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力学 I · 牛顿力学与守恒律

对标：任何理论力学教材开篇 / Kleppner–Kolenkow ｜前置：数分 II/V、ode 线牛顿力学是全部物理的原型：给定力，运动由二阶 ODE 决定。本页把框架立严（三定律的真实逻辑地位）、把三大守恒律从方程中推出来，并给出"守恒律 = 求解捷径"的方法论——它是下一页变分力学的铺垫，也是 Noether 定理的直觉预演。

图 mech-01.1三大守恒（能量/动量/角动量）与对称性（时间/空间平移/转动）的 Noether 对应表。

1. 三定律的逻辑结构

第二定律 \(\mathbf F = m\ddot{\mathbf r}\) 是核心：给定力场，轨迹是二阶 ODE 的解——初位置 + 初速度定全程（ode-01 存在唯一性定理的物理化身：经典力学的决定论就是 Picard 定理）。第一定律定义惯性系（第二定律成立的参考系——不是第二定律的特例而是它的适用声明）；第三定律 \(\mathbf F_{12} = -\mathbf F_{21}\) 是守恒律的来源（见 §2）。

非惯性系的代价：加惯性力（离心力 \(-m\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)\)、Coriolis 力 \(-2m\boldsymbol\omega\times\mathbf v\)——【推导】对旋转系求两次导，\(\frac{d}{dt}\big|_{\text{惯性}} = \frac{d}{dt}\big|_{\text{旋转}} + \boldsymbol\omega\times\) 用两遍即得）。台风旋向、傅科摆是 Coriolis 的名场面。

2. 三大守恒律（各配两行推导）

动量：\(\dot{\mathbf P} = \sum\mathbf F_{\text{ext}}\)（内力按第三定律成对相消）——外力为零则 \(\mathbf P\) 守恒。质心定理：\(M\ddot{\mathbf R}_{cm} = \mathbf F_{\text{ext}}\)——复杂系统的质心走简单轨迹（烟花在空中炸开，质心仍走抛物线）。

角动量：\(\dot{\mathbf L} = \boldsymbol\tau = \sum\mathbf r\times\mathbf F\)（【推导】\(\dot{\mathbf L} = \dot{\mathbf r}\times m\dot{\mathbf r} + \mathbf r\times m\ddot{\mathbf r}\)，第一项自叉积为零）——中心力场（\(\mathbf F \parallel \mathbf r\)）角动量守恒 ⇒ 轨道在平面内 + Kepler 第二定律（扫面速度 \(= \frac{L}{2m}\) 恒定）。

能量：\(W = \int\mathbf F\cdot d\mathbf r = \Delta T\)（动能定理，【推导】\(\mathbf F\cdot\dot{\mathbf r} = m\ddot{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf r} = \frac{d}{dt}\frac12 m\dot r^2\)）；保守力 = 做功与路径无关 ⟺ \(\mathbf F = -\nabla V\) ⟺ \(\nabla\times\mathbf F = 0\)（单连通域——数分 VI 的三个等价在物理的原产地）⇒ \(E = T + V\) 守恒。

方法论读法：守恒律把二阶 ODE 降阶为一阶甚至代数问题——能量守恒的一维运动直接分离变量 \(t = \int\frac{dr}{\sqrt{2(E - V)/m}}\)，根本不解牛顿方程。"找守恒量优先于解方程"是整个物理的工作习惯；守恒律从哪来（为什么恰好这三个）——下一页 Noether 定理给出惊人的回答：对称性。

3. 中心力场与 Kepler 问题（本页的完整战役）

中心力场 \(V(r)\)：角动量守恒把三维问题压到平面、再压到一维——有效势：

\[ E = \frac12 m\dot r^2 + \underbrace{\frac{L^2}{2mr^2} + V(r)}_{V_{\text{eff}}(r)} \]

（离心项 \(\frac{L^2}{2mr^2}\) 是角向运动"折算"进径向的能量。）看 \(V_{\text{eff}}\) 图定性读全部轨道：极小值处圆轨道、\(E < 0\) 束缚振荡、\(E > 0\) 散射——不解方程先知命运（ode-01 相线分析的力学版）。

Kepler 问题（\(V = -\frac{k}{r}\)）【推导骨架】：轨道方程用 Binet 换元 \(u = 1/r\)，\(\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{mk}{L^2}\)——谐振子方程（！）——解为圆锥曲线：

\[ r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} \]

\(e < 1\) 椭圆（Kepler 第一定律）、\(e = 1\) 抛物线、\(e > 1\) 双曲线（解几 II 的圆锥曲线获得天体力学户口）。第三定律 \(T^2 \propto a^3\) 由第二定律积分全椭圆面积得出。（隐藏彩蛋【引用】：Kepler 问题有额外守恒量 Runge–Lenz 矢量——轨道不进动的深层原因，也是氢原子能级简并的经典先声。）

4. 练习与要点

例 1（有效势速判） \(V = -\frac{k}{r}\) 加小扰动 \(+\frac{\epsilon}{r^3}\)：\(V_{\text{eff}}\) 极小点仍存在但圆轨道频率 ≠ 角向频率 ⇒ 椭圆进动——水星近日点进动问题的牛顿框架版（真实答案要等广相 II）。

例 2（Coriolis 数量级） 北纬 45° 自由落体 100 m：东偏 \(\approx \frac13\omega g t^3\cos\lambda \sim 1.5\) cm——小但可测；炮弹弹道、气旋方向的日常证据。

例 3（守恒律解题示范） 卫星椭圆轨道近地点 \(r_1\) 速度 \(v_1\)，求远地点速度：\(L\) 守恒给 \(v_2 = v_1 r_1/r_2\)，\(E\) 守恒定 \(r_2\)——两个代数式替代整条 ODE：守恒律方法论的最小完整案例。\(\blacksquare\)

下一页：把力学重写成一条原理——最小作用量与拉格朗日力学，Noether 定理把"守恒从哪来"一并回答。