流形几何 II · 微分形式与 Stokes 定理

对标：Lee Smooth Manifolds §14–16 ｜ 前置：mfld-01、数分 VI、高代 VI（多重线性） 在弯曲空间上积分的正确对象不是函数而是微分形式——自带"定向的体积元"的多重线性对象。本页搭起外代数 → 外微分 → 积分的三级机器，顶点是广义 Stokes 定理：数分 VI 三大公式（Green/Gauss/Stokes）原来是同一行字的三个方言。

1. 外代数：反对称的多重线性

\(k\)-形式（一点处）：\(T_pM\) 上的反对称 \(k\)-重线性函数；全体记 \(\Lambda^k(T_p^*M)\)。楔积 \(\wedge\)：反对称化的张量积，\(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kl}\beta\wedge\alpha\)（超交换——\(dx\wedge dy = -dy\wedge dx\)，\(dx\wedge dx = 0\)）。

为什么反对称：\(k\)-形式吃 \(k\) 个切向量、吐"它们张成的平行体的（带符号）体积"——体积对换两条边变号、有重边归零，反对称性就是体积的代数性格（行列式的公理化——高代 II 在此认祖归宗：\(n\)-形式作用于 \(n\) 个向量恰是 \(\det\)）。坐标表示：\(\omega = \sum f_{i_1\cdots i_k}\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}\)；\(\dim\Lambda^k = \binom nk\)。

2. 外微分 \(d\)

定理（外微分的存在唯一） 存在唯一算子 \(d: \Omega^k \to \Omega^{k+1}\) 满足：① 0-形式上 \(df\) = 普通微分；② Leibniz（带符号）；③ \(d\circ d = 0\)；④ 线性。坐标公式 \(d(f\,dx^I) = df\wedge dx^I\)。 【骨架】 唯一性：四条性质在坐标上完全确定公式；存在性：验证坐标公式满足四条（\(d^2 = 0\) 归结为混合偏导相等——Clairaut 定理，数分 V——"\(d^2 = 0\) 是偏导可交换的代数化身"）。\(\blacksquare\)

统一性检阅（\(\mathbb{R}^3\) 方言对照表）：

\(d^2 = 0\) 一行收编两条恒等式：\(\mathrm{curl}\,\mathrm{grad} = 0\)、\(\mathrm{div}\,\mathrm{curl} = 0\)（数分 VI 的"偶然巧合"原来是结构定理）。拉回 \(f^*\omega\)：形式沿光滑映射反向搬运，且 \(f^*d = df^*\)（换元公式的无坐标形态——积分换元的 Jacobi 行列式被楔积自动吞吐）。

3. 定向与积分

定向：图册的转移映射 Jacobi 行列式恒正——"全流形一致的左右手约定"（Möbius 带无定向：拓扑 I 的名角在此当反例）。\(n\)-形式在定向 \(n\)-流形上的积分：单卡内 \(\int\varphi_*\omega\) = 普通多重积分，单位分解（拓扑 II Urysohn 的光滑版【引用】）拼接全局——良定性由换元公式保证（定向保证符号不打架）。

定理（Stokes） 带边定向流形 \(M\)（边界 \(\partial M\) 带诱导定向）、\(\omega\) 为紧支 \((n-1)\)-形式：

【证明骨架】 单位分解把问题局部化到两种模型卡：内部卡（\(\mathbb{R}^n\)：逐项 Fubini + 微积分基本定理，紧支使边界项消失——积分为零 ✓ 两边都零）；边界卡（半空间 \(x^n \geq 0\)：同样计算只剩 \(x^n = 0\) 壁上的一项——恰是 \(\int_{\partial}\omega\)）。整个定理 = 微积分基本定理 + 会计学。\(\blacksquare\)

方言还原：\(M\) = 平面区域 ⇒ Green；\(M\) = 空间曲面 ⇒ 经典 Stokes；\(M\) = 立体 ⇒ Gauss（数分 VI 三大公式各是一行特例）；\(M\) = 区间 ⇒ Newton–Leibniz 本尊。一个公式的世界观："内部的累积变化 = 边界的净流量"——守恒律的数学原型（麦克斯韦方程组的积分形式即四条 Stokes【引用】）。

4. de Rham 上同调（一瞥，通往 at 线）

\(d^2 = 0\) 使"闭形式"（\(d\omega = 0\)）⊇"恰当形式"（\(\omega = d\eta\)）——商空间

度量"闭而不恰当"的形式——探测流形的洞：\(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\) 上的角度形式 \(d\theta = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}\) 闭但不恰当（绕原点积分 \(= 2\pi \neq 0\)——若恰当则 Stokes 给零）⇒ \(H^1 \neq 0\)："积分与路径有关"的障碍恰是拓扑的洞（数分 VI"保守场判据要求单连通"的真相大白）。de Rham 定理【引用】：\(H_{dR} \cong\) 奇异上同调——分析（微分形式）与拓扑（at-03 的同调）测出同一组洞：本课程最深的一次会师预告。

5. 练习与要点

例 1（楔积热身） \(\omega = x\,dy\wedge dz + y\,dz\wedge dx + z\,dx\wedge dy\)（\(\mathbb{R}^3\)）：\(d\omega = 3\,dx\wedge dy\wedge dz\)；对单位球用 Stokes：\(\int_{S^2}\omega = 3\mathrm{Vol}(B^3) = 4\pi\)——"面积分 = 三倍体积"一行到账（散度定理方言）。

例 2（\(d\theta\) 亲手验证） 验证 \(d(d\theta) = 0\)（闭）与 \(\oint_{S^1}d\theta = 2\pi\)（不恰当）——四行计算摸到第一个非平凡上同调类；顺答：为何记号 \(d\theta\) 有误导性？（\(\theta\) 不是全局函数——"局部有势、全局无势"正是洞的含义。）

例 3（🔗 归一化流对账） 生成模型中密度变换 \(\log p_x = \log p_z - \log|\det J|\)：本页语言 = 体积形式的拉回 \(f^*(\text{vol})= |\det J|\,\text{vol}\)——"Jacobi 行列式"在流形语言里是拉回作用于 \(n\)-形式的自动产物（概率 II 变量替换公式的最深写法）。\(\blacksquare\)

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