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随机分析 IV · Girsanov、鞅表示与 Feynman–Kac

对标：Øksendal §8 / Shreve SCF-II §5 ｜ 前置：sc-01–03、mt-03/04、pde2 线（Feynman–Kac 一节） 随机分析收官：三大定理各管金融数学的一根支柱——Girsanov（风险中性测度为何存在）、鞅表示（在完备模型中如何构造对冲）、Feynman–Kac（SDE 与 PDE 的官方词典）。本科 sde-03 的"风险中性定价"从操作口诀升格为定理体系。

学习层：先核对测度方向，再谈“去漂移”

1. Learning contract

本实验固定一组由 seed 生成的 Gaussian 增量，并把它们解释成 \(P\) 下的 Brownian 路径。模型是

\[ X_t=\sigma\theta t+\sigma B_t, \qquad Z_T=\frac{dQ}{dP}\Big|_{\mathcal F_T} =\exp\left(-\theta B_T-\frac12\theta^2T\right). \]

目标不是把有限样本平均“调到正确”，而是先把以下四件事说对：RN 导数的方向是 \(dQ/dP\)，指数中的线性项是负号；\(P\) 下的 \(X\) 带漂移，\(Q\) 下它变成无漂移；常数有限 \(\theta\)、有限 \(T\) 时 Novikov 给出真鞅和等价测度；当 \(|\theta|\) 变大时，有限重要性采样会出现权重退化。

实验中的路径积分使用 \(N=48\) 段梯形和 \(A_N\)。令 \(h=T/N\)，在 \(Q\) 下 \(X=\sigma\widetilde B\)，则

\[ A_N=\sigma h\sum_{j=1}^N\left(N-j+\frac12\right)\Delta\widetilde B_j, \qquad \operatorname{Var}_Q(A_N)=\sigma^2T^3\left(\frac13-\frac1{12N^2}\right). \]

这解释了账本“离散梯形目标”的来源；连续积分的方差为 \(\sigma^2T^3/3\)，二者不能因图像接近就写成同一个数。

先预测四件事，再打开实验：

  1. 若 \(B_t+\theta t\) 在 \(Q\) 下是 Brownian，\(dQ/dP\) 的 \(B_T\) 项应取正号还是负号？
  2. \(P\) 下 \(X_t=\sigma\theta t+\sigma B_t\)，加权后的 \(Q\) 下漂移是多少？
  3. 常数有限 \(\theta\)、有限 \(T\) 时，\(E_P\exp(\frac12\theta^2T)\) 是有限数还是无法判断？
  4. 保持样本量不变而增大 \(|\theta|\)，ESS 通常增大还是减小？

2. 符号、方向与目标矩

由 \(\tilde B_t=B_t+\theta t\) 在 \(Q\) 下为标准 Brownian，反解得 \(B_t=\tilde B_t-\theta t\)。因此

\[ X_t=\sigma\theta t+\sigma(\tilde B_t-\theta t)=\sigma\tilde B_t, \]

这正是“\(P\) 下带漂移，\(Q\) 下无漂移”的方向。对任意终值或路径量 \(G\)，关系是

\[ E^Q[G]=E^P[Z_TG], \quad Z_T=\exp\left(-\theta B_T-\frac12\theta^2T\right), \quad E^P[Z_T]=1. \]

例如 \(X_T\) 的目标矩是 \(E^Q[X_T]=0\)、\(E^Q[X_T^2]=\sigma^2T\)；路径量 \(A_T=\int_0^T X_tdt\) 也应在 \(Q\) 下有零均值。实验把同一批增量代入自归一化重要性估计 \(\sum_iZ_iG_i/\sum_iZ_i\)；它有限样本一般有偏，所以还报告原始权重均值、归一化和、ESS 与目标矩。换测度不改变 \(X_t(\omega)\) 的取值，而改变每条路径被赋予的权重。图里的 \(\sigma B_t\) 是另一随机变量在 \(P\) 下的对照，其 \(P\) 分布与 \(X\) 的 \(Q\) 分布相同，不能称为同一路径换测度后减掉漂移的结果。

3. Novikov、绝对连续边界与有限样本反例

常数参数时

\[ E^P\exp\left(\frac12\int_0^T\theta^2dt\right)=\exp\left(\frac12\theta^2T\right)<\infty, \]

且 \(Z_T>0\) 几乎处处，所以有限 \(T\) 上 \(Q\sim P\)。\(T=0\) 是退化但合法的边界：\(Z_0=1\)。这句话不能外推成“任何漂移都能换掉”：无限时间、未控制的随机 \(\theta_t\)、Novikov 失败或指数局部鞅不是真鞅时，需要另外的均匀可积性、Kazamaki 条件或局部化论证，不能自动得到同一个概率测度。

反例是重要性采样本身：把有限个 \(Z_i\) 除以 \(\sum_iZ_i\) 后权重和必为 \(1\)，这不是 \(E^P[Z_T]=1\) 的证明；大漂移下一个或少数路径可能承担几乎全部权重，ESS 下降也不表示 Girsanov 定理失效。迁移到非 Gaussian 噪声或随机波动率时，指数形式、可积性和绝对连续性都要重新检查。

4. 动手实验：固定增量的预测门与权重账本

实验默认 \(\theta=1,T=1,\sigma=1\)，固定生成 \(192\) 条、每条 \(48\) 段的 Gaussian 增量。提交预测前，答案、图和账本隐藏；提交后可切换 \(\theta,T,\sigma\)。同一 seed 让参数变化只改变模型解释和权重，不重新抽样。

JavaScript 失效时的静态 fallback： 默认模型为

\[ X_t=t+B_t, \qquad Z_1=\exp(-B_1-1/2), \qquad \frac{dQ}{dP}=Z_1. \]

解析读法是 \(E_P[Z_1]=1\)、\(E_Q[X_1]=0\)、\(E_Q[X_1^2]=1\)，而 Novikov 值为 \(e^{1/2}\approx1.6487\)；路径量 \(A_1=\int_0^1X_tdt\) 的 \(Q\) 下目标均值也是 \(0\)。ESS 应按 \(1/\sum_iw_i^2\) 读取，\(|\theta|\) 大时通常下降。固定样本的数值只能检查这些目标的有限样本近似，不能证明 RN 指数是真鞅。

先修回链：Itô 积分、Itô 公式、鞅收敛。

1. Girsanov 定理：换测度 = 换漂移

动机：本科 sde-03 里"把 \(\mu\) 换成 \(r\)"是黑箱操作。真相：换一个概率测度，布朗运动的漂移就变了。

定理（Girsanov） \(\theta_t\) 可预测、\(\int_0^T\theta_t^2dt<\infty\) a.s.，且满足 Novikov 条件 \(E\exp\big(\frac12\int_0^T\theta_t^2dt\big)<\infty\)。定义

\[ Z_T = \exp\Big(-\int_0^T\theta_s\,dB_s - \frac12\int_0^T\theta_s^2\,ds\Big), \qquad \frac{dQ}{dP} = Z_T \]

则在新测度 \(Q\) 下，\(\tilde B_t = B_t + \int_0^t\theta_s ds\) 是标准布朗运动。

【骨架】 三步：① \(Z_t\) 是指数局部鞅，Itô 公式给 \(dZ_t=-\theta_tZ_t\,dB_t\)；Novikov 把它升级为真鞅，\(E_PZ_T=1\) 才能定义 \(Q\)。② 对任意有界停时局部化，Itô 乘积公式与 Bayes 公式说明 \(Z_t\tilde B_t\)（更准确地说其停时版本减去初值）在 \(P\) 下是局部鞅，因此 \(\tilde B\) 在 \(Q\) 下是连续局部鞅。③ 二次变差是路径性质，\([\tilde B]_t=[B]_t=t\)；Lévy 刻画于是给出 \(\tilde B\) 是 \(Q\)-Brownian。\(\blacksquare\)

这里不能对随机适应的 \(\theta_t\) 直接把 \(B_t\) 当作与 \(\theta\) 独立的 Gaussian 再“配方”：\(\int\theta\,dB\) 的条件结构正是定理要控制的部分。只有常数或合适确定性 \(\theta\) 时，简单的 Gaussian 矩母函数计算才可作为特例核对。

读法：测度变换是"漂移的橡皮擦"——\(P\) 下的 \(dX = \mu dt + \sigma dB\) 在 \(Q\) 下可改写为 \(dX = r\,dt + \sigma d\tilde B\)（取 \(\theta = \frac{\mu - r}{\sigma}\)，市场风险价格）。波动率 \(\sigma\) 换不掉（二次变差是路径性质，测度等价变换动不了它——sc-01 §2 的定理在此显出深意：你能改变对世界的概率评估，改不了路径的粗糙度）。\(Z\) 的形态即统计学的似然比——Girsanov 是连续时间的似然比变换（与渐近统计线的 LAN 理论遥相呼应）。

2. 鞅表示定理：对冲的存在性执照

定理 布朗过滤下的任何平方可积鞅 \(M_t\) 必可表示为

\[ M_t=M_0+\int_0^t h_s\,dB_s,\qquad h\text{ 可预测},\quad E\int_0^T|h_s|^2ds<\infty, \]

且 \(h\) 只在 \(dt\times dP\) 几乎处处意义下唯一。【引用】（证明经由“指数鞅的线性组合在 \(L^2\) 中稠密”，Øksendal §4.3。）

金融读法（完备性）：价格过程

\[ V_t=E^Q[e^{-r(T-t)}\Phi(S_T)\mid\mathcal F_t] \]

本身一般带有无风险漂移；真正的 \(Q\)-鞅是贴现价格

\[ \widetilde V_t=e^{-rt}V_t=E^Q[e^{-rT}\Phi(S_T)\mid\mathcal F_t]. \]

表示定理给 \(d\widetilde V_t=h_t\,d\widetilde B_t\)。若一只股票满足 \(d\widetilde S_t=e^{-rt}\sigma_tS_t\,d\widetilde B_t\)，自融资复制的持股数是

\[ \Delta_t=\frac{h_t}{e^{-rt}\sigma_tS_t}, \]

所以积分核 \(h\) 不是未经换算的 Delta。多维情形还要求可交易风险资产的贴现扩散矩阵对 Brownian 噪声方向满秩，并且过滤中没有额外不可交易噪声；“噪声源与资产数相等”只是维数提示，满秩才是代数证书。

定价三段论（本科 sde-03 的完整资格链）：Girsanov 造 \(Q\)（漂移全成 \(r\)）→ 鞅表示保证可对冲 → 无套利定价 \(V_0 = E^Q[e^{-rT}\Phi(S_T)]\)。Black–Scholes 公式 = 该期望对对数正态的显式积分。

3. Feynman–Kac：SDE ⇄ PDE 词典

定理（Feynman–Kac） 设 \(u(t,x)\) 解终值问题

\[ u_t + \mu(x)u_x + \frac12\sigma^2(x)u_{xx} - r\,u = 0, \qquad u(T, x) = \Phi(x) \]

这里采用一个可核对的充分版本：\(\mu,\sigma\) 全局 Lipschitz 且线性增长，使 SDE 在有限时段上不爆炸；\(r\) 为常数；\(u\in C^{1,2}([0,T)\times\mathbb R)\) 连续达到终值，并满足下面随机积分的平方可积条件与终值的 \(L^1\) 收敛条件。则

\[ u(t, x) = E\Big[e^{-r(T-t)}\,\Phi(X_T)\;\Big|\;X_t = x\Big], \qquad dX = \mu\,dt + \sigma\,dB \]

【证明】 对 \(Y_s = e^{-r(s-t)}u(s, X_s)\) 用 Itô 公式：

\[ dY = e^{-r(s-t)}\Big[\underbrace{u_t + \mu u_x + \tfrac12\sigma^2u_{xx} - ru}_{=\,0\ (\text{PDE})}\Big]ds + e^{-r(s-t)}\sigma u_x\,dB \]

漂移被 PDE 精确消灭先只给局部鞅。一个足够明确的升级条件是

\[ E\int_t^T e^{-2r(s-t)}|\sigma(X_s)u_x(s,X_s)|^2ds<\infty, \]

并使终值可积且 \(Y_s\to e^{-r(T-t)}\Phi(X_T)\) 在 \(L^1\) 中成立；例如适当的多项式增长与相应矩界可以保证这些条件。此时随机积分均值为零，取期望得到：\(u(t,x) = EY_t = EY_T = E[e^{-r(T-t)}\Phi(X_T)]\)。\(\blacksquare\)

读法：PDE 的解 = 沿扩散路径的期望——两个世界的官方翻译器：Black–Scholes 方程 ⇄ 风险中性期望（sde-03 两条定价路线原是一条）；热方程 ⇄ 布朗运动期望（pde2 线/本科 pde-02 的"热核=转移密度"的定理版）；数值上开出两条路——解 PDE（网格法）或模拟 SDE（Monte Carlo），维数低走 PDE、维数高走 MC 的行业分工由此定型。反向词典（生成元、Kolmogorov 前后向方程）与位势项推广同框【引用】。

4. 随机分析四页资产盘点

定理 一句话 金融支柱
二次变差（sc-01） 路径粗糙度 = \(t\)，不可磨灭 已实现波动率
Itô 等距/积分（sc-02） \(L^2\) 等距延拓 对冲误差核算
Itô 公式/存在唯一（sc-03） 新链式法则 + Picard 模型的合法性
Girsanov / 鞅表示 / F–K（本页） 换漂移 / 可对冲 / SDE⇄PDE 定价三段论

5. 练习与要点

例 1（Girsanov 亲手换） GBM 在 \(P\) 下 \(\mu = 0.1, r = 0.03, \sigma = 0.2\)：\(\theta = 0.35\)，\(Q\) 下 \(dS = 0.03\,S\,dt + 0.2\,S\,d\tilde B\)——写出 \(Z_T\) 并验证 \(E^Q[S_T] = S_0e^{rT}\)（这里是无分红、常系数 GBM 的期望；价格轨迹仍然随机，不是每条路径都按 \(r\) 增长）。

例 2（F–K 反向使用） 用 F–K 表示解热方程 \(u_t = \frac12 u_{xx}\)（终值改初值、时间反向）：\(u(t,x) = E[\varphi(x + B_t)]\) = 高斯卷积——热核公式（本科 pde-02）的三行概率证明。

例 3（完备性思辨） 加入随机波动率 \(d\sigma=\alpha\,dt+\beta\,dW\)，并假设 \(W\) 含有相对股票 Brownian \(B\) 的非退化独立分量（例如相关系数 \(|\rho|<1\)）。二维 Brownian 过滤中的鞅表示定理仍然成立：一般索赔核可写成 \(h_t^1dB_t+h_t^2dW_t\)；失败的是股票与债券的贴现扩散暴露只有秩 1，不能张成独立的波动率噪声方向。因此波动率风险不可由这两种资产完全对冲，等价鞅测度及衍生品价格在不加额外原则时不唯一。若 \(W\) 与 \(B\) 完全同向，则不能只凭“写了两个字母”断言不完备。Heston 类模型要指定波动率风险价格，数学原因正在这里。\(\blacksquare\)

先做一次独立换测度计算：设 \(X_t=2t+2B_t\)、\(T=1\)。写出使 \(X\) 无漂移的 \(dQ/dP\)；若误把指数线性项改为正号，新的 \(X_1\) 均值是多少？再只用两段梯形积分 \(A_2=\tfrac12X_{1/2}+\tfrac14X_1\)，求正确 \(Q\) 下的方差。

核对测度方向与离散方差

\(\theta=1\)，故正确密度为 \(e^{-B_1-1/2}\)，\(E_QX_1=0\)。错误密度 \(e^{B_1-1/2}\) 仍可定义概率测度，但此时 \(B_t-t\) 才是新 Brownian，因而 \(X_t=4t+2(B_t-t)\)，终值均值变成 \(4\)。这说明归一化正确不等于漂移方向正确。

正确 \(Q\) 下 \(\operatorname{Cov}(X_s,X_t)=4\min(s,t)\)，所以

\[ \operatorname{Var}(A_2)=\tfrac14\cdot2+\tfrac1{16}\cdot4 +2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac14\cdot2=\tfrac54. \]

连续积分方差为 \(4/3\)，两段梯形值为 \(5/4\)；要分别核对测度、离散规则与矩，不能拿一幅接近的曲线代替这三项证据。

可评分迁移（二维秩检验）：设两只贴现风险资产满足

\[ d\widetilde S_t^1=dB_t^1,\qquad d\widetilde S_t^2=dB_t^1+dB_t^2, \]

某贴现索赔的表示核为 \(h=(2,-1)^\top\)。求持仓 \((\Delta^1,\Delta^2)\)；再把第二只资产改成 \(d\widetilde S_t^2=2dB_t^1\)，判断 \(B_T^2\) 能否复制。

独立作答后核对

第一种扩散矩阵的两行是 \((1,0)\)、\((1,1)\)，满秩；解 \(\Delta^1(1,0)+\Delta^2(1,1)=(2,-1)\) 得 \((\Delta^1,\Delta^2)=(3,-1)\)。改动后两行都在 \((1,0)\) 方向，秩为 1，任何自融资组合的 \(dB^2\) 系数都是 0，因此终值依赖 \(B_T^2\) 的索赔不能复制。

随机分析完卷。概率与分析线还剩现代 PDE 三页；统计与学习线（渐近统计、SLT、MDP）在侧栏等待。

继续连续时间路径熵与控制，用完整高斯模型对照终端倾斜、Doob漂移、条件桥与路径能量。