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代数拓扑 I · 同伦与基本群

对标：Hatcher AT §1.1–1.2 ｜前置：本科拓扑 I–II、抽代 I 代数拓扑的纲领：给空间配代数不变量，用代数的可计算性判空间的不同（拓扑 II 结尾的预告正式开演）。第一个不变量是基本群——"绕洞方式"的群；本页的技术高峰是 \(\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}\)：整个学科的第一块非平凡砖。

基本群：环路在空间里能否收缩（圆环 vs 圆盘），\pi_1 记录"洞"。 — 图 at-01.1基本群：环路在空间里能否收缩（圆环 vs 圆盘），\(\pi_1\) 记录"洞"。

1. 同伦：连续变形的等价

定义映射同伦 \(f \simeq g\)：存在连续 \(H: X\times[0,1] \to Y\)，\(H_0 = f, H_1 = g\)（"电影"连接两映射）。道路同伦：端点固定的同伦。同伦等价的空间（\(fg \simeq \mathrm{id}\)，\(gf \simeq \mathrm{id}\)）：比同胚更粗的"相同"——圆环带 \(\simeq\) 圆（压扁）、\(\mathbb{R}^n \simeq\) 点（缩回）——代数拓扑的不变量都是同伦不变量：看"形变骨架"不看"皮肉尺寸"。

2. 基本群

定义 \(\pi_1(X, x_0)\)：基点 \(x_0\) 出发的回路的道路同伦类，乘法 = 接续走。 群公理验证【骨架】：结合律/单位（常值路）/逆（倒放）都"差一个重参数化的同伦"——三张标准同伦图（Hatcher §1.1 的图）；道路连通时基点选取只差同构（沿连接路共轭）。\(\blacksquare\)

函子性（本学科的方法论核心）：连续映射 \(f: X \to Y\) 诱导群同态 \(f_*: \pi_1(X) \to \pi_1(Y)\)，且 \((fg)_* = f_*g_*\)、恒等映射诱导恒等——"空间与映射"被系统翻译成"群与同态"；同伦等价诱导同构。范畴论气质的第一次正式出场：不变量之所以能判非同胚，正因翻译保持结构。

3. \(\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}\)（第一块非平凡砖）

定理圆周的基本群是 \(\mathbb{Z}\)，由"绕一圈"生成；同构由卷绕数给出。 【证明骨架（提升论证，结构完整）】 覆盖映射 \(p: \mathbb{R} \to S^1\)，\(t \mapsto e^{2\pi it}\)（螺旋楼梯投影到圆）。 ① 道路提升引理：\(S^1\) 中始于 \(1\) 的道路唯一提升为 \(\mathbb{R}\) 中始于 \(0\) 的道路（紧致性切小段、每段落在均匀覆盖邻域里逐段抬升——拓扑 II 紧致性的标准用法）； ② 同伦提升引理：道路同伦也唯一提升（同法对方块紧致性）； ③ 定义 \(\deg(\gamma) = \tilde\gamma(1)\)（提升的终点——必为整数：楼梯爬了几层）。②保证同伦类不变；满射（爬 \(n\) 层的螺旋线）与单射（终点同层 ⇒ 提升同伦 ⇒ 原路同伦）给同构。\(\blacksquare\)

立收的红利（一颗定理三枚果）：

Brouwer 不动点定理（二维）【证明】：圆盘自映射无不动点 ⇒ 可造收缩 \(D^2 \to S^1\)（沿 \(f(x)\) 到 \(x\) 的射线打到边界）⇒ 函子性给 \(\mathbb{Z} = \pi_1(S^1)\) 是 \(\pi_1(D^2) = 0\) 的直和项——矛盾。\(\blacksquare\)（博弈论 I 欠的 Kakutani/Brouwer 至此有拓扑证明——Nash 均衡存在性的地基正式落地。）
代数基本定理【骨架】：无根多项式给出 \(S^1\) 上卷绕数 \(n\) 与 \(0\) 的矛盾同伦（大圆上 \(p(z) \approx z^n\) 绕 \(n\) 圈、小圆缩到常值）——复变 II 之外的第二条证明路线。
Borsuk–Ulam（二维）【引用】：球面到平面的连续映射必有对径点同像——"地球上总有一对对径点温度气压俱同"。

4. 计算工具箱（预告 at-02）

\(\pi_1(S^n) = 0\ (n\geq2)\)（回路可推离一点再缩——高维球面单连通）；乘积 \(\pi_1(X\times Y) = \pi_1(X)\times\pi_1(Y)\)【一行】⇒ 环面 \(\pi_1(T^2) = \mathbb{Z}^2\)（两种绕法交换）；8 字形（两圆一点粘） \(\pi_1 = F_2\)（自由群——两种绕法不交换：\(aba^{-1}b^{-1} \neq e\)，非交换性的拓扑出生地；证明需 van Kampen，下一页主菜）。

5. 练习与要点

例 1（卷绕数亲算） \(\gamma(t) = e^{2\pi i\cdot 3t}\)：提升 \(\tilde\gamma(t) = 3t\)、\(\deg = 3\)——"绕三圈"的正式户口；复变 III 留数定理的绕数与此同源（辐角原理是两线的桥【引用】）。

例 2（不变量判非同胚） \(\mathbb{R}^2\) 与 \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\)：后者 \(\pi_1 = \mathbb{Z}\)（同伦等价于 \(S^1\)）前者平凡——"挖一点"被群测出来（拓扑 II 连通性数分叉判不了的，基本群接管：不变量的分辨率升级）。

例 3（mfld-02 对账） \(H^1_{dR}(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \neq 0\)（角度形式）与 \(\pi_1 = \mathbb{Z}\) 测的是同一个洞——分析的探测器与代数的探测器在最小例子上对上号（de Rham 定理的第一次显灵）。\(\blacksquare\)

下一页：覆盖空间的全理论（基本群的"伽罗瓦理论"）与 van Kampen 定理（分块计算 \(\pi_1\) 的引擎）。