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力学 IV · 振动与刚体

对标：Goldstein §4–6 / Landau §5–6 ｜前置：mech-02/03、高代 V–VI（本页是它的物理主场）力学收官的两大专题：小振动理论——"任何稳定平衡附近的世界都是耦合谐振子"，其求解就是一次广义特征值分解（线性代数的物理加冕）；刚体转动——惯量张量与 Euler 方程，"网球拍定理"的出处。

1. 小振动与简正模（普遍理论）

受迫振子的共振曲线 — 图 4.1受迫振子的共振：驱动频率接近固有频率 \(\omega_0\) 时振幅急剧放大，阻尼比 \(\zeta\) 越小峰越尖锐。

设定：体系在稳定平衡点 \(q^0\) 附近，展开拉氏量到二阶：

\[ L \approx \frac12\sum_{ij} T_{ij}\dot\eta_i\dot\eta_j - \frac12\sum_{ij}V_{ij}\eta_i\eta_j \qquad (\eta = q - q^0) \]

\(T\)（动能矩阵）正定、\(V\)（Hessian，优化 II 的老朋友）在稳定平衡处半正定。EL 方程：\(T\ddot{\boldsymbol\eta} = -V\boldsymbol\eta\)。

求解 = 广义特征值问题【推导】：设 \(\boldsymbol\eta = \mathbf a\,e^{i\omega t}\)：

\[ V\mathbf a = \omega^2\,T\mathbf a \]

——高代 VI"一对二次型同时对角化"（一个正定即可同时合同对角化）的物理主场。特征值 \(\omega_\alpha^2\) 给简正频率、特征向量给简正模：在简正坐标下体系解耦为独立谐振子——

读法（这段话值一门课）："复杂振动 = 独立简正模的叠加"——分子振动光谱（每条谱线一个简正模）、建筑抗震（共振频率 = 简正频率）、晶格声子（solid-01 的整章就是无穷多自由度版）、乃至场论的"粒子 = 场的简正模量子"（qft-01 的世界观）全部由此定调。\(\omega^2 < 0\)（\(V\) 有负方向）= 不稳定方向指数逃逸——鞍点的动力学面目（优化 II 呼应）。

样板（双弹簧三车问题级）：两自由度对称体系必有"同相/反相"两模——对称与反对称组合是简正模的常见长相（对称性决定简正模的群论正式版在 aqm-01【引用】）。

2. 刚体：惯量张量

刚体绕定点转动，角速度 \(\boldsymbol\omega\)：

\[ \mathbf L = I\,\boldsymbol\omega, \qquad I_{jk} = \sum_i m_i\big(r_i^2\delta_{jk} - x_{ij}x_{ik}\big), \qquad T = \frac12\boldsymbol\omega^\top I\,\boldsymbol\omega \]

【推导】 \(\mathbf L = \sum m\,\mathbf r\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\) 用 BAC-CAB（解几 I）展开即得。\(I\) 是对称正定矩阵 ⇒ 谱定理（高代 V）给主轴：本征基下 \(I = \mathrm{diag}(I_1, I_2, I_3)\)——任何刚体都有三根互相垂直的"好轴"。⚠️ \(\mathbf L \not\parallel \boldsymbol\omega\)（除非沿主轴转）——歪着转的轮子会晃的代数原因。

Euler 方程【推导骨架】：\(\dot{\mathbf L} = \boldsymbol\tau\) 搬到随体（主轴）系（mech-01 的旋转系导数公式）：

\[ I_1\dot\omega_1 = (I_2 - I_3)\omega_2\omega_3 + \tau_1 \quad (\text{循环}) \]

定理（网球拍/贾尼别科夫定理） 无力矩刚体绕主轴的转动：绕最大、最小惯量轴稳定，绕中间轴不稳定。 【推导】 对绕轴 2 的转动加微扰，Euler 方程线性化：\(\ddot{\omega}_1 = \frac{(I_2-I_3)(I_2-I_1)}{I_1I_3}\omega_2^2\,\omega_1\)——系数符号：\(I_2\) 居中时为正（指数增长，不稳定），\(I_2\) 为极值时为负（振荡，稳定）。\(\blacksquare\)——抛网球拍必翻面、太空中扳手翻转视频的两行解释；也是 ode-03 线性化判稳的教科书应用。

进动一嘴：对称陀螺 + 重力矩 ⇒ \(\boldsymbol\omega_{\text{进动}} = \frac{mgl}{I\omega}\)（快转陀螺近似）——陀螺不倒的定量答案；地球岁差同款方程。

3. 练习与要点

例 1（简正模全流程） 两质量三弹簧（对称）：\(T = m\,\mathrm{diag}(1,1)\)，\(V = k\begin{pmatrix}2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\)：特征值 \(\omega^2 = \frac km, \frac{3k}{m}\)，模 \((1,1)\)（同相，中弹簧不动）与 \((1,-1)\)（反相）——十分钟把普遍理论走成肌肉记忆。

例 2（惯量张量计算） 均匀长方体主轴 = 三条对称轴（对称性免算非对角元）；边长 \(a > b > c\) ⇒ \(I\) 中间值对应中间边方向——抛一本书（胶带捆住）验证中间轴翻转：能在宿舍做的定理。

例 3（零模的含义） 若 \(V\) 有零特征值（\(\omega = 0\)）：该方向是"平移/滑移"自由度（不回复的中性方向）——分子的整体平移转动在振动分析中恰给 6 个零模（对账光谱学的 \(3N - 6\) 规则）；对称破缺的 Goldstone 模（asm-01/pp-02 的伏笔）是它的场论化身。\(\blacksquare\)

力学四页完卷：牛顿（力）→ 拉格朗日（作用量）→ 哈密顿（相空间）→ 线性化世界（简正模）。下一门：电磁学——第一个"场"的理论。