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流形几何 III · 黎曼度量、联络与测地线

对标：Lee Introduction to Riemannian Manifolds（第2版）的度量、联络、测地线章节。先修回链：流形与切空间、微分形式。本页采用光滑、Hausdorff、第二可数、无边界的流形。 光滑结构只能谈"可微"，谈不了长度与角度——黎曼度量补上这块：每点切空间配一个内积、随点光滑变化。随之而来的核心难题：弯曲空间里不同点的切向量怎么比较（求导需要比较！）——答案是联络；由它定义"不转弯的曲线"——测地线。

学习层：同一条测地线，三本账不能混

1. 具体开场：平面原点是坏点，还是坏坐标？

取平面中的直线

\[ \gamma(t)=(-1+t,0),\qquad 0\le t\le2. \]

在 Cartesian 坐标 \((x,y)\) 中，它显然穿过原点，\(g=dx^2+dy^2\)，\(\Gamma^k_{ij}=0\)，所以是仿射测地线。若改用极坐标

\[ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad g=dr^2+r^2d\theta^2, \]

则 \(\gamma(1)\) 的 \(r=0\)，\(\theta\) 没有唯一值，\(g_{\theta\theta}=0\)，\(1/r\) 型 Christoffel 也失效。先预测：这是否意味着平面流形在原点破裂？答案应是否；这是坐标图的边界，换回 Cartesian 图，点、长度和测地线都继续存在。

再把视线移到单位球：同一条大圆可以走一小段、走过半圈，或恰好走到对跖点。三种路径都满足仿射测地线方程，但全局距离结论不同。实验先收下四项预测，再揭示 \(g\)、\(\Gamma\)、能量、残差和最短性账本。

2. 形式桥：从度量到 Christoffel，再到 ODE

在坐标 \(x^i\) 中，黎曼度量是正定矩阵场 \(g_{ij}\)，长度、动能密度与固定时间区间上的能量泛函分别为

\[ L(\gamma)=\int\sqrt{g_{ij}(\gamma)\dot\gamma^i\dot\gamma^j}\,dt,\qquad E(t)=\frac12g_{ij}(\gamma)\dot\gamma^i\dot\gamma^j,\qquad\mathcal E(\gamma)=\int_a^b E(t)\,dt. \]

Levi-Civita 联络的坐标系数为

\[ \Gamma^k_{ij}=\frac12g^{k\ell} (\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}), \]

仿射参数下的测地线方程是

\[ \ddot\gamma^k+\Gamma^k_{ij}(\gamma)\dot\gamma^i\dot\gamma^j=0. \]

沿这条方程，\(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0\) 给出 \(E\) 恒定；但“方程的临界点”与“给定端点的全局最短路”是两个命题。后者还要看 cut locus、共轭点和路径长度。

平面两张图。 Cartesian 图的 \(g=I,\Gamma=0\)；极坐标图的非零项是

\[ g_{ij}=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix},\qquad \Gamma^r_{\theta\theta}=-r,\qquad \Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=\frac1r. \]

方程写成

\[ \ddot r-r\dot\theta^2=0,\qquad \ddot\theta+\frac2r\dot r\dot\theta=0. \]

这些 \(1/r\) 并不是额外的力；它们记录基向量随坐标移动的方式。

球面两张图。 用余纬 \(\theta\) 和经度 \(\varphi\)：

\[ g=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2,\qquad \Gamma^\theta_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta,\qquad \Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}=\cot\theta. \]

立体投影坐标 \((u,v)\)（排除北极）由

\[ (X,Y,Z)=\frac{(2u,2v,u^2+v^2-1)}{1+u^2+v^2},\qquad g=\frac{4(du^2+dv^2)}{(1+u^2+v^2)^2} \]

给出逆映射；正映射是 \((u,v)=(X/(1-Z),Y/(1-Z))\)。因此 \((u,v)=(0,0)\) 对应南极，\((u,v)=(2,0)\) 对应 \((4/5,0,3/5)\)，再正投影得到 \(2\)，可直接核对正逆一致。转换改变坐标分量和 Christoffel 表达式，却不改变嵌入点、内积或几何能量；北极没有有限的这张图坐标，不是球面出现了洞。

3. 误区与模型边界

误区 需要保留的边界
“\(\Gamma\ne0\) 就是有曲率。” Christoffel 不是张量；平面极坐标中 \(\Gamma\ne0\) 而曲率仍为 0。要用 Riemann 张量判断曲率。
“测地线就是全局最短路。” 测地线是局部临界曲线；球面的大圆优弧满足方程但不是端点间最短。
“坐标图在极点失效，所以流形有奇点。” 坐标奇异可由另一张图消除；流形奇异是没有任何兼容正则图覆盖，二者不能混称。
“只看 \(L\) 就能得到数值方程。” 长度不依赖保向重参数；能量泛函的驻点选出常速参数，非线性重参数通常引入沿切向加速度。
“对跖点的最短测地线唯一。” 球面一对对跖点有无穷多条长度 \(\pi\) 的最短大圆弧；唯一性需排除 cut locus。

4. 测地线—度量互动实验

实验提供五个确定性预设：Cartesian 平面直线、穿过极点的极坐标平面直线、球面短大圆弧、长大圆弧和对跖点。每次显示都把四件事并排记账：

  1. \(g_{ij}\) 与非零 \(\Gamma^k_{ij}\)；
  2. 仿射方程残差 \(\|\ddot\gamma^k+\Gamma^k_{ij}\dot\gamma^i\dot\gamma^j\|\)；
  3. \(E\)、测地线长度和端点的全局距离；
  4. 当前坐标图与另一张图之间的转换状态。

实验使用大圆/直线的解析路径；坐标速度与加速度由坐标映射的链式法则求得，再代入方程。不是先用待验证方程定义加速度再相消。数值账本的残差是坐标分量的欧氏范数，不是换图不变量，也不是严格误差界；过近极点会遇到浮点精度限制。API对极大有限立体坐标使用缩放计算，分别报告数学正则与度量分量的浮点可表示性；无法表示的度量或行列式记为缺值，不把下溢零当作几何退化。实验的“仿射通过”不是预设标签：只有当前坐标图正则、坐标方程残差和嵌入中的解析测地线残差都在容差内才报告通过；坐标奇异处报告 unavailable，因为该坐标不能提供方程判定，而不是把流形误判为不满足测地线方程。

JavaScript 失效时的静态后备账本：默认取单位球短大圆弧，球坐标 \(\theta=\pi/3,\varphi=-0.4\)，初速度 \((\dot\theta,\dot\varphi)=(0.55,0.9)\)，仿射时长 \(T=2\)。令 \(v^2=\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2\)。

账本 静态读法 结论
度量张量 \(g=\operatorname{diag}(1,\sin^2\theta)\)，初点 \(\sin^2\theta=3/4\) 正定；极点之外坐标正则
Christoffel \(\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}=-\sqrt3/4\)，\(\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=1/\sqrt3\) 不是“外力”，是球坐标基的变化
能量 \(E=\frac12(0.55^2+\frac34\,0.9^2)\approx0.455\) 沿仿射测地线保持常数
长度 \(L=2\sqrt{2E}\approx1.908\) 小于 \(\pi\)
全局距离 \(d(p,q)=\arccos(p\cdot q)=L\)（此预设） 短大圆弧是全局最短
方程残差 \(\|\ddot\gamma+\Gamma(\dot\gamma,\dot\gamma)\|\approx0\) 仿射测地线命中
图转换 \((\theta,\varphi)\leftrightarrow(u,v)\) 坐标变，嵌入点与能量不变

边界对照：把时长改为 \(4\) 得到同一大圆的长段，仍是仿射测地线但不再全局最短；把时长改为 \(\pi\) 且初速沿赤道取 1，到达对跖点，最短路长度为 \(\pi\) 但不唯一。切换到平面极坐标预设，\(t=1\) 的 \(r=0\) 行应显示“仿射判定 unavailable；坐标奇异；流形正则”，而不是 NaN 伪装成曲率。

5. 迁移问题

给出下列三份日志，分别判断失败发生在坐标、参数还是全局最短性上，并写出计算。

  1. 从北极投影得到的立体坐标 \((u,v)=(2,0)\)，速度分量 \((1,0)\)：嵌入点与动能密度各是多少？
  2. 平面路径 \(\eta(\tau)=(\tau^2,0)\)，\(1\le\tau\le2\)：轨迹是直线段，为什么仿射方程仍不成立？
  3. 单位球沿赤道走长度 \(3\pi/2\)：路径长度与端点距离各是多少？
展开计算与接口判断
  1. 点为 \((4/5,0,3/5)\)，\(g=4I/25\)，所以 \(E=2/25\)。若另一图返回 \(Z=-3/5\)，是换图实现错误，不能解释成另一种能量。
  2. \(\eta''=(2,0)\ne0\)，\(E(\tau)=2\tau^2\) 不恒定。它仍描出两端间最短线段，但 \(\tau\) 非仿射参数；改用 \(t=\tau^2\) 后方程成立。
  3. \(L=3\pi/2\)，\(d=\arccos(\cos(3\pi/2))=\pi/2\)。这是仿射测地线，却不是全局最短。算法应分开报告坐标可用性、方程残差与距离，不能合为一个“成功”标签。

1. 黎曼度量

定义 黎曼度量 \(g\)：每点 \(p\) 一个内积 \(g_p: T_pM\times T_pM \to \mathbb{R}\)，坐标下对称正定矩阵场 \(g_{ij}(x)\)（高代 VI 的正定性逐点站岗）。曲线长度 \(L(\gamma) = \int\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt\)；在每个连通分支内，由长度诱导有限距离；不同分支之间若定义路径长度下确界，则距离为无穷大，不能无条件称整个不连通空间为通常的有限值度量空间。

例：\(\mathbb{R}^n\) 平直度量 \(g_{ij} = \delta_{ij}\)；曲面的第一基本形式（微分几何 II 的 \(E, F, G\) 正是 \(2\times2\) 的 \(g_{ij}\)——那门课原来一直在做二维黎曼几何）；双曲平面 \(g = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2}\)（上半平面——常负曲率世界，非欧几何的正式住所）；Fisher 信息 \(g_{ij}=\mathbb E[\partial_i\log p\,\partial_j\log p]\) 在满足微分/积分交换等正则性且矩阵有限、正定的可辨识参数化中给出黎曼度量。冗余参数或奇异模型中它可能仅半正定。例如 \(p=N(a+b,1)\) 的信息阵是全 \(1\) 的 \(2\times2\) 矩阵，秩为 \(1\)；不能直接取逆叫作度量。

存在性：任何流形都有黎曼度量（单位分解拼局部内积【一行】）——度量不稀缺，特定度量的性质才是学问。

2. 联络：比较不同点的切向量

困难：\(T_pM\) 与 \(T_qM\) 是不同的线性空间——"\(X(q) - X(p)\)"没有意义 ⇒ 向量场无法直接求导。仿射联络 \(\nabla\)：公理化"方向导数"（对方向线性、对被导向量场 Leibniz）；坐标下由 Christoffel 符号 \(\Gamma^k_{ij}\) 编码（\(\nabla_{\partial_i}\partial_j = \Gamma^k_{ij}\partial_k\)——"基向量自己怎么漂移"的记录）。

定理（黎曼几何基本定理） 每个黎曼流形上存在唯一的联络（Levi-Civita 联络）同时满足：① 与度量相容（\(\nabla g = 0\)：平移保内积）；② 无挠（坐标基中 \(\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}\)）。且

\[ \Gamma^k_{ij} = \frac12 g^{kl}\big(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\big) \]

【证明】 Koszul 公式：把相容性写三遍（轮换指标）、加加减减解出 \(g(\nabla_XY, Z)\) 的显式表达——坐标基的 Lie 括号为零，于是

\[ \partial_i g_{j\ell}=g(\nabla_i\partial_j,\partial_\ell)+g(\partial_j,\nabla_i\partial_\ell). \]

把 \((i,j,\ell)\)、\((j,i,\ell)\) 两式相加，再减去 \((\ell,i,j)\) 式，无挠使交叉项抵消，得 \(2g_{k\ell}\Gamma^k_{ij}=\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}\)。乘逆度量得到上述系数；定义出的联络满足两条件，且换图一致。\(\blacksquare\) 读法：度量白送一个求导法则——几何（长度）决定运动学（平移）；\(\Gamma\) 不是张量（换坐标带二阶项）——平面曲线坐标的非零项可表现为惯性项；一般曲率空间的联络不能整体消去，不能一概称为假力。

平行移动：沿曲线解 \(\nabla_{\dot\gamma}X = 0\)（线性 ODE——存在唯一由 ode 理论白送）——"向量不转动地搬运"；和乐（holonomy）：绕闭路平移回来向量可以转了角度——足够小的可缩闭路上的偏差由曲率控制；一般非可缩闭路还可能探测全局拓扑，即使联络平坦也不必处处平凡。

3. 测地线

![球面测地线是大圆弧](assets/img/mfld-03-geodesic.svg)
图 3.1同一单位大圆上，蓝色短弧长 π/2；红色长弧长 3π/2。两者均可用仿射参数走过，但仅短弧实现这对端点的距离。

定义 \(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = 0\)——"速度向量沿自身平行移动"：不转弯的曲线。坐标方程：

\[ \ddot\gamma^k + \Gamma^k_{ij}\,\dot\gamma^i\dot\gamma^j = 0 \]

（二阶非线性 ODE——存在唯一性（ode-01/sc 线的 Picard）给：对每个初值 \((p,v)\)，存在唯一测地线定义在包含 \(0\) 的最大开区间上；它未必能延伸到所有时间。）

变分身份与参数。 固定端点及时间区间，对 \(\mathcal E=\frac12\int g_{ij}\dot x^i\dot x^jdt\) 写 Euler–Lagrange 方程：

\[ \frac{d}{dt}(g_{kj}\dot x^j)-\frac12\partial_k g_{ij}\dot x^i\dot x^j=0. \]

展开首项，再乘 \(g^{\ell k}\)，恰得到仿射测地线方程。度量相容给出 \(dE/dt=g(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma,\dot\gamma)=0\)。长度泛函则对保向重参数不变；对非零速度的驻点，选常速参数才得到同一仿射方程。一般重参数 \(\eta(\tau)=\gamma(f(\tau))\) 的完整链式法则是

\[ \nabla_{\eta'}\eta'=(f')^2(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma)\circ f+f''\dot\gamma\circ f. \]

若原曲线 \(\gamma\) 已是仿射测地线，首项才为零，剩下 \(f''(\tau)\dot\gamma(f(\tau))\)，一般不为零。每条测地线的足够短子段局部最短，但长段未必全局最短。

指数映射 \(\exp_p(v)=\gamma_{p,v}(1)\) 只在那些能把测地线至少延伸到时间 \(1\) 的向量上定义；其定义域是 \(T_pM\) 中含 \(0\) 的开集，并在 \(0\) 附近给出局部微分同胚（法坐标：\(g_{ij}(p)=\delta_{ij}\)、\(\Gamma(p)=0\)——每点附近都可以“假装平直”到一阶）。

Hopf–Rinow 定理【引用】：对连通黎曼流形，度量空间 \((M,d_g)\) 完备，当且仅当所有测地线可延伸到整个 \(\mathbb R\)，也等价于每个 \(p\) 的 \(\exp_p\) 定义在整个 \(T_pM\)；这些条件还推出任意两点间存在最短测地线。最后一条单独拿出来并不反推完备：开单位球 \(B(0,1)\subset\mathbb R^n\) 配欧氏度量时，任意两点仍由球内线段最短连接，但从原点沿单位速度射线只活到 \(t=1\)，\(\exp_0(v)\) 在 \(\|v\|\ge1\) 的单位时间处无定义。这个反例把“局部 ODE 存在”“两点可连接”和“全局测地完备”分开。

4. 练习与要点

例 1（球面测地线亲算） \(S^2\) 球坐标度量 \(ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\)：算 \(\Gamma\)（非零者 \(\Gamma^\theta_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta\)、\(\Gamma^\varphi_{\theta\varphi} = \cot\theta\)），验证赤道 \(\theta = \frac\pi2\) 满足测地线方程——大圆 = 球面的直线（航线为何走大圆的定理版）。

例 2（双曲平面的测地线） 上半平面度量下取 \(x=x_0,y=e^t\)，此时 \(\Gamma^y_{yy}=-1/y\)，故 \(\ddot y-\dot y^2/y=0\)，且速度为 \(1\)；直接用 \(y=t\) 描述同一竖线则不是仿射参数——非欧几何的"直线"是竖线与半圆：平行公理在此失效的实物模型（过线外一点无穷多条"平行线"）。

例 3（🔗 自然梯度） 统计模型族上最速下降的正确方向是 \(-I(\theta)^{-1}\nabla\ell\)（Fisher 度量下的梯度）而非 \(-\nabla\ell\)：坐标不变的梯度向量场——普通梯度依赖坐标（换参数化方向就变），黎曼梯度只依赖几何。有限步坐标 Euler 更新一般不在非线性换坐标下精确不变；使用指数映射或合适的 retraction 还需另外定义离散算法。\(\blacksquare\)

收官页：曲率——黎曼张量的定义与含义、截面曲率、以及 Gauss–Bonnet 的高维眺望。

原始资料：Lee 第2版作者页面及勘误，对应度量、Levi-Civita 联络、测地线与完备性章节；本页的投影、变分和三份日志均可由给出的式子复算。