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电磁 II · Maxwell 方程与电磁波

对标：Griffiths §7、§9 ｜前置：em-01、pde-02（波动方程）物理学史上最著名的"补丁"：Maxwell 给 Ampère 定律加了一项位移电流，方程组闭合的瞬间——光从方程里跑了出来。本页推导这一切，并把电磁波的性质（横波、偏振、能流）配齐。

1. Faraday 感应与位移电流

Faraday 定律：变化的磁通感生电场——\(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = -\frac{d\Phi_B}{dt}\) ⟺

\[ \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \]

（负号 = Lenz 定律：感应总在抵抗变化——能量守恒的守门员；发电机、变压器的全部原理。）

Maxwell 的补丁【推导】：静磁的 \(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\) 与电荷守恒 \(\nabla\cdot\mathbf J = -\frac{\partial\rho}{\partial t}\) 冲突（对前者取散度：左边恒零、右边非零——数分 V 的 \(\nabla\cdot(\nabla\times) = 0\) 当检察官）。修复：补上位移电流 \(\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\)，散度检验恰好通过（用 Gauss 定律）。\(\blacksquare\)——由数学自洽性倒逼出的新物理：理论物理方法论的第一次完整示范。

Maxwell 方程组（真空）：

\[ \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla\cdot\mathbf B = 0, \quad \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \quad \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \]

2. 光的诞生（教科书物理最高光的两行）

电磁波 E 与 B 垂直传播 — 图 2.1电磁波：\(\mathbf E\) 与 \(\mathbf B\) 相互垂直、又都垂直于传播方向，同相振荡以光速前进——Maxwell 方程的直接产物。

真空无源区（\(\rho = 0, \mathbf J = 0\)）：对 Faraday 取旋度、代入 Ampère–Maxwell，用 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla^2\mathbf E\)（解几/数分恒等式）与 \(\nabla\cdot\mathbf E = 0\)：

\[ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} \]

——波动方程（pde-02 的双曲型主角），波速

\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times10^8\ \mathrm{m/s} \]

两个静态常数（电的 \(\varepsilon_0\)、磁的 \(\mu_0\)）拼出光速——Maxwell 由此判定"光是电磁波"：理论统一的黄金标准案例（电、磁、光学三门学科在两行推导里合并）。

平面波解的性质【推导】：\(\mathbf E = \mathbf E_0 e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t)}\) 代回方程组——\(\nabla\cdot\mathbf E = 0 \Rightarrow \mathbf k\perp\mathbf E\)（横波）；Faraday 给 \(\mathbf B = \frac{\mathbf k\times\mathbf E}{\omega}\)（\(\mathbf E \perp \mathbf B \perp \mathbf k\) 右手系、\(|E| = c|B|\)）。偏振 = \(\mathbf E\) 在横平面内的取向自由度（线偏/圆偏——两个独立分量的相位关系；偏振片、3D 眼镜、量子光学 qubit（qi-01）的物理载体）。

3. 势的语言与规范（承前启后）

\(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)、\(\mathbf E = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\)：自动满足两条无源方程；剩下两条在 Lorenz 规范（\(\nabla\cdot\mathbf A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0\)）下解耦成对称的波动方程

\[ \Box V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \Box\mathbf A = -\mu_0\mathbf J \qquad \Big(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big) \]

——带源波动方程：解即推迟势（ced-02 的主角）。规范自由（\(\mathbf A \to \mathbf A + \nabla\chi\)，\(V \to V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) 不改场）此处是计算便利，到 pp-01 将升格为"决定相互作用形式的第一原理"。

4. 练习与要点

例 1（数量级体感） 阳光强度 \(\sim 1.4\ \mathrm{kW/m^2}\)：由 \(I = \frac{c\varepsilon_0E_0^2}{2}\) 反解 \(E_0 \approx 1\ \mathrm{kV/m}\)、\(B_0 \approx 3\ \mu\mathrm T\)——阳光的电场千伏每米级、磁场却比地磁还弱：\(|E| = c|B|\) 的日常读数。

例 2（波段一览） 同一方程组、不同 \(\omega\)：无线电—微波—红外—可见（400–700 nm）—紫外—X—γ——"光谱只是频率轴上的地名"；波长与结构尺度匹配决定应用（天线 ~ 波长、显微极限 ~ 波长——opt-01 衍射极限伏笔）。

例 3（Lenz 判向练习） 磁铁 N 极插向线圈：磁通增 ⇒ 感应电流产生反向磁场（面对磁铁一侧成 N 极）排斥之——"感应永远唱反调"；涡流刹车、无线充电的方向判断同法。\(\blacksquare\)

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