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狭义相对论 · 洛伦兹变换与四矢量

对标：任意近代物理教材 / Taylor–Wheeler ｜ 前置：mech-01、em-02 两条公理（相对性原理 + 光速不变）把牛顿的绝对时空整体重装。本页从公理推出洛伦兹变换，配齐三大效应与四矢量语言，终点是静能关系 \(E_0=mc^2\)。能量是四动量的时间分量；质能关系与孤立系统的四动量守恒是相互配合的两条陈述。

学习层：先读时空图，再写洛伦兹变换

具体情境：站台与飞船的两次闪光

站台参考系记作 \(S\)，一艘飞船沿 \(+x\) 方向以速度 \(v\) 匀速经过。站台上的两个探测器分别在事件 \(A\)、\(B\) 闪光；站台观察者把它们安排在同一个 \(t\) 时刻，于是说“同时”。飞船上的观察者也会这样分组吗？先把每个闪光当作一个事件——一个时空点，而不是一颗在图上绕弯的粒子——再问它在另一套坐标中的位置。

为避免把单位混在一起，下面明确使用 \(c=1\)：时间用“光走过的距离”来量，因而 \(ct=t\)，纵轴写 \(t\) 而不是 \(ct\)；光线在图上满足 \(x=\pm t\)。最后我们会把一个事件 \(P\) 相对于原点事件 \(O\) 的 \((x,t)\) 与 \((x',t')\) 都列出来。

先预测：改变速度参数，哪些判断应该保持不变？

在打开实验前，先写下你的预测：当 \(\beta=v/c\) 从 \(0\) 增大到 \(0.6\) 时，\(x'\) 轴和 \(t'\) 轴会向哪两条光线靠近？对一个在 \(S\) 中满足 \(t=x\) 的事件，另一个观察者能不能把它变成类时或类空？若 \(S\) 中有两个事件满足同一 \(t\)，它们在 \(S'\) 中还会同一时刻吗？

实验中的“轴变斜”只是在同一张纸上表示两套坐标线，不是欧氏平面里的普通旋转：普通旋转保持 \(x^2+t^2\)，而相对论变换保持的是带符号的 \(t^2-x^2\)。视觉上的角度和长度不能直接当作物理角度和距离；真正可比较的是变换后的坐标与时空间隔。

最小模型：自然单位制下的双曲变换

只保留沿 \(x\) 方向的匀速相对运动。令 \(\beta=v/c\) 且 \(|\beta|<1\)，则

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\qquad x'=\gamma(x-\beta t),\qquad t'=\gamma(t-\beta x). \]

这里 \(x'\) 轴由 \(t'=0\) 定义，\(t'\) 轴由 \(x'=0\) 定义；同一 \(t'\) 的事件落在彼此平行的 \(x'\) 方向线上，这就是同时性的参考系依赖。\(\gamma\) 不是把整张图按同一个欧氏比例放大，而是变换中由 \(\beta\) 决定的因子；当 \(|\beta|\to1\) 时它发散。

可操作实验：拖动速度，追踪同一个事件

下面的实验台固定 \(c=1\)，让你改变 \(\beta\)，再选择类时、类光或类空事件，也可以直接拖动 \(x,t\)。图中蓝色是 \(S\) 的 \(x,t\) 轴，红色是 \(S'\) 的 \(x',t'\) 轴；虚线光锥是 \(x=\pm t\)。事件 \(P\) 的标记不随参考系改变，改变的是它的坐标标签。

无 JavaScript 时也可读：以下手算表使用 \(\beta=0.6\)、\(\gamma=1.25\)，坐标顺序均为 \((x,t)\)。用 \(x'=\gamma(x-\beta t)\)、\(t'=\gamma(t-\beta x)\)，并核对 \(s^2=t^2-x^2=t'^2-x'^2\)：

事件类型 \(S\) 中 \((x,t)\) \(S'\) 中 \((x',t')\) \(s^2\)（两系相同）
类时 \((1,2)\) \((-0.25,1.75)\) \(3\)
类光 \((2,2)\) \((1,1)\) \(0\)
类空 \((2,1)\) \((1.75,-0.25)\) \(-3\)
  1. 先在纸上预测：正的 \(\beta\) 会把 \(x'\)、\(t'\) 轴推向光锥，但不会改变光锥本身。
  2. 选一个事件，代入上面的两条变换式，分别得到 \((x',t')\)。
  3. 计算 \(s^2\)；对不同的两事件，正、零、负分别对应类时、类光、类空，类型不能被换参考系改掉。
  4. 注意：\(t'=\text{常数}\) 是一组与 \(x'\) 轴平行的同时线，不是“把 \(t\) 轴转了一个欧氏角度”。

误区 / 边界：图形直觉必须服从度规

  • 同时性不是绝对标签：\(t=\text{常数}\) 与 \(t'=\text{常数}\) 是不同的线；只有同一地点的两次事件（\(\Delta x=0\)）才直接给出固有时的关系。
  • 因果类型是硬边界：\(s^2>0\) 的类时分离可以由低于光速的信号连接，\(s^2=0\) 且两事件不重合时是类光，\(s^2<0\) 的类空分离不能由因果信号连接；洛伦兹变换不能把三者互换。
  • 不要用视觉量尺读物理量：轴靠近光锥不代表普通角度等于速度，也不代表所有坐标都按同一比例缩放；\(\gamma\) 与间隔不变式才是可检验的量。
  • 模型边界：这里是平直时空中的惯性系、一个空间维度和 \(c=1\)；加速参考系、引力和三维空间要换用更完整的语言。实验滑块被限制在 \(|\beta|\le0.95<1\)，不会进入超光速或 \(\gamma\) 不定义的区域。

回到正式公式：不变量把图上的判断收紧

对任意两事件取差分，展开即可得到

\[ \begin{aligned} s'^2&=\Delta t'^2-\Delta x'^2\\ &=\gamma^2\left[(\Delta t-\beta\Delta x)^2-(\Delta x-\beta\Delta t)^2\right]\\ &=\gamma^2(1-\beta^2)(\Delta t^2-\Delta x^2)\\ &=s^2. \end{aligned} \]

因此实验不是“看起来旋转了一下”，而是在检查 Lorentz 变换保持 Minkowski 二次型；三种因果类型和光速不变都从同一个不变量获得统一解释。带回 \(c\) 的记号，只需把 \(t\) 换成 \(ct\)，便回到 \(s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2\)。

1. 两条公理与洛伦兹变换

Minkowski 时空图与光锥

图 1.1Minkowski 时空图：光锥（红）划分因果，运动参考系的 \(x'\)、\(ct'\) 轴向光锥对称地倾斜——同时性因此相对。

公理：① 物理定律在一切惯性系相同（相对性原理——伽利略的旧原理保留）；② 真空光速 \(c\) 对一切惯性系相同（Maxwell 方程的直接暗示：em-02 的 \(c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\) 没给参考系留位置——相对论是电磁学的自洽性要求）。

洛伦兹变换【推导】：选两惯性系的原点在 \(t=t'=0\) 重合，空间轴同向；时空均匀性给出线性变换。因 \(S'\) 的原点满足 \(x=vt\)，先写 \(x'=A(v)(x-vt)\)。要求两条光线 \(x=\pm ct\) 都仍以 \(c\) 传播，解得 \(t'=A(v)(t-vx/c^2)\)。空间各向同性使 \(A(-v)=A(v)\)；与速度 \(-v\) 的逆变换复合为恒等，得到 \(A(v)^2(1-v^2/c^2)=1\)。再选连续连接 \(v=0\) 恒等变换的正号分支，便有 \(A=\gamma\)：

\[ x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\Big(t - \frac{vx}{c^2}\Big) \]

不变间隔（直接验证）：\(s^2 = c^2t^2 - x^2\) 不变——时空的"距离"是双曲型的（对比欧氏 \(t^2 + x^2\)；高代 VI 惯性指数 \((+,-,-,-)\) 的几何：洛伦兹变换 = 保持这个二次型的"双曲旋转"）。\(v \ll c\) 时退化为伽利略变换 ✓（新理论包含旧理论——对应原理第一次示范）。

2. 三大运动学效应（各配一行推导 + 一个实证）

双生子"佯谬"一句话终审：往返者经历加速转向——两条世界线不对称，固有时 \(\int d\tau\) 短者年轻：不是悖论是世界线长度的比较（时空几何里"两点间直线固有时最长"——双曲几何的反直觉）。加速钟仍可在狭义相对论中按 \(d\tau=dt\sqrt{1-v(t)^2/c^2}\) 积分；加速本身不要求引入引力理论。GPS 卫星每天 −7 μs（狭相）+45 μs（广相引力蓝移，gr-01）——不修正则定位每天漂移公里级：相对论是工程日用品。NIST 的时钟说明给出这两个每日量级。

3. 四矢量：把力学翻译进时空

四矢量：按洛伦兹变换变换的四元组 \(x^\mu = (ct, \mathbf x)\)；内积 \(a\cdot b = a^0b^0 - \mathbf a\cdot\mathbf b\) 不变（Minkowski 度规）。

对有质量粒子的类时世界线，定义四速度 \(u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \mathbf v)\)（对固有时求导——保持四矢量身份）；四动量：

\[ p^\mu = mu^\mu = \Big(\frac{E}{c},\ \mathbf p\Big), \qquad E = \gamma mc^2, \quad \mathbf p = \gamma m\mathbf v \]

质能关系【推导】：低速展开 \(E = mc^2 + \frac12mv^2 + O(v^4)\)——动能之外多出常数项 \(E_0 = mc^2\)（静能）；不变量 \(p\cdot p = m^2c^2\) 给色散关系

\[ E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \]

（无质量粒子另以 \(p^\mu=(E/c,\mathbf p)\) 定义四动量，零质量壳条件给 \(E=pc\)；其世界线固有时为零，不能把 \(m=0\) 直接代入 \(mu^\mu\) 来定义光子的四动量。光子——em-03 辐射压的 \(P = I/c\) 在此认祖；核反应放能 = 质量亏损 × \(c^2\)：太阳与核电站的账本。）守恒律的正确表述：孤立系统四动量守恒（能量与动量合并成一条——Noether 语言：时空平移对称的四个生成元，mech-02 的表升级为四维版）。粒子对撞运动学从此是"四矢量内积"的代数题（例 3）。

电磁的四维改写一嘴【引用】：\((V/c, \mathbf A)\) 成四矢量、\(\mathbf E, \mathbf B\) 打包成场强张量 \(F^{\mu\nu}\)、Maxwell 方程缩成两条——电与磁是同一张量在不同参考系的投影。这不表示任意磁场都能通过换系消除：\(\mathbf E\cdot\mathbf B\) 与 \(B^2-E^2/c^2\) 是场不变量；纯磁场的后者为正，而 \(B'=0\) 会使它非正，故不存在这种惯性系。这是后续经典电动力学与场论课程使用的四维记号。

4. 练习与要点

例 1（γ 的手感） \(v = 0.6c\)：\(\gamma = 1.25\)；\(v = 0.99c\)：\(\gamma \approx 7.1\)；日常 \(v = 30\) km/s（地球公转）：\(\gamma - 1 \sim 5\times10^{-9}\)——相对论效应的"启动阈值"体感。

例 2（速度合成） 飞船 \(0.8c\) 上发射 \(0.8c\) 导弹：\(u = \frac{1.6c}{1 + 0.64} = 0.976c\)——不是 \(1.6c\)。在任一惯性系中，每束光都以 \(c\) 传播；两束反向光在同一坐标系中的坐标间距增长率可以是 \(2c\)，但不存在光子的静止参考系，因此不能把某束光当作参考系来定义二者的相对速度。

例 3（区分总能与动能） 质子打静止质子产生反质子：\(pp\to ppp\bar p\)。设入射质子的总能为 \(E\)，所有质子与反质子的质量均为 \(m\)。用能量平方单位的不变量 \(S=c^2(\sum p^\mu)^2\) 记账：

\[ S_{\rm lab}=(E+mc^2)^2-p^2c^2=2m^2c^4+2mc^2E. \]

阈值处四个末态粒子在质心系中相对静止，故 \(S_{\rm th}=(4mc^2)^2\)。相等后得 \(E=7mc^2\approx6.57\,\mathrm{GeV}\)；加速器给入射粒子增加的动能则为 \(K=E-mc^2=6mc^2\approx5.63\,\mathrm{GeV}\)。固定靶初态总动量不为零，因此不能只用新产生的一对粒子的 \(2mc^2\) 估算入射动能门槛。

5. 迁移练习：先选事件，再列不变量

  1. \(c=1\)，两事件之差为 \((\Delta x,\Delta t)=(2,1)\)。取 \(\beta=0.8\)，求变换后的差与因果类型。时间顺序反转是否意味着能向过去发送信号？
  2. 一根静止长 \(3\,\mathrm m\) 的杆以 \(0.6c\) 经过实验室。为何不能拿杆静止系中同时发生的两端闪光，直接算实验室中的杆长？给出正确长度。
  3. 固定靶反质子产生题中，有人把 \(6.57\,\mathrm{GeV}\) 当作入射动能，另一人认为只要 \(2mc^2\)。分别漏掉了哪项账目？
核对答案与判分要点
  1. \(\gamma=5/3\)，\((\Delta x',\Delta t')=(2,-1)\)，两系 \(s^2=-3\)。类空分离允许顺序反转，但两事件不能以不超过光速的信号连接。类时未来分离满足 \(\Delta t>|\Delta x|\)，所以 \(\Delta t'=\gamma(\Delta t-\beta\Delta x)>0\)，不会这样反转。
  2. 必须取实验室中 \(\Delta t=0\) 的两端事件；逆变换给 \(\Delta x'=\gamma\Delta x\)，所以 \(L=3/1.25=2.4\,\mathrm m\)。原先在杆系同时的事件经变换一般不同步，不是实验室测长事件对。
  3. 第一人漏减入射粒子的静能 \(mc^2\)；第二人漏计固定靶系统为保持初态总动量而保留的整体运动能。正确阈值动能为 \(6mc^2\)，总能为 \(7mc^2\)。

先修回链：动量与能量、Maxwell 方程与光速；后续：等效原理。

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