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量子 II · 一维问题与谐振子

对标：Griffiths §2 ｜ 前置：qm-01、ode-02 一维定态问题是量子直觉的训练场：束缚态的量子化、隧穿的指数律。压轴是谐振子的升降算符解法——不解任何微分方程、纯代数摘下全部能谱：量子力学最优雅的三页纸，也是场论（qft-01"粒子 = 激发量子"）的原型。

1. 一维方法论与三个标准问题

无限深方势阱能级与波函数

图 2.1无限深方势阱：边界把波函数量子化成驻波，能级 \(E_n\propto n^2\)——最简单的"束缚即离散"。

定态方程 \(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V\psi = E\psi\)。通用直觉：\(E > V\) 区振荡、\(E < V\) 区指数（经典禁区衰减尾）；束缚态要求归一化 ⇒ 边界条件挑出离散谱（pde-01"边界量子化频率"的量子重演）；一维束缚态无简并、基态无节点、第 \(n\) 态 \(n\) 个节点【引用】。

无限深方阱：\(\psi_n = \sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L}\)，\(E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\)——"驻波量子化"最裸露的样本；\(E_1 > 0\)：零点能（不确定性原理不许静止，qm-01 例 2 同源）。

有限深阱：阱外指数尾——波函数渗入经典禁区；束缚态条件化为超越方程（图解法——数值 III 求根的物理练习）。

隧穿【推导骨架】：方势垒中 \(\psi \sim e^{-\kappa x}\)（\(\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar\)），透射率

\[ T \sim e^{-2\kappa a} \]

——对势垒宽度与高度指数敏感。收租清单：α 衰变（Gamow：寿命跨 20 个数量级由指数解释）、扫描隧道显微镜（STM：距离变 1 Å 电流变一个量级——原子成像的灵敏度来源）、闪存写入、太阳核聚变（质子靠隧穿越过库仑壁——太阳发光靠量子隧穿）。

2. 谐振子：升降算符（本页主菜）

量子谐振子等间距能级

图 2.2量子谐振子：抛物势里能级等间距 \(E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12)\)，波函数是 Hermite 多项式 × 高斯。

\(\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac12m\omega^2\hat x^2\)。定义：

\[ \hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{i\hat p}{m\omega}\Big), \qquad [\hat a, \hat a^\dagger] = 1 \quad (\text{由 } [\hat x,\hat p] = i\hbar \text{ 一行}) \]

【推导（纯代数摘谱）】 \(\hat H = \hbar\omega\big(\hat a^\dagger\hat a + \frac12\big)\)（直接展开）。记数算符 \(\hat n = \hat a^\dagger\hat a\)：对易子给 \(\hat n(\hat a^\dagger|\nu\rangle) = (\nu + 1)(\hat a^\dagger|\nu\rangle)\)——\(\hat a^\dagger\) 升一级、\(\hat a\) 降一级；非负性 \(\nu = \|\hat a|\nu\rangle\|^2 \geq 0\) 要求阶梯有底 ⇒ 存在 \(\hat a|0\rangle = 0\) 的基态、谱为非负整数：

\[ E_n = \hbar\omega\Big(n + \frac12\Big), \qquad n = 0, 1, 2, \dots \]

\(\blacksquare\)（基态波函数由 \(\hat a|0\rangle = 0\) 的一阶 ODE 解出——高斯 \(e^{-m\omega x^2/2\hbar}\)；激发态 \(= (\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}\)——Hermite 函数不请自来。）

为什么这页纸重要到超出谐振子：

3. 练习与要点

例 1（代数法算矩阵元） \(\langle n|\hat x^2|n\rangle\)：\(\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger)\) 展开、只留不改变 \(n\) 的组合（\(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a = 2\hat n + 1\)）⇒ \(= \frac{\hbar}{m\omega}\big(n + \frac12\big)\)——验证基态恰饱和不确定性下限 \(\sigma_x\sigma_p = \frac\hbar2\)（高斯态是最小不确定态——信息论 III 高斯最大熵的量子亲戚）。

例 2（隧穿数量级） 电子、势垒 1 eV、宽 0.5 nm：\(\kappa \approx 5.1\ \mathrm{nm}^{-1}\)，\(T \sim e^{-5.1} \approx 0.6\%\)；宽度加倍 → \(T \sim 4\times10^{-5}\)——STM 灵敏度与闪存漏电的同一笔账。

例 3（零点能实证） 液氦常压不固化（零点振动能 > 晶格束缚）；Casimir 力（真空零点能的边界依赖——两块金属板被"真空压"到一起，已测量【引用】）——\(\frac12\hbar\omega\) 不是记号游戏。\(\blacksquare\)

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