基础衔接 06 · Čech 上同调：在射影直线上算出粘合障碍

1. 不是每一种拼不起来都叫上同调

上一讲遇到过不相容的函数，但没有把它们统称为一个上同调类。本讲补上缺少的结构。我们研究复数域上的代数射影直线 \(X=\mathbb P^1_{\mathbb C}\)，使用正则函数，不用任意连续函数或任意全纯函数。

齐次坐标 \([X_0:X_1]\) 把非零向量按非零倍数等同。取两个开集：\(U_0=\{X_0\ne0\}\)，坐标 \(z=X_1/X_0\)；\(U_1=\{X_1\ne0\}\)，坐标 \(w=X_0/X_1\)。各自是一条仿射直线，交集满足 \(w=1/z\)，其函数环为 Laurent 多项式环 \(\mathbb C[z,z^{-1}]\)。Laurent 多项式只有有限个非零系数，不是无限 Laurent 级数。

2. 把线丛约定写成一条能代入的等式

对任意整数 \(k\)，在两个开集上选形式基 \(e_0,e_1\)，并在交集规定

这定义扭曲层 \(\mathcal O(k)\) 的局部平凡化约定。局部截面分别写成 \(f_0(z)e_0\) 与 \(f_1(w)e_1\)，其中 \(f_0,f_1\) 为多项式。能粘合的条件是

注意是基向量满足 \(e_1=z^ke_0\)；截面系数的变换须从等式推出。若把二者混用，就会把 \(\mathcal O(k)\) 与 \(\mathcal O(-k)\) 的答案颠倒。

3. 从重叠差构造上链复形

相对这两个开集的 Čech 上链为

其中第二个分量记录 \(f_1(1/z)\)，交集统一用 \(e_0\) 表示。微分固定为

采用严格递增指标的归一化 Čech 复形，两个开集没有三元指标项，因此 \(C^2=0\)。于是

这个商作为向量空间来取；分母是两个子空间之和，不是在要求它为 Laurent 环的理想。每个交集截面都是 1-闭上链，而改变两边局部数据只能给它增加 \(\delta\) 的像。剩下的类才是这次指定计算中的障碍。

这里 Čech 答案确实等于层上同调：\(X\) 分离，两个开集及交集都仿射，\(\mathcal O(k)\) 为拟凝聚层，仿射上的高次上同调消失。我们引用这个标准定理，暂不证明。对任意覆盖、任意层不能自动作同样识别。

4. 看指数，就能完成整个计算

第一块 \(\mathbb C[z]\) 包含所有指数 \(j\ge0\)；第二块 \(z^k\mathbb C[z^{-1}]\) 包含所有 \(j\le k\)。

先算 \(H^0\)。粘合需要同一个 Laurent 多项式同时属于这两块，所以指数满足 \(0\le j\le k\)。每个允许的单项式决定唯一的一对局部截面。故

再算 \(H^1\)。所有属于任一块的单项式在商中消失，留下的指数满足 \(k<j<0\)，故

单项式线性无关保证没有隐藏的抵消。维数公式不是有限截断猜测：每个 Laurent 多项式本来就是有限和，未被两端覆盖的指数完整列出了所有剩余基。

取 \(k=-3\)：\(H^0=0\)，\(H^1\) 有基 \([z^{-2}],[z^{-1}]\)。若交集数据

前后两端可由局部数据消去，余类为 \(3[z^{-2}]+5[z^{-1}]\)，非零。取 \(k=-1\) 时两端覆盖全部整数，两个同调都为零。取 \(k=2\) 时全局截面有基 \(1,z,z^2\)，但 \(H^1=0\)。没有全局非零截面与存在非零一次上同调不是同一命题。

把“可以消去”落实为一对局部多项式

对上面的 k=−3 例子，选 \(f_0(z)=-7-z^2\)、\(f_1(w)=2w\)。按本讲符号约定，

所以 \(h-\delta(f_0,f_1)=3z^{-2}+5z^{-1}\)。这对局部多项式就是“两端可消去”的具体见证；剩下两项不能由任一侧允许的指数产生。注意 f₀ 前面的负号：微分定义为第二份数据减第一份数据，不能只凭图形记一个模糊的“做差”。

全局截面的两份系数也能逐项对应。k≥0 时，\(f_0(z)=z^j\) 对应 \(f_1(w)=w^{k-j}\)，其中 \(0\le j\le k\)。例如 k=2 的三组局部系数是 (1,w²)、(z,w)、(z²,1)。这些是 \(\mathcal O(2)\) 截面的局部系数，不是射影直线上的三个全局正则函数；\(\mathcal O\) 自身的全局正则函数在本例中只有常数。

这四行能检查自己有没有把“没有全局截面”误说成“一定有粘合障碍”。

5. 这些数字如何进入研究问题

本例还直接给出 Euler 特征 \(h^0-h^1=k+1\)，这是射影直线上的 Riemann–Roch 特例。我们没有证明任意曲线的 Riemann–Roch，也没有建立一般的 Serre 对偶。

一个更具体的后续用途是扩张：对线丛 \(L,M\)，标准识别 \(\operatorname{Ext}^1(L,M)\cong H^1(M\otimes L^{-1})\) 将短正合列 \(0\to M\to E\to L\to0\) 的扩张类送入一次上同调。取 \(L=\mathcal O,M=\mathcal O(-2)\)，上式得到一维类空间，存在非分裂扩张。零类对应分裂扩张；非零类不等于“有无穷多个不同中间向量丛”，因为扩张等价还固定了两端的识别。这是需要学习 Ext 定义才能继续的结论，不能用类空间的点数替代模空间分类。

在几何 Langlands中，丛的族、同构与导出结构都重要。现在至少可以实际检查一份局部丛数据，并看懂“全局截面之外仍有高次信息”的一个完整算例；一般概形、D-模和栈仍是后续先修。

6. 迁移题

题一。 对 \(\mathcal O(-4)\)，化简 \(z^{-5}+2z^{-3}-z^{-1}+4\) 的一次上同调类。

题二。 \(\mathcal O(2)\) 的一个全局截面在 \(U_0\) 写成 \(1+2z+3z^2\)，在 \(U_1\) 的系数是什么？