基础衔接 02 · 局部化：允许哪些数作分母

1. 分数不总是有理数

在 \(\mathbb Z\) 中允许所有非零整数作分母，得到 \(\mathbb Q\)；只允许二的幂作分母，得到 \(\mathbb Z[1/2]\)。后者包含 \(3/8\)，却不包含 \(1/3\)：若 \(1/3=a/2^k\)，便有 \(2^k=3a\)，与素因子分解矛盾。

给含单位交换环 \(R\) 和乘法封闭、包含 1 的集合 \(S\)，局部化 \(S^{-1}R\) 强制 \(S\) 中元素可逆。不是每次都得到域，也不是只保留数轴上一个短区间。这里“局部”的含义来自哪些代数信息在该操作下仍能区分。本讲允许 \(0\in S\)，此时局部化是 \(0=1\) 的零环；有些教材在定义中排除这种退化情形。

2. 为什么交叉相乘还要再乘一个数

如果 \(R\) 有零因子，正确的等价关系是

加法与乘法仍写成 \(a/s+b/t=(at+bs)/(st)\) 和 \((a/s)(b/t)=ab/(st)\)。但不能把上式直接简化成 \(at=bs\)：我们刚允许一些原先不可逆的元素变为可逆，它们杀死的差也应当归零。

在 \(R=\mathbb Z/6\mathbb Z\) 中把 2 变成可逆。原本 \(2\cdot3=0\)，现在乘 \(2^{-1}\) 就得到 \(3=0\)。于是 \(3/1=0/1\)，尽管原环中 \(3\ne0\)。局部化映射 \(R\to S^{-1}R\) 未必单射，“允许更多分母”可能让原本不同的元素合并。

通用性质。 任意环同态 \(f:R\to B\) 若把 \(S\) 中元素都送到可逆元，就唯一延拓为 \(a/s\mapsto f(a)f(s)^{-1}\)。这个条件说明局部化只加入使指定元素可逆所必需的关系。目标环必须满足可逆条件；不能拿一个任意映射就套公式。

3. 手算：十二个剩余类为什么只剩三个

整数模十二的分解

把问题分成两部分。在模四分量里 \(2^2=0\)，若 2 可逆，就有 \(1=0\)，该分量成为零环；在模三分量里 2 本来就可逆，不需要改变。因此

原映射就是模三，核为 \(\{0,3,6,9\}\)。它记录了哪些信息被丢弃。若改为把 5 变成可逆，环完全不变，因为 \(5^2\equiv1\pmod{12}\)。若把 6 变成可逆，由 \(6^2=0\) 得到整个零环。

更一般地，将 \(m\) 中所有与 \(s\) 共享的素因子幂删去，剩下 \(r\)，则 \((\mathbb Z/m)[1/s]\cong\mathbb Z/r\)。理由是逐个素数幂分量检查：\(p\mid s\) 时 \(s\) 在模 \(p^k\) 中幂零，分量消失；\(p\nmid s\) 时 \(s\) 已可逆。这里使用中国剩余定理，且 \(m\) 是正整数。\(r=1\) 对应零环。

默认结果：剩余模数 3，局部化映射的核有 4 个元素。改变分母许可会改变对象，不能把几个设置当成同一个环的数值误差。

不只数元素，还要会计算一个分式

在 \((\mathbb Z/12)[1/2]\cong\mathbb Z/3\) 中，\(a/2^k\) 对应 \([a]\,[2]^{-k}\)。例如 \(5/2\) 对应 \([2]\cdot[2]=[1]\)。直接按等价关系核对也能得到 \(5/2=1/1\)：交叉差是 \(5-2=3\)，再乘允许的分母 \(u=4\) 就在模十二中变成零。若错误地只检查 \(5-2\ne0\)，会把相等的两个局部化元素误判为不同。

把一个元素 x 映到零，等价于存在 k 使 \(2^k x=0\)。默认例中四个核元素 0、3、6、9 全被 4 杀死。这把“模四分量消失”的分解说法，与具体分式定义接了起来。

4. 从素理想进入局部环

素理想 \(\mathfrak p\) 的关键性质是 \(ab\in\mathfrak p\) 蕴含 \(a\in\mathfrak p\) 或 \(b\in\mathfrak p\)。因此 \(S=R\setminus\mathfrak p\) 乘法封闭，可以形成 \(R_{\mathfrak p}\)。它的唯一极大理想为 \(\mathfrak pR_{\mathfrak p}\)，所以称为局部环。

对 \(R=\mathbb Z,\mathfrak p=(5)\)，\(\mathbb Z_{(5)}\) 的元素是分母不被五整除的有理数。\(1/2\) 存在，\(1/5\) 不存在。不要与 \(\mathbb Z[1/5]\) 混淆：后者只允许五的幂作分母，规则恰好不同。也不要把 \(\mathbb Z_{(5)}\) 直接叫作五进整数环；完备化是另一项操作。

令 \(\operatorname{Spec}R\) 为素理想集合，基本开集 \(D(f)\) 包含所有不含 \(f\) 的素理想。代数上，研究 \(D(f)\) 对应研究 \(R[1/f]\)。在复数仿射直线上，\(R=\mathbb C[x]\)，\(D(x)\) 去掉闭点 \(x=0\)；\(1/x\) 在那里合法，却不能延伸成整个直线上的正则函数。下一步的层将解释如何在不同开集之间限制和粘合这些函数。

这里给出了仿射概形的入口，而非完整定义与理论。素谱的点不全是普通坐标点，例如 \(\mathbb C[x]\) 的零理想也是素理想，是泛点；把素谱完全画成复平面的普通点会漏掉结构。

同一个有限例子，也能画成基本开集

\(\mathbb Z/12\) 的每个理想都由 12 的某个正因子 d 生成，其商是 \(\mathbb Z/d\)。商为非零整环恰好要求 d 是素数，因此这里只有两个素理想 (2) 与 (3)，分别取商得到 \(\mathbb F_2\)、\(\mathbb F_3\)。在这两个点上检查“f 是否属于该素理想”，就能得到：

例如 2 属于 (2) 而不属于 (3)，因此 \(D(2)\) 留下的是点 (3)。别把“删去与 2 共有的素因子分量”误读成“保留素理想 (2)”。空素谱与零环对应；零环仍有一个元素，并不是空集合。

5. 两道验收题

题一。 在 \((\mathbb Z/18)[1/3]\) 中，哪些原元素变为零？剩余环是什么？

题二。 令 \(R=\mathbb R[\epsilon]/(\epsilon^2)\)，反演 \(\epsilon\) 会怎样？这是否等于先把 \(\epsilon\) 设为零？