代数进阶 II · Galois 对应

对标：Dummit & Foote §13–14 / Artin §16 ｜ 前置：本科抽代 II（域扩张、极小多项式）、alg2-01 Galois 理论的主定理：域扩张的中间域 ⟷ Galois 群的子群，一一反序对应——"解方程的可能性"被翻译成"群的结构"（at-02 覆盖空间对应的代数原型）。本页把对应立起来并配齐工作例；不可解性的引爆留给收官页。

1. 三个前置概念（各一段）

分裂域：\(f\) 的全部根恰好都在、且由根生成的扩张 \(K/F\)（存在唯一至同构【骨架：逐根添加 + 同构延拓引理】）。

正规扩张：\(F\) 上不可约多项式在 \(K\) 中要么无根要么全根——"根不落单"（⟺ 某多项式的分裂域）。

可分扩张：极小多项式无重根。特征 0 与有限域上自动可分【骨架：重根 ⟺ \(\gcd(f, f') \neq 1\)，特征 0 时 \(f' \neq 0\) 且次数更低】——本课程（特征 0 主场）可分性白送，不设障碍。

Galois 扩张 = 正规 + 可分；Galois 群 \(\mathrm{Gal}(K/F)\) = 固定 \(F\) 逐点的 \(K\)-自同构群。基本事实【骨架】：自同构把根搬到根（系数在 \(F\) 里不动 ⇒ 代入保方程）⇒ \(\mathrm{Gal}\) 嵌入根的置换群；\(|\mathrm{Gal}(K/F)| = [K : F]\)（Galois 扩张的标志性等式，由本原元定理或 Artin 引理【引用】）。

2. 主定理

定理（Galois 对应） \(K/F\) 有限 Galois，\(G = \mathrm{Gal}(K/F)\)：

\(E \mapsto \mathrm{Gal}(K/E)\)（固定 \(E\) 的自同构），\(H \mapsto K^H\)（\(H\) 的不动域）——互逆、反序（域越大群越小），且：\([K : E] = |H|\)、\([E : F] = [G : H]\)；\(E/F\) 正规 ⟺ \(H \trianglelefteq G\)，此时 \(\mathrm{Gal}(E/F) \cong G/H\)。

【骨架（两个引擎）】 引擎一（Artin）：\(|H| = [K : K^H]\)——不动域的次数恰是群的阶（线性无关性论证：Dedekind 引理说不同自同构线性无关【引用】）；引擎二：Galois 扩张的判据 \(K^G = F\)（"被全群固定的只有底域"）。两引擎合成互逆性；正规性对应 = "共轭子群 ↔ 共轭中间域"的整理。\(\blacksquare\)

与 at-02 的对表兑现：中间域 ↔ 子群（反序）恰如覆盖空间 ↔ 子群；正规扩张 ↔ 正规子群恰如正规覆盖——两张 Galois 对应表逐行同构（范畴级同型的两个化身；本科抽代 II 的预告至此双向闭合）。

3. 工作例（把对应盘活）

例 A（全站标准例） \(K = \mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3)\)：\([K:\mathbb{Q}] = 4\)（本科已证），\(G = \{\mathrm{id}, \sigma, \tau, \sigma\tau\} \cong V_4\)（\(\sigma: \sqrt2\mapsto-\sqrt2\)；\(\tau: \sqrt3\mapsto-\sqrt3\)）。\(V_4\) 的三个 2 阶子群 ↔ 三个中间二次域：

（各是"谁固定谁"的一行验证——第三个中间域 \(\mathbb{Q}(\sqrt6)\) 靠肉眼容易漏、靠群论不可能漏：对应的第一次实战价值。）

例 B（不交换的样本） \(x^3 - 2\) 的分裂域 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2, \omega)\)（\(\omega\) = 三次单位根）：次数 6、\(G \cong S_3\)（三根的全置换实现）。\(S_3\) 的子群格 ↔ 中间域格：\(A_3 \trianglelefteq S_3\) ↔ 正规中间域 \(\mathbb{Q}(\omega)\)；三个不正规的 \(\langle\)对换\(\rangle\) ↔ 三个共轭域 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2\,\omega^k)\)（不正规子群对应"根不齐"的域——正规性判据的活教材）。

例 C（有限域，一行全解） \(\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle\mathrm{Frob}: x\mapsto x^p\rangle \cong \mathbb{Z}_n\)（循环！）——中间域 ↔ \(n\) 的因子：本科抽代 II 的有限域结构定理原来是 Galois 对应的最简调用。

4. 练习与要点

例 1（对应反查） 例 B 中求固定 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\) 的子群：\([E:\mathbb{Q}] = 3 \Rightarrow [G:H] = 3 \Rightarrow |H| = 2\)——是哪个对换？（固定实根、交换两复根者。）"次数算指数、指数锁子群"的标准操作。

例 2（分圆域） \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/n)^*\)【骨架：\(\zeta_n \mapsto \zeta_n^k\)，\(k\) 互素】——交换！正十七边形可作图 = \((\mathbb{Z}/17)^*\cong\mathbb{Z}_{16}\) 有 2-幂塔（Gauss 19 岁的成名作在对应语言里两行讲清——本科尺规作图判据的正向应用）。

例 3（对表默写） 不看书写出 Galois/覆盖空间对应的六行对照表（对象/态射/正规性/商/万有对象/"群"）——两学科同构的记忆即理解。\(\blacksquare\)

收官页：把对应变成判决——根式扩张 ⟺ 可解群，\(S_5\) 的不可解引爆"五次方程无求根公式"，全站最后一张欠条销账。