本页目录

随机分析 III · Itô 公式与 SDE 理论

对标：Øksendal §4–5 ｜前置：sc-01/02、ode-01（本科）、泛函 I 两张本科欠条在本页兑付：Itô 公式的证明（"带 \((dB)^2 = dt\) 的 Taylor 展开"如何变成定理）与 SDE 解的存在唯一性（Picard 迭代在 \(L^2\) 路径空间的重演）。

1. Itô 过程与 Itô 公式

Itô 过程：\(X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s\,ds + \int_0^t \sigma_s\,dB_s\)（漂移 + Itô 积分；微分记号 \(dX = \mu\,dt + \sigma\,dB\) 只是它的速记）。

定理（Itô 公式） \(f \in C^{1,2}\)（时间一阶、空间二阶连续可微）：

\[ df(t, X_t) = \Big(f_t + \mu f_x + \frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}\Big)dt + \sigma f_x\,dB_t \]

【证明骨架（结构完整，簿记略）】 四步： ① 局部化：停时截断使 \(X, \mu, \sigma\) 有界（结论对停止过程证完后放开——研究生概率的标准开场白）； ② Taylor 展开：对分割 \(\{t_j\}\)，

\[ f(X_{t_{j+1}}) - f(X_{t_j}) = f_x\,\Delta X_j + \frac12 f_{xx}\,(\Delta X_j)^2 + R_j \]

③ 逐项归位：\(\sum f_x\Delta X_j \to \int f_x\,dX\)（Riemann 和收敛到 Itô 积分——sc-02 的构造在左端点采样，正好对上）；\((\Delta X_j)^2 = \sigma^2(\Delta B_j)^2 + \text{交叉与 } dt^2 \text{ 项}\)，其中 \(\sum\sigma^2(\Delta B_j)^2 \to \int\sigma^2\,dt\)（二次变差定理的加权版——sc-01 §2 的 \(L^2\) 论证带权重重跑），其余项按 \(|\Delta B||\Delta t| \sim \Delta t^{3/2}\) 归零； ④ 余项控制：\(R_j = o((\Delta X_j)^2)\)，由 \(f_{xx}\) 的一致连续（紧区间）+ ③ 的二次变差有限压死。\(\blacksquare\)

读法：证明只做了一件事——把"\((dB)^2 = dt\)、其余高阶归零"的口诀逐项落实为极限定理；二阶项存活的机理正是二次变差非零。多维版（\(f(t, X^1,\dots,X^d)\)，含协变差 \(d\langle X^i, X^j\rangle\)）同构【引用】。

2. SDE：强解的存在唯一性

定理（Itô 存在唯一性） SDE \(\ dX = \mu(t, X)dt + \sigma(t, X)dB,\ X_0 = x_0\)，若系数满足（i）Lipschitz：\(|\mu(t,x)-\mu(t,y)| + |\sigma(t,x)-\sigma(t,y)| \leq L|x-y|\)；（ii）线性增长：\(|\mu| + |\sigma| \leq C(1 + |x|)\)，则存在唯一（不可区分意义）连续适应强解，且 \(E\sup_{t\leq T}X_t^2 < \infty\)。

【证明骨架（Picard 在 \(L^2\) 路径空间）】 定义映射

\[ (\Phi X)_t = x_0 + \int_0^t\mu(s, X_s)ds + \int_0^t\sigma(s, X_s)dB_s \]

在范数 \(\|X\|^2 = E\sup_{t\leq T}|X_t|^2\) 的空间上： ① \(\Phi\) 良定（线性增长 + 等距给平方可积）； ② 压缩估计：\(E\sup_{t\leq T}|(\Phi X - \Phi Y)_t|^2 \leq C_T\int_0^T E|X_s - Y_s|^2 ds\)——漂移项用 Cauchy–Schwarz、扩散项用 Doob \(L^2\) 极大不等式 + Itô 等距（mt-04 与 sc-02 各出一件兵器），Lipschitz 收口； ③ 迭代 \(X^{(n+1)} = \Phi X^{(n)}\)：②的积分形式给 \(\|X^{(n+1)} - X^{(n)}\|^2 \leq \frac{(C_T T)^n}{n!}\|X^{(1)} - X^{(0)}\|^2\)——阶乘衰减（比几何压缩更强），级数可和 ⇒ Cauchy 列，完备性给极限；BC-I（mt-01）升级为 a.s. 一致收敛； ④ 唯一性：两解之差代入②，Grönwall 不等式（\(u(t) \leq C\int_0^t u\,ds \Rightarrow u \equiv 0\)——ODE 理论的老朋友）判零。\(\blacksquare\)

读法：与 ode-01 Picard 定理逐步对应（映射—压缩—迭代—Grönwall），只是每步多穿一件概率装备（等距、Doob、BC）——"随机分析 = 经典分析 + 鞅论装备包"的全课程缩影。Lipschitz 失守的后果也同构：\(\sigma(x) = |x|^\alpha,\ \alpha < \frac12\) 时唯一性可失（对照 ode-01 的 \(\sqrt{|y|}\)）；金融的 CIR 过程恰在临界 \(\alpha = \frac12\) 上，另有专门论证（Yamada–Watanabe【引用】——强弱解与路径唯一性的一般理论同此引用）。

3. 两个立即收割

几何布朗运动（严格版）：\(dS = \mu S dt + \sigma S dB\) 系数 Lipschitz ⇒ 唯一强解；对 \(\ln S\) 用 Itô 公式（现在是定理了）得显式解 \(S_t = S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2)t + \sigma B_t}\)——本科 sde-01 的计算获得完整资格链。

OU 过程：\(dX = -\theta X dt + \sigma dB\) ⇒ 唯一强解 = \(e^{-\theta t}x_0 + \sigma\int_0^t e^{-\theta(t-s)}dB_s\)（对 \(e^{\theta t}X_t\) 用 Itô 验证）；其为高斯过程、方差 \(\frac{\sigma^2}{2\theta}(1 - e^{-2\theta t})\) 由等距一行算出——本科 sde-02 的公式全部落地。

4. 练习与要点

例 1（Itô 公式即计算器） 求 \(E[B_t^4]\)：对 \(f = x^4\) 用 Itô，\(dB_t^4 = 4B^3dB + 6B^2dt\)，取期望（鞅项归零）得 \(\frac{d}{dt}EB_t^4 = 6EB_t^2 = 6t\) ⇒ \(EB_t^4 = 3t^2\)——高斯四阶矩不查表自产（此法可递推全部偶数矩）。

例 2（Grönwall 亲手用） 由 §2 ②推矩估计 \(E|X_t|^2 \leq C(1 + |x_0|^2)e^{Ct}\)：线性增长代入、Grönwall 收口——解的矩不会爆破（有限时间内），数值格式（Euler–Maruyama）收敛性分析的前置件。

例 3（验证型练习） 证明 \(X_t = \frac{B_t}{1+t}\) 满足 SDE \(dX = -\frac{X}{1+t}dt + \frac{1}{1+t}dB\)：对 \(f(t,x) = \frac{x}{1+t}\) 用 Itô 公式（注意 \(f_{xx} = 0\)，修正项消失——线性函数不吃 Itô 税）。\(\blacksquare\)

下一页：换测度的魔法——Girsanov 定理、鞅表示定理与 Feynman–Kac：金融数学三大支柱的严格版，随机分析收官。