有效。若有三个完全相同的一层分支，甲板群可以任意交换它们，是 \(S_3\)；仅把各分支内部甲板群相乘会漏掉这些交换。

7. 正规覆盖和正规化子公式的证明

先限于连通覆盖。在右陪集模型中，甲板变换与右 \(G\) 作用交换，故由 \(D(H)\) 唯一决定。若 \(D(H)=Hn\)，则对所有 \(h\in H\) 必须有 \(Hnh=Hn\)，结合逆变换得到 \(nHn^{-1}=H\)，即 \(n\in N_G(H)\)。

反过来，对每个正规化子元素定义

若 \(Hg=Hg'\)，正规化条件保证右侧相等，因此定义良好；它与右作用交换且逆为 \(D_{n^{-1}}\)。普通函数复合满足 \(D_n\circ D_m=D_{nm}\)，核是 \(H\)。于是

甲板群在纤维上传递当且仅当 \(N_G(H)=G\)，即 \(H\) 正规，这就是正规覆盖。此时才可把甲板群写成 \(G/H\)。连通覆盖的非恒等甲板变换没有不动点，因为两个提升若在一点一致就处处一致；因此有限连通正规覆盖的甲板群阶恰是层数。

在有限传递置换模型中，\(H\) 正规等价于 \(H=K\)，亦即有限像稳定子 \(M_{s_0}\) 平凡。实验同时检查这个判据与中央化子对纤维的传递性。总空间断开时不直接使用这个连通判据。

8. van Kampen：接缝为什么恰好给这些关系

设 \(X=U\cup V\)，\(U,V,U\cap V\) 都开且道路连通，基点 \(x_0\in U\cap V\)。两嵌入诱导 \(i_*,j_*\)，则

双尖括号是正规闭包：同一个接缝回路从 \(U\) 或 \(V\) 看必须相同，且这个等式可被任意前后路径共轭。交的两个诱导映射不必单射，所以不能无条件把交群看成两侧真正的公共子群。

满射已经在上一讲球面例子中出现：把任意回路有限分段，令每段落在 \(U\) 或 \(V\)，在接缝插入一对互逆的交内连接路，就写成两侧基点回路的乘积。

核的证明还需要同伦方块。将一个同伦细分成每格映入 \(U\) 或 \(V\) 的有限网格，底边和顶边分割同时细化给定的两份分解。每个网格顶点用一条从 \(x_0\) 出发的路接到其像；若相邻格的标签不同，就在 \(U\cap V\) 内选，若全为同一标签，就在该开集中选。因为这里只有两个开集，这些可选集合始终道路连通。

沿网格从底边逐格推向顶边。在每个经过的顶点插入连接路及其逆，形成基点回路的乘积。一次推过一格，只把位于同一开集的一段边界换成该格另一段边界，二者在该开集内同伦，故乘积类不变。同一条接缝边若改用另一标签，只应用商群中已加入的接缝关系。改变连接路时，多出的闭路也位于相应的开集或交集，借同样关系消去。因此所有分解选择、每一步推格都给同一个商群元素；顶边和底边代表相同元素，核中没有漏掉的关系。

这证明两开集版本。若用多个开集直接套一般版本，还须检查所用三重交的连通性。若 \(U\cap V\) 不连通，普通基点群版本也会失效：圆周可以由两个可缩开弧覆盖，交却有两个分支，不能据此算出圆周基本群为零；应改覆盖或使用基本群胚版本。

9. 从图、附加圆盘到有限置换的关系检查

八字形取两圆的稍大开邻域，使交为可缩的小树，van Kampen 给 \(\mathbb Z*\mathbb Z=F(a,b)\)。这兑现前一讲词实验的空间依据。

有限连通图选一棵生成树。沿树把顶点连接到根，每条树外边给“从根走到边头、穿边、沿树返回”的回路。收缩树边是同伦等价：逆映射把每条商图边换成上述根路，复合多出的树内往返可逐段消去。剩余是一束圆，由 van Kampen 得

若给图沿词 \(r\) 附加一个二维圆盘，圆盘内部使该边界词可缩。用圆盘的小内邻域和去掉中心的其余部分应用 van Kampen，唯一新增的是 \(r\) 的正规闭包关系。因此环面给 \(\langle a,b\mid abAB\rangle\)，Klein瓶给 \(\langle a,b\mid abAb\rangle\)。射影平面可写 \(\langle a\mid aa\rangle\)；为统一双生成元实验，额外加入可被圆盘消去的 \(b\)，用 \(\langle a,b\mid aa,b\rangle\)。

有限纤维置换能从一维骨架延拓到这个呈示复形的覆盖，当且仅当每个关系词的作用是整个纤维上的恒等置换。必要性：关系词在基空间可缩，其所有提升都闭合。充分性：每个附加圆盘的所有边界提升闭合，逐个粘入圆盘，局部覆盖结构便延伸到圆盘内部和边界。

关系只在选定起点闭合不够。实验特设一个三点非交换作用外加固定第四点：环面交换子在固定点闭合，却在前三点违反关系，因而不能当成整个环面的四层覆盖。界面仍可展示原一维覆盖，但会拒绝所选呈示的延拓结论。

10. Schreier 自由基和逐字重写

在选定连通分支中，记顶点 \(i\) 的根路词为 \(t_i\)，根的词为空。对正向边 \(i\xrightarrow{c}j\)，构造

若边在生成树内，这个词自由约化为空；树外边对应一个自由基元。玫瑰两种标号在 \(d\) 个顶点上共有 \(2d\) 条无向边（每条选择一个正方向），树有 \(d-1\) 条边，故子群自由秩为

一般 \(r\) 瓣玫瑰的指数 \(d\) 子群满足 \(1+d(r-1)\)。这也是 Nielsen–Schreier 定理的有限指数公式。

对有限生成自由群的任意子群，分类定理仍给一个覆盖图，只是指数无限时图也无限。它每个顶点的度数有限；从根逐层选边可得生成树。任一回路或同伦的紧像只经过有限多条边，再加入这些顶点到根的有限树路，就能在一个有限子图中应用前面的自由基论证。于是每个群元素仍是有限个树外边的词，任何可能的关系也必须在某个有限子图内成立；有限图的自由性排除了非空约化关系。因此子群仍自由，基可以无限。这里证明了无限指数情形，却没有声称浏览器能穷举那张无限图。

若词 \(w=c_1\cdots c_m\) 从根走到顶点 \(j\)，逐步插入 \(t_i^{-1}t_i\)，得到望远镜消去式

每个括号是某个树外边基元、它的逆，或空词。实验保存每步的边号、带符号基编号、消去前后完整基词，再展开回 \(a,A,b,B\) 检查恒等式。若路径闭合，\(t_j\) 为空，右侧表示原 \(w\)；若不闭合，右侧表示补回树路后的闭合词，不能把补路悄悄省略。

若基空间有关系且动作通过了第9节检查，对每个顶点 \(i\)、每个关系 \(r\)，把闭合词 \(t_i r t_i^{-1}\) 重写成树外边基元，作为覆盖空间子群呈示的关系。这来自所有提升圆盘的边界。此时 \(E-V+1\) 仍是一维骨架的自由秩，但附加圆盘会加入关系，不能再把它报成最终子群的自由秩。实验输出呈示，不擅自断言该呈示已最简。

11. 四道练习与完整答案

题1。 \(a=(012),b=(12)\) 的三层玫瑰覆盖，求层数、置换像阶、选定0的像稳定子阶、甲板群阶，以及覆盖子群的自由秩。解释为什么这些值不同。

题2。 圆周度数6的映射能否提升到四层和三层圆周覆盖？能否提升到实线？给出具体公式或障碍。

题3。 正规三层预设 \(a=b=(012)\) 是否给环面覆盖？非正规三层预设是否给？若增加一个固定点，只检查该点为什么会误判？

题4。 对三层玫瑰覆盖取 \(a=(012),b=e\)。选择根路 \(t_0=e,t_1=a,t_2=aa\)，写出一组子群自由基，并解释加入 \(b=1\) 后发生什么。

12. 下一步：从置换运输到局部系统

把纤维从有限集合换成向量空间，沿路运输便由可逆线性映射描述；回路的一致性给基本群表示与局部系统。有限覆盖对应置换表示，不能把任意线性表示都画成有限张纸的覆盖。

黎曼曲面的解析延拓也依靠路径与单值化。含分支点的代数函数必须先区分去掉分支点后的普通覆盖与跨分支点的延拓；单值化计算不能跳过这个空间变化。更远处的 étale 基本群使用有限覆盖及其兼容对称性，通常得到 profinite 对象；它与这里的离散基本群、一般无限层万有覆盖之间有额外理论，不能仅凭一张 Galois 类比表宣称相同。

本讲没有把所有空间的拓扑压成基本群。即使万有覆盖单连通，也可能有非零高阶同伦和同调。下一页将用链复形实际计算更高维的洞，并继续区分“群呈示”“交换化”“同调”各自丢掉和保留的信息。

核对与延伸阅读。 Hatcher《Algebraic Topology》第1章的§1.2核对van Kampen与图/附加胞腔，§1.3核对提升、子群分类及正规化子公式。实验的有限穷举、中央化子检查与完整Schreier重写另给可下载运行证据。

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