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场论 I · 经典场与正则量子化

对标：Peskin & Schroeder §2 ｜ 前置：mech-02/04、qm-02（升降算符——本页的主角）、sr-01 量子场论 = 狭义相对论 + 量子力学的唯一和解方案。核心构造一句话：场 = 每个动量模式一个谐振子；粒子 = 振子的激发量子。本页对最简单的 Klein–Gordon 场把这句话完整推演——qm-02 升降算符的投资在此获得最大一笔分红。

1. 为什么必须是"场"

单粒子相对论量子力学自败：\(E = \pm\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}\) 的负能解无法丢弃（完备性）；因果性出漏（传播幅在类空间隔外不严格为零）；且 \(E = mc^2\) 允许粒子数改变（对撞造新粒子——实验日常）——单粒子的 Hilbert 空间装不下。出路：把"粒子"降级为派生概念、把场升为基本对象——粒子数可变、反粒子自动出现、因果性由场的对易结构保证（§3）。

2. 经典场的拉格朗日力学

场论 = 无穷维的 mech-02：拉氏密度 \(\mathcal L(\phi, \partial_\mu\phi)\)，作用量 \(S = \int\mathcal L\,d^4x\)，Euler–Lagrange：

\[ \partial_\mu\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi)} - \frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi} = 0 \]

Klein–Gordon 场（最简相对论标量场，自然单位 \(\hbar = c = 1\)，mp-01 的货币）：

\[ \mathcal L = \frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac12 m^2\phi^2 \;\Rightarrow\; (\Box + m^2)\phi = 0 \]

平面波解的色散 \(\omega_{\mathbf k}^2 = \mathbf k^2 + m^2\)——场是耦合谐振子的连续极限（solid-01 弹簧链 \(\to\) 连续介质：色散关系里 \(m\) 是"光学支的隙"——凝聚态与场论互为极限的第一照面）。Noether 定理的场版（mech-02 平移到场）：时空平移 ⇒ 能动张量守恒；内部相位对称 ⇒ 荷守恒（复场 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\) 给出"电荷"——pp-01 规范原理的种子）。

3. 正则量子化（本页主菜）

流程（qm-02 的仪式放大到无穷维）：正则动量 \(\pi = \dot\phi\)、等时对易关系 \([\phi(\mathbf x), \pi(\mathbf y)] = i\delta^3(\mathbf x - \mathbf y)\)（mech-03 字典的场版）；按模式展开：

\[ \phi(\mathbf x) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_{\mathbf k}}}\Big(a_{\mathbf k}e^{i\mathbf k\cdot\mathbf x} + a^\dagger_{\mathbf k}e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf x}\Big) \]

【推导】 对易关系换算成 \([a_{\mathbf k}, a^\dagger_{\mathbf k'}] = (2\pi)^3\delta^3(\mathbf k - \mathbf k')\)——每个 \(\mathbf k\) 一套升降算符；哈密顿量对角化为

\[ \hat H = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\,\omega_{\mathbf k}\Big(a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k} + \frac12\Big) \]

\(\blacksquare\) 世界观交割：真空 \(|0\rangle\)（一切 \(a|0\rangle = 0\)）；粒子 = \(a^\dagger_{\mathbf k}|0\rangle\)（能量 \(\omega_{\mathbf k}\)、动量 \(\mathbf k\) 的激发量子——"粒子"从本体降为场的音符）；多粒子态自动对称（\(a^\dagger\) 互相对易）——玻色统计不是假设是推论（自旋-统计定理的一半；费米场用反对易子给出另一半——qm-03/sm-03 的欠条在场论层面结清）。负能解的安置：\(a^\dagger\) 系数携带正能反粒子——复场时 \(e^{+i\omega t}\) 模式 = 反粒子的产生：Dirac 之谜的现代答案。

真空能一嘴：\(\int\frac12\omega_{\mathbf k}\) 发散——第一次撞见紫外无穷（能量差可测：Casimir 力 ✓ qm-02 例 3；引力语境则成宇宙学常数问题【第三档边界，如实标注】）；处理哲学（只有差值可测/正规排序）是 qft-03 重整化的序曲。

4. 传播子（通往 Feynman 图的接口）

Feynman 传播子：\(D_F(x - y) = \langle0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle\)（时序真空关联——"场在真空里的涟漪如何传播"）：

\[ \tilde D_F(k) = \frac{i}{k^2 - m^2 + i\epsilon} \]

【骨架】 模式展开代入 + 时序的阶跃函数积分表示；\(i\epsilon\) 处方 = 围道绕极点的选择（复变 III 留数在场论的岗位）= 因果边界条件（mp-01 推迟 Green 函数的量子亲戚）。\(\blacksquare\) 静态极限对账：交换该传播子 ⇒ Yukawa 势 \(\frac{e^{-mr}}{r}\)（aqm-02 Born 近似的 \(\frac{1}{q^2 + m^2}\) 认祖归宗）——"力 = 交换虚粒子"的定量出生地；下一页它是 Feynman 图的内线。

5. 练习与要点

例 1（量纲体操） 自然单位下 \([\mathcal L] = 4\)（质量量纲）⇒ \([\phi] = 1\)、\([m^2\phi^2]\) ✓、耦合 \(\lambda\phi^4\) 的 \([\lambda] = 0\)（无量纲——qft-03 可重整性判据的量纲预演）——一分钟学会场论的量纲速算。

例 2（Noether 荷亲算） 复 KG 场 \(\phi \to e^{i\alpha}\phi\)：\(j^\mu = i(\phi^*\partial^\mu\phi - \phi\partial^\mu\phi^*)\)，验证 \(\partial_\mu j^\mu = 0\)（用运动方程两行）——"电荷守恒 = 相位对称"的手算版。

例 3（盒子归一化对账） 把连续 \(\int d^3k\) 换成盒中求和重推 \(\hat H\)：与 solid-01 声子气逐项同构——"声子与介子是同一数学的两次上演"：凝聚态与高能共享语法的直接体验。\(\blacksquare\)

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