广相 I · 等效原理与测地线
对标：Carroll §1–3 / Schutz ｜ 前置：sr-01、grad-math 流形几何 I–IV（本课的数学已全部建成——收割季） 广义相对论的出发点是一个电梯思想实验：引力可以被局部变换掉。由此推出"引力不是力，是时空几何"——自由落体走弯曲时空的测地线。你的流形几何四页在本页整体变现：度规、联络、测地线方程逐一对号入座。
1. 等效原理
弱等效原理：惯性质量 = 引力质量（\(m_i a = m_g g\) ⇒ 一切物体同加速度下落——Eötvös 类实验验证到 \(10^{-15}\)【引用】）。Einstein 等效原理：自由落体电梯内，局部物理与无引力的惯性系不可区分（引力被"变换掉"）；反之加速电梯 = 均匀引力场。
两个立即的预言【推导级直觉】：
- 引力红移：电梯顶向底发光——加速期间底部迎向光 ⇒ 蓝移；等效到引力场：光离开引力井损失频率 \(\frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{gh}{c^2}\)（Pound–Rebka 实验 22.5 m 楼测出 \(10^{-15}\) 级 ✓）；等价说法：深处的钟慢——GPS 卫星快 45 μs/天（sr-01 的欠条另一半）；
- 光线弯曲：电梯里直线的光，在地面系看是抛物线——引力弯光（定量还差一半：完整弯曲要 \(g_{\mu\nu}\) 的空间部分，gr-02 给全）。
关键转折："局部可消除、全局不可"——消不掉的残余是潮汐力（相邻自由落体的相对加速），而"相邻测地线的相对加速 = 曲率"（流形 IV 的 Jacobi 场语言）——引力的本体 = 时空曲率：等效原理把引力从"力"重新归档为"几何"。
2. 数学的接管（流形几何逐页对号）
| 物理概念 | 数学对象 | 出处 |
|---|---|---|
| 时空 | 4 维洛伦兹流形 \((M, g_{\mu\nu})\)，号差 \((-,+,+,+)\) | 流形 I/III |
| 引力势的推广 | 度规 \(g_{\mu\nu}\)（10 个分量） | 流形 III |
| "引力场强" | Christoffel 联络 \(\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\)（度规的一阶导） | 流形 III |
| 潮汐力/真引力 | Riemann 曲率 \(R^\rho_{\ \sigma\mu\nu}\)（二阶导） | 流形 IV |
| 局部惯性系 | 法坐标（一点处 \(g = \eta,\ \Gamma = 0\)——等效原理的数学定理） | 流形 III |
固有时：\(d\tau^2 = -g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu/c^2\)（sr-01 间隔的弯曲版）。
3. 测地线方程
物理公设：自由粒子走测地线（"最直的线" = 固有时极值——mech-02 变分原理的引力版）：
【推导】 变分 \(\delta\int d\tau = 0\) 的 Euler–Lagrange 方程（流形 III 已推）；或"局部惯性系里 \(\frac{d^2\xi}{d\tau^2} = 0\) 换回一般坐标"（链式法则两行）——两条路同终点。\(\blacksquare\)
牛顿极限【推导（关键的对账）】 慢速（\(\frac{dx^i}{d\tau} \ll \frac{dt}{d\tau}\)）+ 弱场静态（\(g_{00} = -(1 + \frac{2\Phi}{c^2})\)）：测地线方程只剩
——牛顿引力回收 ✓，且读出字典：\(g_{00}\) 携带牛顿势——"钟慢 \(\propto\) 引力势"（§1 红移的度规语言）。引力 = 时间流逝率的空间梯度：苹果下落是在"往钟慢的地方跑"——广相最反直觉又最深的一句话（低速运动主要感受 \(g_{00}\)——时间部分，而非空间弯曲）。
4. 练习与要点
例 1（GPS 全账本） 卫星（20200 km，\(v \approx 3.9\) km/s）：狭相慢 \(\frac{v^2}{2c^2} \approx -7\ \mu\)s/天；引力势高处快 \(\frac{\Delta\Phi}{c^2} \approx +45\ \mu\)s/天——净 +38 μs/天 ⇒ 不修正每天定位漂移 ~11 km：广相是导航工程的日常参数（sr-01 例的完整版）。
例 2（法坐标的物理） 在自由落体空间站里做局部实验测不出地球引力（\(\Gamma = 0\) 可实现）；但相距 10 m 的两个测试球缓慢靠近/分离（潮汐）——"消得掉 \(\Gamma\)、消不掉 \(R\)" 的可观测版本。
例 3（红移手算） 白矮星表面（\(M \sim M_\odot, R \sim 6000\) km）：\(\frac{\Delta\nu}{\nu} \sim \frac{GM}{Rc^2} \approx 2\times10^{-4}\)——天狼星 B 谱线红移的历史验证（1925）；中子星同式给 \(\sim 0.2\)：X 射线谱线的粗测引力计。\(\blacksquare\)
下一页：几何如何被物质弯曲——Einstein 场方程与它的第一个精确解：Schwarzschild 时空，水星进动与光线弯曲的定量收割。