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电磁 II · Maxwell 方程与电磁波

对标：Griffiths §7、§9 ｜ 前置：em-01、pde-02（波动方程） 物理学史上最著名的"补丁"：Maxwell 给 Ampère 定律加了一项位移电流，方程组闭合的瞬间——光从方程里跑了出来。本页推导这一切，并把电磁波的性质（横波、偏振、能流）配齐。

可直接复习：静电静磁与通量、波动方程。

学习层：从充电电容到平面波约束

起步：同一条闭合曲线，为什么不能算出两个磁场？

给真空平行板电容充电，导线中有传导电流 \(I=dQ/dt\)，板间没有电荷跨越间隙。围绕导线取一条闭合曲线 \(C\)：以它为边界，可以张一张穿过导线的面，也可以把面鼓入极板间隙。若只数穿面的传导电流，前者是 \(I\)，后者是 \(0\)，却都在计算同一个 \(\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell\)。

同一闭合曲线C的两种跨面：平面S1穿过导线，鼓起的S2绕过极板进入间隙。S1有传导电流，S2由变化的电通量补足。

两张曲面的边界都是 C。虚线只是曲面的示意边缘，不是电流轨迹；位移电流项也不表示电荷穿过真空间隙。

在大平板、忽略边缘场和漏电的准静态近似下，板面积为 \(A\)，\(E=Q/(\varepsilon_0A)\)。穿过间隙的电通量为 \(\Phi_E=EA\)，因此

\[ I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} =\varepsilon_0 A\frac{dE}{dt} =\frac{dQ}{dt}=I. \]

把传导项与位移项相加，Ampère–Maxwell 定律给两张面相同的结果。这里约定曲面法向与 \(C\) 的绕行方向满足右手规则。准静态近似要求装置尺寸远小于相应变化时间尺度内的光传播距离；快速充电或边缘区域需保留空间场与传播效应。

换一个条件自己判断：电容充满后保持 \(Q\) 不变，板间仍有电场，此时 \(I_d\) 是否仍非零？关键是变化率 \(dE/dt\)，不是 \(E\) 本身；理想稳态下 \(I_d=0\)。

读波形前：空间照片与固定点读数

现在离开电容的近场，切换到均匀无源真空中的平面波。以 \(E_x(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t)\) 为例：固定 \(t\) 画 \(E_x\) 随 \(z\) 的变化，是同一时刻不同位置的“照片”，相邻波峰相隔 \(\lambda=2\pi/k\)；固定 \(z\) 画 \(E_x\) 随 \(t\) 的变化，是同一个探头的时间记录，峰值间隔 \(T=2\pi/\omega\)。电场箭头表示该处场的方向与大小，并非介质粒子沿波形前进。下面的相位滑块展示固定观察点的场矢量变化，三幅图是同一组矢量的不同投影。

1. 先过预测门：看见一条“波”还不够

本实验只讨论均匀、无源、线性真空中的单色平面波。采用复振幅约定 \(\mathbf E(\mathbf r,t)=\operatorname{Re}[\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}]\)，并在归一化单位中取 \(c=\omega=|\mathbf k|=1\)。先不打开实验台，预测下面三件事：

  1. 对非零的无源平面波，\(\mathbf E\) 和 \(\mathbf B\) 是否都必须垂直于 \(\mathbf k\)？
  2. 若 \(\mathbf E\) 的方向已知，\(\mathbf B\) 应该沿 \(\mathbf k\times\mathbf E\)、\(\mathbf E\times\mathbf k\)，还是与 \(\mathbf E\) 平行？
  3. 在真空无源区关闭位移电流后，Ampère 方程还能否与 Faraday 方程拼成一个有限频率的自持传播波？

2. 实验台：从偏振到约束账本

选择线偏振、圆偏振、非法纵向 \(\mathbf E\)、错误 \(\mathbf B\) 方向或关闭位移电流的预设；揭晓后拖动固定观察点的相位。图中分别投影 \(\mathbf E\)、\(\mathbf B\)、\(\mathbf k\) 到 \(xy\)、\(xz\)、\(yz\) 三个平面，账本逐项计算

\[ \mathbf k\cdot\mathbf E=0,\qquad \mathbf k\cdot\mathbf B=0,\qquad \mathbf B=\frac1\omega\mathbf k\times\mathbf E, \]
\[ \frac{|\mathbf E|}{c|\mathbf B|}=1,\qquad \langle\mathbf S\rangle\propto \operatorname{Re}(\mathbf E_0\times\mathbf B_0^*)\parallel\mathbf k, \qquad \mathbf k\times\mathbf B=-\frac{\omega}{c^2}\mathbf E. \]

最后一式是无源 Ampère–Maxwell 方程的平面波形式；如果去掉位移电流，右侧会变成 \(0\)，而非 \(-\omega\mathbf E/c^2\)。

无 JavaScript 时的静态读法：以下表格使用 \(c=\omega=|\mathbf k|=1\)、\(\mathbf k=\hat{\mathbf z}\)，复振幅时间因子为 \(e^{-i\omega t}\)。圆偏振写成 \(\mathbf E_0=\hat{\mathbf x}+i\hat{\mathbf y}\)、\(\mathbf B_0=\hat{\mathbf y}-i\hat{\mathbf x}\)；其余预设用实振幅。表中的“残差”是约束左、右两边之差的模；\(\langle\mathbf S\rangle\) 是时间平均 Poynting 方向。

预测门的答案：非零无源平面波中 \(\mathbf E\perp\mathbf k\)、\(\mathbf B\perp\mathbf k\)；Faraday 给出 \(\mathbf B=(1/\omega)\mathbf k\times\mathbf E\)；关闭位移电流后，\(\mathbf k\times\mathbf B=0\) 与非零波要求 \(\mathbf k\times\mathbf B=-(\omega/c^2)\mathbf E\) 冲突。

| 预设 | \(\mathbf E_0\) | \(\mathbf B_0\) | \(\mathbf k\cdot\mathbf E\) | \(\mathbf k\cdot\mathbf B\) | \(\mathbf B-(\mathbf k\times\mathbf E)/\omega\) | \(|E|/(c|B|)\) | \(\langle\mathbf S\rangle\) | Ampère–Maxwell | |---|---|---|---:|---:|---:|---:|---|---| | 线偏振 | \(\hat x\) | \(\hat y\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(+\hat z\) | 通过 | | 圆偏振 | \(\hat x+i\hat y\) | \(\hat y-i\hat x\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(+\hat z\) | 通过 | | 非法纵向 \(E\) | \(\hat z\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | \(\infty\) | \(0\) | 失败，残差 \(1\) | | 错误 \(B\) 方向 | \(\hat x\) | \(-\hat y\) | \(0\) | \(0\) | \(2\) | \(1\) | \(-\hat z\) | 失败，残差 \(2\) | | 关闭位移电流 | \(\hat x\) | \(\hat y\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(+\hat z\) | 含位移项通过；关闭后失败，残差 \(1\) |

投影视图的静态读法是：线偏振只有 \(E_x,B_y,k_z\)；圆偏振的实场在 \(xy\) 平面旋转，但 \(\mathbf B\) 始终由 \(\mathbf k\times\mathbf E/\omega\) 给出；非法纵向预设只违反 \(\mathbf k\cdot\mathbf E=0\) 就已不能是这类无源波；错误 \(B\) 的能流反向；关闭位移电流则破坏 Ampère–Maxwell 账本。

3. 适用域与反例

这里的横向性、\(|E|=c|B|\) 和 \(\langle\mathbf S\rangle\parallel\mathbf k\) 是单色平面波在均匀无源线性真空中的结论，不是任意电磁场的逐点定律。多个频率的叠加、局域波包、天线附近的近场、反射/透射边界和有限束都需要保留相应的空间结构与边界条件；介质中还要改用介质的本构关系，不能直接套用 \(\varepsilon_0,\mu_0\) 的真空比例。

4. 迁移：波动方程的解一定是Maxwell解吗？

真空中有人提出 \(\mathbf E=E_0\hat z\cos(kz-\omega t)\)，\(\omega=ck\)，并说它满足波动方程所以是电磁波。指出缺少的约束。再给沿 \(-\hat z\) 传播、\(\mathbf E_0=E_0\hat x\) 的合法波配上磁场。

核对Gauss约束与传播方向

第一式确实满足每分量波动方程，却有 \(\nabla\cdot\mathbf E=-kE_0\sin(kz-\omega t)\ne0\)，违反无源Gauss约束。波动方程是必要条件，单独不足以保证完整Maxwell方程。第二问取 \(\mathbf B_0=-E_0\hat y/c\)；其叉积能流沿 \(-\hat z\)，与传播方向一致。

1. Faraday 感应与位移电流

Faraday 定律（固定闭合回路和固定跨面）：变化的磁通感生电场——\(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell = -\frac{d\Phi_B}{dt}\) ⟺

\[ \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \]

（负号 = Lenz 定律：感应总在抵抗变化——能量守恒的守门员；发电机、变压器的全部原理。）

若回路本身以速度 \(\mathbf v\) 运动，感应电动势应含运动项：\(\mathcal E=\oint_{C(t)}(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)\cdot d\boldsymbol\ell=-d\Phi_B/dt\)。移动导体切割静磁场也可有电动势，不能只用固定回路的 \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell\)。

Maxwell 的补丁【推导】：若把 Ampère 方程暂写成静磁形式 \(\nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J\)，取散度会得到 \(\nabla\cdot\mathbf J=0\)；但一般源的连续性方程是 \(\nabla\cdot\mathbf J=-\partial_t\rho\)，两者只在特殊的定常情形相容。补上位移电流 \(\varepsilon_0\partial_t\mathbf E\) 后，Gauss 定律的时间导数正好补偿连续性方程，方程组对任意局域源保持一致。\(\blacksquare\)——由数学自洽性倒逼出的新物理：理论物理方法论的经典示范。

真空中的 Maxwell 方程组（允许有源）：真空指本构常数为 \(\varepsilon_0,\mu_0\)，并不等于没有电荷和电流：

\[ \nabla\cdot\mathbf E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla\cdot\mathbf B = 0, \quad \nabla\times\mathbf E = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \quad \nabla\times\mathbf B = \mu_0\mathbf J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t} \]

2. 光的诞生（教科书物理最高光的两行）

电磁波 E 与 B 垂直传播

图 2.1电磁波：\(\mathbf E\) 与 \(\mathbf B\) 相互垂直、又都垂直于传播方向，同相振荡以光速前进——Maxwell 方程的直接产物。

在无源真空区域（\(\rho=0,\mathbf J=0\)），再假设场足够光滑且区域均匀，才可以对 Faraday 取旋度并代入 Ampère–Maxwell。用 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E\) 与 \(\nabla\cdot\mathbf E=0\)：

\[ \nabla^2\mathbf E = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2} \]

——波动方程（pde-02 的双曲型主角），波速

\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times10^8\ \mathrm{m/s} \]

两个静态常数（电的 \(\varepsilon_0\)、磁的 \(\mu_0\)）拼出光速——Maxwell 由此判定"光是电磁波"：理论统一的黄金标准案例（电、磁、光学三门学科在两行推导里合并）。

平面波解的性质【推导】：在这个均匀无源真空区域取单色 ansatz \(\mathbf E=\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\)，并对 \(\mathbf B\) 使用同一频率与波矢。代回方程组先得 \(\mathbf k\cdot\mathbf E_0=0\)、\(\mathbf k\cdot\mathbf B_0=0\)，Faraday 给 \(\mathbf B_0=(\mathbf k\times\mathbf E_0)/\omega\)；Ampère–Maxwell 再给 \(|\mathbf k|=\omega/c\)。因此对这一条波有 \(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k\)、\(|E|=c|B|\)。偏振是 \(\mathbf E_0\) 在横平面内的复振幅自由度（线偏/圆偏由两个分量的相位关系区分）；这句话不把单色平面波结论推广到任意场。

关闭位移电流在这里为何失败也可以直接看出：无源时没有 \(\mathbf J\)，若删去 \(\mu_0\varepsilon_0\partial_t\mathbf E\)，Ampère 方程的平面波形式会要求 \(\mathbf k\times\mathbf B=0\)；而保留 Faraday 与非零横向 \(\mathbf E\) 时，必有 \(\mathbf k\times\mathbf B=-(\omega/c^2)\mathbf E\)。除非退化到 \(\omega=0\) 或零场，否则不能组成有限频率的真空传播波。这不是说位移电流在所有低频问题中都不能近似：在特定导体的准静态尺度上，若位移项相对传导电流确实很小，忽略它可以是受控的近似；本页实验不在那个 regime。

3. 势的语言与规范（承前启后）

\(\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\)、\(\mathbf E = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\)：自动满足两条无源方程；剩下两条在 Lorenz 规范（\(\nabla\cdot\mathbf A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0\)）下解耦成对称的波动方程

\[ \Box V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \Box\mathbf A = -\mu_0\mathbf J \qquad \Big(\Box = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Big) \]

——这是带源的真空波动方程：解即推迟势（ced-02 的主角）。它和上面的无源平面波是两种不同的取法，不能把推迟势的近源结构当成平面波；在边界、介质界面和天线近场处也必须保留几何与本构条件。规范自由（\(\mathbf A \to \mathbf A + \nabla\chi\)，\(V \to V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\) 不改场）此处是计算便利，到 pp-01 将升格为"决定相互作用形式的第一原理"。

4. 练习与要点

例 1（数量级体感） 对一束近似局部平面、单色线偏振的正弦波，阳光强度 \(\sim 1.4\ \mathrm{kW/m^2}\)：由 \(I = \frac{c\varepsilon_0E_0^2}{2}\) 反解 \(E_0 \approx 1\ \mathrm{kV/m}\)、\(B_0 \approx 3\ \mu\mathrm T\)——阳光的电场千伏每米级、磁场却比地磁还弱。这个等式是该理想波的振幅关系，不是任意辐射场的逐点规则。

例 2（波段一览） 同一方程组、不同 \(\omega\)：无线电—微波—红外—可见（400–700 nm）—紫外—X—γ——"光谱只是频率轴上的地名"；波长与结构尺度匹配决定应用（天线 ~ 波长、显微极限 ~ 波长——opt-01 衍射极限伏笔）。

例 3（Lenz 判向练习） 磁铁 N 极插向线圈：磁通增 ⇒ 感应电流产生反向磁场（面对磁铁一侧成 N 极）排斥之——"感应永远唱反调"；涡流刹车、无线充电的方向判断同法。\(\blacksquare\)

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