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量子 II · 一维问题与谐振子

对标：Griffiths §2 ｜ 前置：qm-01、ode-02 一维定态问题是量子直觉的训练场：束缚态的量子化、隧穿的指数律。压轴是谐振子的升降算符解法——以代数推得允许能级，再由波函数证明存在性与完备性：量子力学最优雅的三页纸，也是场论（qft-01"粒子 = 激发量子"）的原型。

先修：投影与量子态、二阶线性方程。学完应能区分能量投影、算符乘积截断和位置网格三种操作，而不只背出 \(E_n\)。

学习层：无限维的精确阶梯，有限模型从哪里出现误差？

1. 先预测：能级、节点和顶端边界

先在无量纲单位 \(\hbar=m=\omega=1\) 下预测：

  1. \(E_{n+1}-E_n\) 是常数 \(1\) 还是随 \(n\) 增长？
  2. \(a^\dagger|n\rangle\) 的系数是 \(n+1\) 还是 \(\sqrt{n+1}\)？\(|n\rangle\) 的波函数有几个节点？
  3. 基态与激发态的归一化、\(\sigma_x\sigma_p\) 是否仍能逐项写出精确账本？
  4. 把 Fock 空间截成 \(|0\rangle,\ldots,|N-1\rangle\) 后，顶端 \(|N-1\rangle\) 的升算符和 \([a_N,a_N^\dagger]=1\) 会不会仍然无条件成立？

2. 精确账本：升降算符与波函数是同一套结构

在上述单位制中

\[ H=a^\dagger a+\frac12,\qquad a|n\rangle=\sqrt n\,|n-1\rangle,\qquad a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \]

所以

\[ E_n=n+\frac12,\qquad \langle x^2\rangle_n=\langle p^2\rangle_n=n+\frac12,\qquad \sigma_x\sigma_p=n+\frac12\ge\frac12. \]

位置表象的精确函数为

\[ \psi_n(x)=\frac{H_n(x)e^{-x^2/2}}{\pi^{1/4}\sqrt{2^n n!}}, \]

其中 \(H_n\) 是物理学家 Hermite 多项式；从 \(n=0\) 的基态开始编号，第 \(n\) 个束缚态有恰好 \(n\) 个实节点，并满足 \(\int_{-\infty}^{\infty}|\psi_n|^2dx=1\)。实验用有限 \([-X,X]\) 网格近似这些量，同时把解析值并排放入账本。

3. 有限 Fock 图：可计算，不等于无限维定理

在 \(N\) 维截断中，顶层升算符被丢掉：

\[ a_N^\dagger|N-1\rangle=0,\qquad [a_N,a_N^\dagger]=I_N-N|N-1\rangle\langle N-1|. \]

令 \(P_N\) 为前 \(N\) 个 Fock 态的投影。先算无限维能量再投影得到 \(P_NHP_N=a_N^\dagger a_N+I_N/2\)，全部保留能级（包括顶层）仍为 \(n+1/2\)。先截断再相乘得到 \(H_N=(a_N^\dagger a_N+a_Na_N^\dagger)/2\)，顶层只有 \((N-1)/2\)，比真实能量低 \(N/2\)。原因是投影不保持乘法：\(P_Naa^\dagger P_N\ne(P_NaP_N)(P_Na^\dagger P_N)\)。离开又返回子空间的路径被后者删掉了。有限网格还会丢掉 \(|x|>X\) 的高斯尾。实验的 \(\int_{-X}^X|\psi|^2\)、\(\int_{-X}^X x^2|\psi|^2\)、\(\int_{-X}^X|\psi'|^2\) 是原始求积值；未补尾、未重新归一化，组合所得只是全线不确定性乘积的数值诊断，不是新量子态的严格方差。硬切波函数还会引入边界不连续，不能据此宣称违反不确定性原理。图和数值只是在有限图上核对精确公式，不能证明无限 Hilbert 空间的完备谱定理，也不能把截断边界当成物理墙。

4. 动手实验：先锁定判断，再揭开两张账

揭示后可调激发数 \(n\)、截断维数 \(N\) 和位置窗口 \(X\)。波函数图标出节点与有限窗口；账本同时列出精确能级、有限矩阵能级、归一化、节点数、不确定性和顶端对易子残差。

无 JavaScript 时的静态读法： 默认取 \(\hbar=m=\omega=1\)、\(n=2\)、\(N=12\)。无限维精确答案是

项目 精确账本 有限模型的读法
能级 \(E_2=2.5\) \(n<N-1\) 时 \(H_N\) 给同值；顶层会有截断误差
升算符 \(a^\dagger\lvert2\rangle=\sqrt3\lvert3\rangle\) 若 \(2<N-1\)，系数保留
归一化 \(\int\lvert\psi_2\rvert^2dx=1\) 有限 \(X\) 网格只差尾部与求积误差
节点 恰好 \(2\) 个 网格要足够覆盖零点，不能用稀疏图数节点
不确定性 \(\sigma_x\sigma_p=2.5\) 解析列是定理；网格列是数值检查
截断边界 \([a_N,a_N^\dagger]-I_N\) 只在顶层不为零 顶层残差是模型边界，不是量子力学新定律

有限图负责可复算的诊断；能级等间距、归一化和节点定理仍属于无限维模型及其定义域。

5. 迁移问题：从谐振子回到一般一维势

光滑势阱在非退化极小值 \(x_0\)（\(V''(x_0)>0\)）附近才有非零频率的谐振子近似，但有限深阱还要处理指数尾和边界匹配，隧穿率也依赖势垒积分而不是谐振子的等间距谱。请在换势、换边界或换基底时，分别标注“精确代数结果”“数值截断结果”和“半经典近似”，不要把有限矩阵的漂亮图线外推成任意势的定理。

先闭卷算三题，再打开答案：

  1. \(N=4\)、输入 \(|3\rangle\)，分别求 \(\langle P_NHP_N\rangle\)、\(\langle H_N\rangle\) 和 \(\langle[a_N,a_N^\dagger]-I_N\rangle\)。
  2. \(V(x)=\lambda x^4\)（\(\lambda>0\)）在零点有极小值。为什么二阶小振动近似不能给出其束缚能级？
  3. 归一化波函数 \(\psi(x)\propto e^{-(1-ic)x^2/(4s^2)}\)（\(s>0,c\in\mathbb R\)）的密度仍是高斯。求 \(\sigma_x\sigma_p\)，判断“高斯一定使乘积为 \(\hbar/2\)”是否成立。
迁移答案：三种近似不能混用
  1. 三个数依次是 \(7/2\)、\(3/2\)、\(-4\)。最后一项的残差范数为 \(4\)；数值正负与范数不能混称。丢掉的是 \(|3\rangle\xrightarrow{a^\dagger}2|4\rangle\xrightarrow{a}4|3\rangle\) 这条中间路径。
  2. \(V''(0)=0\)，二阶 Taylor 项为零；首个束缚项为四次，不能借用等间距谱。仅由量纲，平衡 \(\hbar^2/(m\ell^2)\) 与 \(\lambda\ell^4\) 得 \(\ell\sim(\hbar^2/(m\lambda))^{1/6}\)，能量尺度为 \(\hbar^{4/3}\lambda^{1/3}m^{-2/3}\)；这仍没有确定每个无量纲能级常数。
  3. \(\langle x\rangle=\langle p\rangle=0\)，\(\sigma_x^2=s^2\)。由 \(p\psi=i\hbar(1-ic)x\psi/(2s^2)\) 得 \(\sigma_p^2=\hbar^2(1+c^2)/(4s^2)\)，故乘积为 \(\hbar\sqrt{1+c^2}/2\)，仅 \(c=0\) 达到 \(\hbar/2\)。非零 \(c\) 的位置—动量协方差为 \(\hbar c/2\)；它仍可饱和含协方差的 Robertson–Schrödinger 不等式。

1. 一维方法论与三个标准问题

无限深方势阱能级与波函数

图 2.1无限深方势阱：边界把波函数量子化成驻波，能级 \(E_n\propto n^2\)——有限区间 Dirichlet 边界下的离散谱。曲线是波函数经任意幅度缩放后上移至对应能级，纵轴不能同时读作能量和波函数的物理单位。

定态方程 \(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V\psi = E\psi\)。通用直觉：常势区 \(E>V\) 给振荡解、\(E<V\) 给指数解；变势时这只是局部曲率直觉，WKB 形式还需势缓变并避开转向点。在这里的实、足够规则势与连通区间上，采用分离的自伴边界条件（或全线正规束缚条件），且不附加自旋等内部自由度，离散束缚本征值为单重，按能量排序的第 \(n\) 态有 \(n\) 个节点。环上的周期边界可能简并，不能照搬这一结论。有限方阱还有连续散射谱；归一化束缚态并不意味着整个谱都是离散的。

这里的节点编号约定从 \(n=0\) 开始：基态是第 \(0\) 个束缚态且无节点，第 \(n\) 个束缚态才有 \(n\) 个节点。

无限深方阱（此处改用常见的 \(n=1,2,\ldots\) 编号，因此节点数为 \(n-1\)）：\(\psi_n = \sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L}\)，\(E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}\)——"驻波量子化"最裸露的样本；\(E_1 > 0\)：零点能（不确定性原理不许静止，qm-01 例 2 同源）。

有限深阱：阱外指数尾——波函数渗入经典禁区；束缚态条件化为超越方程（图解法——数值 III 求根的物理练习）。

隧穿【厚势垒 / WKB 主指数，不是完整透射率】：方势垒中 \(\psi \sim e^{-\kappa x}\)（\(\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar\)）。在厚势垒、WKB 主导的极限，完整透射率的对数主项为

\[ T_{\mathrm{WKB}}\ \propto\ e^{-2\kappa a} \]

前因子、界面匹配、共振和薄势垒修正不在这条主指数里——所以它不是任意参数下的完整 \(T\) 公式——但它明确了对势垒宽度与高度的指数敏感性。收租清单：α 衰变（Gamow：隧穿主指数解释寿命对衰变能量的强敏感性）、扫描隧道显微镜（STM：距离改变 1 Å 就可显著改变电流，变化幅度取决于有效功函数——原子成像的灵敏度来源）、闪存写入、太阳核聚变（质子靠隧穿越过库仑壁——太阳发光靠量子隧穿）。

2. 谐振子：升降算符（本页主菜）

量子谐振子等间距能级

图 2.2量子谐振子：抛物势里能级等间距 \(E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12)\)，波函数是 Hermite 多项式 × 高斯；图中各条波函数先按峰值缩放，再上移到对应能级，因此显示形状而非归一化幅度。

\(\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac12m\omega^2\hat x^2\)。定义：

\[ \hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{i\hat p}{m\omega}\Big), \qquad [\hat a, \hat a^\dagger] = 1 \quad (\text{由 } [\hat x,\hat p] = i\hbar \text{ 一行}) \]

【推导（纯代数摘谱）】 \(\hat H = \hbar\omega\big(\hat a^\dagger\hat a + \frac12\big)\)（直接展开）。记数算符 \(\hat n = \hat a^\dagger\hat a\)：对易子给 \(\hat n(\hat a^\dagger|\nu\rangle) = (\nu + 1)(\hat a^\dagger|\nu\rangle)\)——\(\hat a^\dagger\) 升一级、\(\hat a\) 降一级；对归一化本征态（假定所需升降操作在定义域内），非负性给 \(\nu=\|a|\nu\rangle\|^2\ge0\)，且 \(\|a^k|\nu\rangle\|^2=\nu(\nu-1)\cdots(\nu-k+1)\)。若 \(\nu\) 非整数，取 \(k=\lfloor\nu\rfloor+2\)，右边恰有一个负因子，与范数平方非负矛盾；所以允许本征值只能是非负整数。解 \(a\psi_0=0\) 得可归一化基态，再升阶构造全部 Hermite 本征态；它们在 \(L^2(\mathbb R)\) 中完备，从而确实没有漏掉其他谱：

\[ E_n = \hbar\omega\Big(n + \frac12\Big), \qquad n = 0, 1, 2, \dots \]

\(\blacksquare\)（基态波函数由 \(\hat a|0\rangle = 0\) 的一阶 ODE 解出——高斯 \(e^{-m\omega x^2/2\hbar}\)；激发态 \(= (\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}\)——Hermite 函数不请自来。）

为什么这页纸重要到超出谐振子：

3. 练习与要点

例 1（代数法算矩阵元） \(\langle n|\hat x^2|n\rangle\)：\(\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(\hat a + \hat a^\dagger)\) 展开、只留不改变 \(n\) 的组合（\(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a = 2\hat n + 1\)）⇒ \(= \frac{\hbar}{m\omega}\big(n + \frac12\big)\)——验证基态恰饱和不确定性下限 \(\sigma_x\sigma_p = \frac\hbar2\)（这里的实高斯基态使乘积达到下界；带二次相位的高斯未必如此，见上方迁移题）。

例 2（隧穿主指数数量级） 电子、势垒高于入射能量 \(V_0-E=1\) eV、宽 0.5 nm：\(\kappa \approx 5.1\ \mathrm{nm}^{-1}\)，\(T_{\mathrm{WKB}}\propto e^{-5.1}\)；宽度加倍时主指数变为 \(e^{-10.2}\)。这只是厚势垒主指数，前因子与匹配条件仍需另算——STM 灵敏度与闪存漏电的同一笔账。

例 3（零点能与边界效应） 液氦在低温常压下仍不固化，量子运动与原子间相互作用的竞争是关键，不能由一个孤立谐振子的能量比较直接判定相态。Casimir 实验测的是物体间随几何和材料改变的力，可用边界相关能量的导数计算，并非脱离参考态的“绝对零点能”读数。Jaffe（2005） 也展示了不诉诸零点能的 QED 表述，因此不能单凭这一实验把绝对 \(\frac12\hbar\omega\) 当作已被直接测量。\(\blacksquare\)

原始资料与进一步核查

NIST DLMF §18.39(i) 给出 Schrödinger 算符、离散/连续谱的区分与谐振子 Hermite 解；MIT 8.04 第8讲 可对照升降算符和基态推导。本页的有限矩阵反例与迁移题可由上述定义独立计算。

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