{ "schema": 1, "provenance": { "date": "2026-09-11", "node": "v24.14.0", "platform": "darwin", "arch": "arm64", "jsSha256": "a6344ff2e0bbd12beee9f8a3275b2e9a0cf7ed4d17fe7d67f3c04b23bbb56a31" }, "biquadratic": { "version": 159, "parameters": { "model": "biquadratic", "prime": "2", "polynomial": "1,1,0,1", "generators": "1", "element": "0,1,1,0" }, "valid": true, "base": { "valid": true, "model": "biquadratic", "label": "Q(√2,√3) / Q", "prime": 0, "degree": 4, "galois": true, "groupLabel": "V₄", "relations": { "x": [ "-2", "0", "1" ], "y": [ "-3", "0", "1" ] }, "basisLabels": [ "1", "√2", "√3", "√2·√3" ], "structure": [ [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "2", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "3", "0", "0", "0" ], [ "0", "3", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "2", "0" ], [ "0", "3", "0", "0" ], [ "6", "0", "0", "0" ] ] ], "automorphisms": [ { "id": 0, "label": "√2↦√2；√3↦√3", "matrix": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "1", "0" ] }, { "id": 1, "label": "√2↦−√2；√3↦√3", "matrix": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1" ] ] }, "x": [ "0", "-1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "1", "0" ] }, { "id": 2, "label": "√2↦√2；√3↦−√3", "matrix": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "-1", "0" ] }, { "id": 3, "label": "√2↦−√2；√3↦−√3", "matrix": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "-1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "-1", "0" ] } ], "group": { "order": 4, "multiplication": [ [ 0, 1, 2, 3 ], [ 1, 0, 3, 2 ], [ 2, 3, 0, 1 ], [ 3, 2, 1, 0 ] ], "inverses": [ 0, 1, 2, 3 ], "subgroups": [ { "elements": [ 0 ], "generators": [], "id": 0, "order": 1, "conjugates": [ 0, 0, 0, 0 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3 ] }, { "elements": [ 0, 1 ], "generators": [ 1 ], "id": 1, "order": 2, "conjugates": [ 1, 1, 1, 1 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3 ] }, { "elements": [ 0, 2 ], "generators": [ 2 ], "id": 2, "order": 2, "conjugates": [ 2, 2, 2, 2 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3 ] }, { "elements": [ 0, 3 ], "generators": [ 3 ], "id": 3, "order": 2, "conjugates": [ 3, 3, 3, 3 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3 ] }, { "elements": [ 0, 1, 2, 3 ], "generators": [ 1, 2 ], "id": 4, "order": 4, "conjugates": [ 4, 4, 4, 4 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3 ] } ], "inclusions": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 0, 3 ], [ 0, 4 ], [ 1, 4 ], [ 2, 4 ], [ 3, 4 ] ], "covers": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 0, 3 ], [ 1, 4 ], [ 2, 4 ], [ 3, 4 ] ] }, "fixedFields": [ { "subgroupId": 0, "dimension": 4, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [], "pivots": [], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "2", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "3", "0", "0", "0" ], [ "0", "3", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "2", "0" ], [ "0", "3", "0", "0" ], [ "6", "0", "0", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 1, "dimension": 2, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ] ], "equations": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2" ] ] }, "rref": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 8, "cols": 8, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 5 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" } ], "pivots": [ 1, 3 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ], [ [ "0", "1" ], [ "3", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 2, "dimension": 2, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2" ] ] }, "rref": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 8, "cols": 8, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 6 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" } ], "pivots": [ 2, 3 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ], [ [ "0", "1" ], [ "2", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 3, "dimension": 2, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 8, "cols": 4, "data": [ [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 8, "cols": 8, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 5 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 6 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" } ], "pivots": [ 1, 2 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ], [ [ "0", "1" ], [ "6", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 4, "dimension": 1, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 16, "cols": 4, "data": [ [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 16, "cols": 4, "data": [ [ "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 16, "cols": 16, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 5 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 0, "multiple": "2" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 10 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 1, "multiple": "2" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 2, "multiple": "2" } ], "pivots": [ 1, 2, 3 ], "multiplication": [ [ [ "1" ] ] ] } ], "fieldInclusions": [ [ 1, 0 ], [ 2, 0 ], [ 3, 0 ], [ 4, 0 ], [ 4, 1 ], [ 4, 2 ], [ 4, 3 ] ], "irreducibility": null }, "selected": { "subgroupId": 1, "generators": [ 1 ], "order": 2, "fixedDimension": 2, "normal": true, "quotient": { "exists": true, "cosets": [ [ 0, 1 ], [ 2, 3 ] ], "projection": [ 0, 0, 1, 1 ], "multiplication": [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ], "restrictions": [ { "rows": 2, "cols": 2, "data": [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ] }, { "rows": 2, "cols": 2, "data": [ [ "1", "0" ], [ "0", "-1" ] ] } ], "overBaseIsGalois": true, "baseWarning": null } }, "element": { "coordinates": [ "0", "1", "1", "0" ], "inverse": [ "0", "-1", "1", "0" ], "multiplication": { "rows": 4, "cols": 4, "data": [ [ "0", "2", "3", "0" ], [ "1", "0", "0", "3" ], [ "1", "0", "0", "2" ], [ "0", "1", "1", "0" ] ] }, "minimalPolynomial": { "degree": 4, "coefficients": [ "1", "0", "-10", "0", "1" ], "powers": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0" ], [ "5", "0", "0", "2" ], [ "0", "11", "9", "0" ], [ "49", "0", "0", "20" ] ] }, "primitive": true, "images": [ [ "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "-1", "1", "0" ], [ "0", "1", "-1", "0" ], [ "0", "-1", "-1", "0" ] ], "stabilizer": [ 0 ], "orbit": [ [ "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "-1", "1", "0" ], [ "0", "1", "-1", "0" ], [ "0", "-1", "-1", "0" ] ], "orbitTransporters": [ 0, 1, 2, 3 ], "orbitPolynomial": [ [ "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "-10", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0" ] ], "orbitPolynomialOverBase": true, "trace": "0", "norm": "1", "relativeTrace": [ "0", "0", "2", "0" ], "relativeNorm": [ "1", "0", "0", "0" ], "relativeTraceCoordinates": [ "0", "2" ], "relativeNormCoordinates": [ "1", "0" ], "membership": [ { "subgroupId": 0, "coordinates": [ "0", "1", "1", "0" ] }, { "subgroupId": 1, "coordinates": null }, { "subgroupId": 2, "coordinates": null }, { "subgroupId": 3, "coordinates": null }, { "subgroupId": 4, "coordinates": null } ] } }, "cubic": { "version": 159, "parameters": { "model": "cubic", "prime": "2", "polynomial": "1,1,0,1", "generators": "3", "element": "0,1,0,0,0,0" }, "valid": true, "base": { "valid": true, "model": "cubic", "label": "Q(∛2,ω) / Q", "prime": 0, "degree": 6, "galois": true, "groupLabel": "S₃", "relations": { "x": [ "-2", "0", "0", "1" ], "y": [ "1", "1", "1" ] }, "basisLabels": [ "1", "α", "α^2", "ω", "α·ω", "α^2·ω" ], "structure": [ [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "2", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "2", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "-1", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "-2", "0", "0", "-2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "2", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "-2", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "-2", "0" ] ] ], "automorphisms": [ { "id": 0, "label": "α↦ω^0α；ω↦ω^1", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ] }, { "id": 1, "label": "α↦ω^1α；ω↦ω^1", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ] ] }, "x": [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ] }, { "id": 2, "label": "α↦ω^2α；ω↦ω^1", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-1" ] ] }, "x": [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ] }, { "id": 3, "label": "α↦ω^0α；ω↦ω^2", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], "y": [ "-1", "0", "0", "-1", "0", "0" ] }, { "id": 4, "label": "α↦ω^1α；ω↦ω^2", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], "y": [ "-1", "0", "0", "-1", "0", "0" ] }, { "id": 5, "label": "α↦ω^2α；ω↦ω^2", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ] ] }, "x": [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], "y": [ "-1", "0", "0", "-1", "0", "0" ] } ], "group": { "order": 6, "multiplication": [ [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ], [ 1, 2, 0, 4, 5, 3 ], [ 2, 0, 1, 5, 3, 4 ], [ 3, 5, 4, 0, 2, 1 ], [ 4, 3, 5, 1, 0, 2 ], [ 5, 4, 3, 2, 1, 0 ] ], "inverses": [ 0, 2, 1, 3, 4, 5 ], "subgroups": [ { "elements": [ 0 ], "generators": [], "id": 0, "order": 1, "conjugates": [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] }, { "elements": [ 0, 3 ], "generators": [ 3 ], "id": 1, "order": 2, "conjugates": [ 1, 3, 2, 1, 3, 2 ], "normal": false, "normalizer": [ 0, 3 ] }, { "elements": [ 0, 4 ], "generators": [ 4 ], "id": 2, "order": 2, "conjugates": [ 2, 1, 3, 3, 2, 1 ], "normal": false, "normalizer": [ 0, 4 ] }, { "elements": [ 0, 5 ], "generators": [ 5 ], "id": 3, "order": 2, "conjugates": [ 3, 2, 1, 2, 1, 3 ], "normal": false, "normalizer": [ 0, 5 ] }, { "elements": [ 0, 1, 2 ], "generators": [ 1 ], "id": 4, "order": 3, "conjugates": [ 4, 4, 4, 4, 4, 4 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] }, { "elements": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ], "generators": [ 1, 3 ], "id": 5, "order": 6, "conjugates": [ 5, 5, 5, 5, 5, 5 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] } ], "inclusions": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 0, 3 ], [ 0, 4 ], [ 0, 5 ], [ 1, 5 ], [ 2, 5 ], [ 3, 5 ], [ 4, 5 ] ], "covers": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 0, 3 ], [ 0, 4 ], [ 1, 5 ], [ 2, 5 ], [ 3, 5 ], [ 4, 5 ] ] }, "fixedFields": [ { "subgroupId": 0, "dimension": 6, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [], "pivots": [], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "2", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "2", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "-1", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "-2", "0", "0", "-2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "2", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "-2", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "-2", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 1, "dimension": 3, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-2" ] ] }, "rref": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 12, "cols": 12, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 6 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 0, "multiple": "2" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 1, "multiple": "2" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 8 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 2, "multiple": "2" } ], "pivots": [ 3, 4, 5 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ], [ "0", "2", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 2, "dimension": 3, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 12, "cols": 12, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 8 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 6 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 2, "multiple": "2" } ], "pivots": [ 1, 2, 3 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ], [ "-2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "-2", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 3, "dimension": 3, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-1" ] ] }, "rref": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 12, "cols": 12, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/2", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 8 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 6 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 2, "multiple": "2" } ], "pivots": [ 1, 2, 3 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-1" ], [ "-2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "-2", "0", "0" ], [ "0", "2", "0" ] ] ] }, { "subgroupId": 4, "dimension": 2, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 18, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-2" ] ] }, "rref": { "rows": 18, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 18, "cols": 18, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 0, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 8 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 17, "j": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 10 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1/3" }, { "kind": "add", "i": 0, "j": 2, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 2, "multiple": "-3" }, { "kind": "swap", "i": 3, "j": 11 }, { "kind": "scale", "i": 3, "multiple": "-2/3" }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 3, "multiple": "1/2" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 3, "multiple": "3/2" }, { "kind": "add", "i": 17, "j": 3, "multiple": "3/2" } ], "pivots": [ 1, 2, 4, 5 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ], [ [ "0", "1" ], [ "-1", "-1" ] ] ] }, { "subgroupId": 5, "dimension": 1, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 36, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-2" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-1" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "-2", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "-2" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "-2", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "-1", "0", "0" ], [ "0", "-2", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "-1", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "-2", "0", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "-1" ] ] }, "rref": { "rows": 36, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 36, "cols": 36, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "2/3", "0", "0", "-4/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1/3", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-4/3", "0", "0", "2/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "-2/3", "0", "0", "1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "2/3", "0", "0", "-1/3", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "scale", "i": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 0, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 25, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 28, "j": 0, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 0, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 34, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 8 }, { "kind": "scale", "i": 1, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 11, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 17, "j": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 26, "j": 1, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 29, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 32, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 35, "j": 1, "multiple": "-1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 18 }, { "kind": "scale", "i": 2, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 21, "j": 2, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 24, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 27, "j": 2, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 30, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 33, "j": 2, "multiple": "2" }, { "kind": "swap", "i": 3, "j": 10 }, { "kind": "scale", "i": 3, "multiple": "-1/3" }, { "kind": "add", "i": 0, "j": 3, "multiple": "-1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 3, "multiple": "-3" }, { "kind": "add", "i": 19, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 22, "j": 3, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 25, "j": 3, "multiple": "-2" }, { "kind": "add", "i": 28, "j": 3, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 3, "multiple": "-2" }, { "kind": "add", "i": 34, "j": 3, "multiple": "-1" }, { "kind": "swap", "i": 4, "j": 11 }, { "kind": "scale", "i": 4, "multiple": "-2/3" }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 4, "multiple": "1/2" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 4, "multiple": "3/2" }, { "kind": "add", "i": 17, "j": 4, "multiple": "3/2" }, { "kind": "add", "i": 20, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 23, "j": 4, "multiple": "2" }, { "kind": "add", "i": 26, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 29, "j": 4, "multiple": "1/2" }, { "kind": "add", "i": 32, "j": 4, "multiple": "-1/2" }, { "kind": "add", "i": 35, "j": 4, "multiple": "1/2" } ], "pivots": [ 1, 2, 3, 4, 5 ], "multiplication": [ [ [ "1" ] ] ] } ], "fieldInclusions": [ [ 1, 0 ], [ 2, 0 ], [ 3, 0 ], [ 4, 0 ], [ 5, 0 ], [ 5, 1 ], [ 5, 2 ], [ 5, 3 ], [ 5, 4 ] ], "irreducibility": null }, "selected": { "subgroupId": 1, "generators": [ 3 ], "order": 2, "fixedDimension": 3, "normal": false, "quotient": { "exists": false, "conjugator": 1, "conjugateSubgroup": 3, "basisIndex": 1, "image": [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ] } }, "element": { "coordinates": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], "inverse": [ "0", "0", "1/2", "0", "0", "0" ], "multiplication": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "2", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "2" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ] ] }, "minimalPolynomial": { "degree": 3, "coefficients": [ "-2", "0", "0", "1" ], "powers": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "2", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "primitive": false, "images": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ] ], "stabilizer": [ 0, 3 ], "orbit": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "-1", "0", "0", "-1", "0" ] ], "orbitTransporters": [ 0, 1, 2 ], "orbitPolynomial": [ [ "-2", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ] ], "orbitPolynomialOverBase": true, "trace": "0", "norm": "4", "relativeTrace": [ "0", "2", "0", "0", "0", "0" ], "relativeNorm": [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], "relativeTraceCoordinates": [ "0", "2", "0" ], "relativeNormCoordinates": [ "0", "0", "1" ], "membership": [ { "subgroupId": 0, "coordinates": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ] }, { "subgroupId": 1, "coordinates": [ "0", "1", "0" ] }, { "subgroupId": 2, "coordinates": null }, { "subgroupId": 3, "coordinates": null }, { "subgroupId": 4, "coordinates": null }, { "subgroupId": 5, "coordinates": null } ] } }, "finite": { "version": 159, "parameters": { "model": "finite", "prime": "2", "polynomial": "1,1,0,0,0,0,1", "generators": "2", "element": "0,1,0,0,0,0" }, "valid": true, "base": { "valid": true, "model": "finite", "label": "F64 / F2", "prime": 2, "degree": 6, "galois": true, "groupLabel": "C6", "relations": { "x": [ "1", "1", "0", "0", "0", "0", "1" ], "y": [ "0", "1" ] }, "basisLabels": [ "1", "t", "t^2", "t^3", "t^4", "t^5" ], "structure": [ [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ] ] ], "automorphisms": [ { "id": 0, "label": "Frob^0：t↦t^1", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] }, { "id": 1, "label": "Frob^1：t↦t^2", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] }, { "id": 2, "label": "Frob^2：t↦t^4", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] }, { "id": 3, "label": "Frob^3：t↦t^8", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "1", "1", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] }, { "id": 4, "label": "Frob^4：t↦t^16", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "1", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "1", "1", "0", "0", "1", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] }, { "id": 5, "label": "Frob^5：t↦t^32", "matrix": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "1", "0", "0", "1", "0", "0" ], "y": [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] } ], "group": { "order": 6, "multiplication": [ [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ], [ 1, 2, 3, 4, 5, 0 ], [ 2, 3, 4, 5, 0, 1 ], [ 3, 4, 5, 0, 1, 2 ], [ 4, 5, 0, 1, 2, 3 ], [ 5, 0, 1, 2, 3, 4 ] ], "inverses": [ 0, 5, 4, 3, 2, 1 ], "subgroups": [ { "elements": [ 0 ], "generators": [], "id": 0, "order": 1, "conjugates": [ 0, 0, 0, 0, 0, 0 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] }, { "elements": [ 0, 3 ], "generators": [ 3 ], "id": 1, "order": 2, "conjugates": [ 1, 1, 1, 1, 1, 1 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] }, { "elements": [ 0, 2, 4 ], "generators": [ 2 ], "id": 2, "order": 3, "conjugates": [ 2, 2, 2, 2, 2, 2 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] }, { "elements": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ], "generators": [ 1 ], "id": 3, "order": 6, "conjugates": [ 3, 3, 3, 3, 3, 3 ], "normal": true, "normalizer": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ] } ], "inclusions": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 0, 3 ], [ 1, 3 ], [ 2, 3 ] ], "covers": [ [ 0, 1 ], [ 0, 2 ], [ 1, 3 ], [ 2, 3 ] ] }, "fixedFields": [ { "subgroupId": 0, "dimension": 6, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [], "pivots": [], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ] ], [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ] ] ] }, { "subgroupId": 1, "dimension": 3, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "1", "0" ] ], "equations": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "1", "1" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "1", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 12, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 12, "cols": 12, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "add", "i": 8, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 6 }, { "kind": "add", "i": 0, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 9 }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 2, "multiple": "1" } ], "pivots": [ 1, 2, 5 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "1", "0", "1" ], [ "1", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "1" ] ] ] }, { "subgroupId": 2, "dimension": 2, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "1", "1", "1" ] ], "equations": { "rows": 18, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 18, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 18, "cols": 18, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 12, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 9 }, { "kind": "add", "i": 12, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 6 }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 8, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 3, "j": 8 }, { "kind": "add", "i": 0, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 2, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 12, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 3, "multiple": "1" } ], "pivots": [ 1, 2, 3, 4 ], "multiplication": [ [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ], [ [ "0", "1" ], [ "1", "1" ] ] ] }, { "subgroupId": 3, "dimension": 1, "basis": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ] ], "equations": { "rows": 36, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "1", "1" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "1", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "1" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "1", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "1", "1" ], [ "0", "1", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 36, "cols": 6, "data": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 36, "cols": 36, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [ { "kind": "swap", "i": 0, "j": 7 }, { "kind": "add", "i": 8, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 19, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 20, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 21, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 24, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 28, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 30, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 33, "j": 0, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 1, "j": 8 }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 18, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 19, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 20, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 22, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 24, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 26, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 27, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 32, "j": 1, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 2, "j": 6 }, { "kind": "add", "i": 0, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 9, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 10, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 12, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 24, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 27, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 28, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 30, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 32, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 34, "j": 2, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 3, "j": 9 }, { "kind": "add", "i": 1, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 12, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 13, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 19, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 20, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 21, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 24, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 25, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 26, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 27, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 28, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 31, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 34, "j": 3, "multiple": "1" }, { "kind": "swap", "i": 4, "j": 10 }, { "kind": "add", "i": 14, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 15, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 16, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 18, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 19, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 20, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 21, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 25, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 26, "j": 4, "multiple": "1" }, { "kind": "add", "i": 32, "j": 4, "multiple": "1" } ], "pivots": [ 1, 2, 3, 4, 5 ], "multiplication": [ [ [ "1" ] ] ] } ], "fieldInclusions": [ [ 1, 0 ], [ 2, 0 ], [ 3, 0 ], [ 3, 1 ], [ 3, 2 ] ], "irreducibility": { "prime": 2, "degree": 6, "polynomial": [ "1", "1", "0", "0", "0", "0", "1" ], "frobeniusRemainders": [ [ "0", "1" ], [ "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "0", "1", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "1" ], [ "1", "0", "0", "1" ], [ "0", "1" ] ], "tests": [ { "primeDivisor": 2, "iteration": 3, "difference": [ "0", "1", "1", "1" ], "gcd": [ "1" ], "unit": true }, { "primeDivisor": 3, "iteration": 2, "difference": [ "0", "1", "0", "0", "1" ], "gcd": [ "1" ], "unit": true } ], "terminalDifference": [ "0" ], "irreducible": true } }, "selected": { "subgroupId": 2, "generators": [ 2 ], "order": 3, "fixedDimension": 2, "normal": true, "quotient": { "exists": true, "cosets": [ [ 0, 2, 4 ], [ 1, 3, 5 ] ], "projection": [ 0, 1, 0, 1, 0, 1 ], "multiplication": [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ], "restrictions": [ { "rows": 2, "cols": 2, "data": [ [ "1", "0" ], [ "0", "1" ] ] }, { "rows": 2, "cols": 2, "data": [ [ "1", "1" ], [ "0", "1" ] ] } ], "overBaseIsGalois": true, "baseWarning": null } }, "element": { "coordinates": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], "inverse": [ "1", "0", "0", "0", "0", "1" ], "multiplication": { "rows": 6, "cols": 6, "data": [ [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ] ] }, "minimalPolynomial": { "degree": 6, "coefficients": [ "1", "1", "0", "0", "0", "0", "1" ], "powers": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "1", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "1" ], [ "1", "1", "0", "0", "0", "0" ] ] }, "primitive": true, "images": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "1", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "1", "0", "0", "1", "0", "0" ] ], "stabilizer": [ 0 ], "orbit": [ [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "1", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1", "1", "0", "0" ], [ "1", "1", "0", "0", "1", "0" ], [ "1", "0", "0", "1", "0", "0" ] ], "orbitTransporters": [ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ], "orbitPolynomial": [ [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0", "0", "0", "0" ], [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ] ], "orbitPolynomialOverBase": true, "trace": "0", "norm": "1", "relativeTrace": [ "1", "0", "0", "0", "0", "0" ], "relativeNorm": [ "1", "1", "0", "1", "1", "1" ], "relativeTraceCoordinates": [ "1", "0" ], "relativeNormCoordinates": [ "1", "1" ], "membership": [ { "subgroupId": 0, "coordinates": [ "0", "1", "0", "0", "0", "0" ] }, { "subgroupId": 1, "coordinates": null }, { "subgroupId": 2, "coordinates": null }, { "subgroupId": 3, "coordinates": null } ] } }, "nonnormal": { "version": 159, "parameters": { "model": "nonnormal", "prime": "2", "polynomial": "1,1,0,1", "generators": "", "element": "0,1,0" }, "valid": true, "base": { "valid": true, "model": "nonnormal", "label": "Q(∛2) / Q（非正规）", "prime": 0, "degree": 3, "galois": false, "groupLabel": "Aut = {1}", "relations": { "x": [ "-2", "0", "0", "1" ], "y": [ "0", "1" ] }, "basisLabels": [ "1", "α", "α^2" ], "structure": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ], [ "0", "2", "0" ] ] ], "automorphisms": [ { "id": 0, "label": "恒等：α↦α", "matrix": { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ] }, "x": [ "0", "1", "0" ], "y": [ "0", "0", "0" ] } ], "group": { "order": 1, "multiplication": [ [ 0 ] ], "inverses": [ 0 ], "subgroups": [ { "elements": [ 0 ], "generators": [], "id": 0, "order": 1, "conjugates": [ 0 ], "normal": true, "normalizer": [ 0 ] } ], "inclusions": [], "covers": [] }, "fixedFields": [ { "subgroupId": 0, "dimension": 3, "basis": [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], "equations": { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0" ] ] }, "rref": { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0" ], [ "0", "0", "0" ] ] }, "left": { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ] }, "rowOperations": [], "pivots": [], "multiplication": [ [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ], [ [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ] ], [ [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ], [ "0", "2", "0" ] ] ] } ], "fieldInclusions": [], "irreducibility": null }, "selected": { "subgroupId": 0, "generators": [], "order": 1, "fixedDimension": 3, "normal": true, "quotient": { "exists": true, "cosets": [ [ 0 ] ], "projection": [ 0 ], "multiplication": [ [ 0 ] ], "restrictions": [ { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ] ] } ], "overBaseIsGalois": false, "baseWarning": "此商描述 E^H / E^Aut(E/F)，不能据此声称 E^H / F 是 Galois" } }, "element": { "coordinates": [ "0", "1", "0" ], "inverse": [ "0", "0", "1/2" ], "multiplication": { "rows": 3, "cols": 3, "data": [ [ "0", "0", "2" ], [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ] ] }, "minimalPolynomial": { "degree": 3, "coefficients": [ "-2", "0", "0", "1" ], "powers": [ [ "1", "0", "0" ], [ "0", "1", "0" ], [ "0", "0", "1" ], [ "2", "0", "0" ] ] }, "primitive": true, "images": [ [ "0", "1", "0" ] ], "stabilizer": [ 0 ], "orbit": [ [ "0", "1", "0" ] ], "orbitTransporters": [ 0 ], "orbitPolynomial": [ [ "0", "-1", "0" ], [ "1", "0", "0" ] ], "orbitPolynomialOverBase": false, "trace": "0", "norm": "2", "relativeTrace": [ "0", "1", "0" ], "relativeNorm": [ "0", "1", "0" ], "relativeTraceCoordinates": [ "0", "1", "0" ], "relativeNormCoordinates": [ "0", "1", "0" ], "membership": [ { "subgroupId": 0, "coordinates": [ "0", "1", "0" ] } ] } } }