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固体 II · 能带与半导体

对标：Kittel §6–8 ｜前置：solid-01、qm-02（隧穿/方阱）、sm-03（Fermi 统计）本科物理的压轴应用：周期势中的电子。Bloch 定理给出波函数的形态、能带与带隙划分导体/绝缘体/半导体的三分天下、掺杂与 pn 结托起整个半导体文明——你的显卡与这页讲义共享同一套物理。

1. Bloch 定理与能带的起源

电子能带与禁带 — 图 2.1电子能带：周期势把能量劈成允许带与禁带（band gap）——导体/绝缘体/半导体之分的根。

定理（Bloch） 周期势 \(V(\mathbf r + \mathbf R) = V(\mathbf r)\) 中的定态波函数必为

\[ \psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) = e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r), \qquad u \text{ 与晶格同周期} \]

【推导骨架】 平移算符 \(\hat T_{\mathbf R}\) 与 \(\hat H\) 对易且彼此对易 ⇒ 共同本征态；\(\hat T\) 酉性给本征值 \(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}\)——平面波调制 × 周期函数。\(\blacksquare\)（对称性 ⇒ 好量子数 \(\mathbf k\)（晶体动量）——Noether 哲学（mech-02）在离散平移群上的重演；\(\mathbf k\) 住在布里渊区（solid-01）。）

能带与带隙的两种看法（互补的极限）：

近自由电子【骨架】：弱周期势在 Bragg 面（区界）耦合简并的 \(\pm k\) 平面波——二能级简并微扰（qm-04）劈出带隙 \(2|V_G|\)：区界处驻波的两种驻法（波腹在离子上/间）能量不同——带隙 = Bragg 反射 + 简并劈裂；
紧束缚【推导】：原子轨道弱重叠，\(E(k) = \varepsilon_0 - 2t\cos ka\)（一维近邻跳跃 \(t\)）——孤立能级展宽成带（带宽 \(\propto\) 重叠 \(t\)）；\(N\) 个原子 → 每带 \(N\) 个 \(k\) 态 × 自旋 2。

两图合一：固体的能谱 = 允许带 + 禁隙交替。

2. 三分天下：填充决定命运

\(T = 0\) 电子按 Fermi 统计（sm-03）填带：

类型	填充状态	导电性	例
金属	最高带半满（Fermi 面在带内）	好——面附近有空态可加速	Na、Cu
绝缘体	带满 + 大隙（> ~4 eV）	满带不导流（\(k\) 与 \(-k\) 抵消,无净流可改）	金刚石 5.5 eV
半导体	带满 + 小隙（~1 eV）	热激发可跨——\(n \propto e^{-E_g/2k_BT}\)	Si 1.1 eV、GaAs 1.4

满带为何不导电【一行】：全带电流 \(\sum_k v(k) = 0\)（色散对称），外场无法在已满的带内重排——导电性看"有没有空位可动"而非"有没有电子"。空穴：近满带的缺席者当正电荷准粒子处理（有效质量 \(m^* = \hbar^2/\frac{d^2E}{dk^2}\)——带顶曲率为负故空穴"正质量正电荷"：准粒子思想的第一课，凝聚态（cm 线）的世界观由此起步）。

3. 半导体物理速成

掺杂：五价磷入硅 = 施主（多余电子松弛束缚 ~45 meV，室温全电离）→ n 型；三价硼 = 受主 → p 型（空穴导电）——电导率被掺杂调控 8 个数量级：半导体成为"可编程导体"的原因。

pn 结【机制链】：接触 → 载流子互扩散 → 露出耗尽区电荷 → 内建电场阻止进一步扩散（平衡：化学势/Fermi 能级拉平——sm-02 的 \(\mu\) 在器件里执勤）。正偏压降低壁垒 ⇒ 电流指数上升；反偏截止——二极管方程 \(I = I_0(e^{eV/k_BT} - 1)\)【骨架：扩散-漂移平衡的 Boltzmann 因子】。

由此长出的文明：晶体管（两个结的接力/场效应栅控——开关 = 一切数字逻辑）、太阳能电池（结区光生载流子被内建场分离）、LED/激光二极管（复合发光，\(E_g\) 定颜色）、CCD/CMOS 传感器。你的 4060 Ti 上有 ~360 亿个晶体管在跑本页物理——从 Bloch 定理到光刻工厂的产业链是人类最长的因果链之一（光刻精度受衍射极限统治——opt-01 的 EUV 战争）。

4. 练习与要点

例 1（紧束缚练手） \(E(k) = -2t\cos ka\)：带宽 \(4t\)；带底有效质量 \(m^* = \frac{\hbar^2}{2ta^2}\)——跳跃积分 \(t\) 越大电子越"轻"：能带工程（异质结/应变硅）就是在改 \(t\) 与 \(m^*\)。

例 2（本征载流子数量级） 硅 \(E_g = 1.1\) eV 室温：\(n_i \propto e^{-E_g/2k_BT} \sim e^{-22} \Rightarrow n_i \sim 10^{10}/\mathrm{cm}^3\)（对比原子密度 \(10^{22}\)）——本征硅几乎绝缘；掺杂 \(10^{16}\) 即提升六个量级：指数因子面前，掺杂是绝对权力。

例 3（LED 配色） \(E_g\)：红光 GaAsP ~1.9 eV、蓝光 GaN ~3.4 eV（蓝光 LED 的材料难关值一座诺奖）——\(\lambda = \frac{hc}{E_g}\) 一行的光电子学。\(\blacksquare\)

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