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随机分析 IV · Girsanov、鞅表示与 Feynman–Kac

对标：Øksendal §8 / Shreve SCF-II §5 ｜前置：sc-01–03、mt-03/04、pde2 线（Feynman–Kac 一节）随机分析收官：三大定理各管金融数学的一根支柱——Girsanov（风险中性测度为何存在）、鞅表示（为何一切期权都能对冲）、Feynman–Kac（SDE 与 PDE 的官方词典）。本科 sde-03 的"风险中性定价"从操作口诀升格为定理体系。

1. Girsanov 定理：换测度 = 换漂移

动机：本科 sde-03 里"把 \(\mu\) 换成 \(r\)"是黑箱操作。真相：换一个概率测度，布朗运动的漂移就变了。

定理（Girsanov） \(\theta_t\) 适应且满足 Novikov 条件 \(E\exp\big(\frac12\int_0^T\theta^2dt\big) < \infty\)。定义

\[ Z_T = \exp\Big(-\int_0^T\theta_s\,dB_s - \frac12\int_0^T\theta_s^2\,ds\Big), \qquad \frac{dQ}{dP} = Z_T \]

则在新测度 \(Q\) 下，\(\tilde B_t = B_t + \int_0^t\theta_s ds\) 是标准布朗运动。

【骨架】 三步：① \(Z_t\) 是指数鞅（Itô 公式验证 \(dZ = -\theta Z\,dB\)，无漂移项——sc-01 §3 鞅③的推广；Novikov 保证真鞅而非仅局部鞅，\(EZ_T = 1\) 使 \(Q\) 是概率测度）；② 计算 \(\tilde B\) 在 \(Q\) 下的矩母函数：\(E^Q[e^{\lambda\tilde B_t}] = E^P[Z_t e^{\lambda\tilde B_t}]\)——两个指数合并配方（高斯配方术），得 \(e^{\lambda^2t/2}\)；③ 独立增量同法逐段验证，Lévy 刻画（sc-01 §3）收尾。\(\blacksquare\)

读法：测度变换是"漂移的橡皮擦"——\(P\) 下的 \(dX = \mu dt + \sigma dB\) 在 \(Q\) 下可改写为 \(dX = r\,dt + \sigma d\tilde B\)（取 \(\theta = \frac{\mu - r}{\sigma}\)，市场风险价格）。波动率 \(\sigma\) 换不掉（二次变差是路径性质，测度等价变换动不了它——sc-01 §2 的定理在此显出深意：你能改变对世界的概率评估，改不了路径的粗糙度）。\(Z\) 的形态即统计学的似然比——Girsanov 是连续时间的似然比变换（与渐近统计线的 LAN 理论遥相呼应）。

2. 鞅表示定理：对冲的存在性执照

定理布朗过滤下的任何平方可积鞅 \(M_t\) 必可表示为

\[ M_t = M_0 + \int_0^t h_s\,dB_s \qquad (h \text{ 适应、唯一}) \]

【引用】（证明经由"指数鞅的线性组合在 \(L^2\) 中稠密"，Øksendal §4.3。）

金融读法（完备性）：期权到期收益的条件期望过程 \(V_t = E^Q[e^{-r(T-t)}\Phi(S_T)\mid\mathcal{F}_t]\) 是 \(Q\)-鞅 ⇒ 必可写成对 \(d\tilde B\)（即对可交易资产 \(dS\)）的积分——积分核 \(h\) 就是对冲头寸（Delta）。"任何期权都能动态复制"不是市场经验，是布朗过滤的数学性质；若价格由多源噪声驱动而可交易资产不足（不完备市场），表示定理失效、完美对冲不存在——模型的完备性 = 噪声源与资产数的匹配，一句话看穿一大类金融模型的分野。

定价三段论（本科 sde-03 的完整资格链）：Girsanov 造 \(Q\)（漂移全成 \(r\)）→ 鞅表示保证可对冲 → 无套利定价 \(V_0 = E^Q[e^{-rT}\Phi(S_T)]\)。Black–Scholes 公式 = 该期望对对数正态的显式积分。

3. Feynman–Kac：SDE ⇄ PDE 词典

定理（Feynman–Kac） 设 \(u(t,x)\) 解终值问题

\[ u_t + \mu(x)u_x + \frac12\sigma^2(x)u_{xx} - r\,u = 0, \qquad u(T, x) = \Phi(x) \]

（系数良好、\(u\) 足够光滑），则

\[ u(t, x) = E\Big[e^{-r(T-t)}\,\Phi(X_T)\;\Big|\;X_t = x\Big], \qquad dX = \mu\,dt + \sigma\,dB \]

【证明】 对 \(Y_s = e^{-r(s-t)}u(s, X_s)\) 用 Itô 公式：

\[ dY = e^{-r(s-t)}\Big[\underbrace{u_t + \mu u_x + \tfrac12\sigma^2u_{xx} - ru}_{=\,0\ (\text{PDE})}\Big]ds + e^{-r(s-t)}\sigma u_x\,dB \]

漂移被 PDE 精确消灭 ⇒ \(Y\) 是（局部）鞅；取期望（有界性/局部化论证后）：\(u(t,x) = EY_t = EY_T = E[e^{-r(T-t)}\Phi(X_T)]\)。\(\blacksquare\)

读法：PDE 的解 = 沿扩散路径的期望——两个世界的官方翻译器：Black–Scholes 方程 ⇄ 风险中性期望（sde-03 两条定价路线原是一条）；热方程 ⇄ 布朗运动期望（pde2 线/本科 pde-02 的"热核=转移密度"的定理版）；数值上开出两条路——解 PDE（网格法）或模拟 SDE（Monte Carlo），维数低走 PDE、维数高走 MC 的行业分工由此定型。反向词典（生成元、Kolmogorov 前后向方程）与位势项推广同框【引用】。

4. 随机分析四页资产盘点

定理	一句话	金融支柱
二次变差（sc-01）	路径粗糙度 = \(t\)，不可磨灭	已实现波动率
Itô 等距/积分（sc-02）	\(L^2\) 等距延拓	对冲误差核算
Itô 公式/存在唯一（sc-03）	新链式法则 + Picard	模型的合法性
Girsanov / 鞅表示 / F–K（本页）	换漂移 / 可对冲 / SDE⇄PDE	定价三段论

5. 练习与要点

例 1（Girsanov 亲手换） GBM 在 \(P\) 下 \(\mu = 0.1, r = 0.03, \sigma = 0.2\)：\(\theta = 0.35\)，\(Q\) 下 \(dS = 0.03\,S\,dt + 0.2\,S\,d\tilde B\)——写出 \(Z_T\) 并验证 \(E^Q[S_T] = S_0e^{rT}\)（风险中性世界一切资产按 \(r\) 增值）。

例 2（F–K 反向使用） 用 F–K 表示解热方程 \(u_t = \frac12 u_{xx}\)（终值改初值、时间反向）：\(u(t,x) = E[\varphi(x + B_t)]\) = 高斯卷积——热核公式（本科 pde-02）的三行概率证明。

例 3（完备性思辨） 加入随机波动率 \(d\sigma = \alpha\,dt + \beta\,dW\)（第二个布朗源）：只交易股票与债券时鞅表示对二维过滤失效 ⇒ 波动率风险不可对冲 ⇒ 期权价格不唯一（区间定价）——Heston 模型要引入"波动率风险价格"参数的数学原因，也是 IV 曲面（本科 sde-03 §4）存在自由度的深层出处。\(\blacksquare\)

随机分析完卷。概率与分析线还剩现代 PDE 三页；统计与学习线（渐近统计、SLT、MDP）在侧栏等待。