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原子核 II · 反应、阈值与辐射探测

对标：Krane《Introductory Nuclear Physics》/ Leo《Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments》精选｜前置：nuc-01、特殊相对论、概率统计一个核反应实验不是“粒子撞上去然后数亮点”这么简单。束流有通量，靶有面密度，反应有截面，探测器有效率，电子学还有活时间；每一层都可能让计数少下来。本页把反应运动学与探测统计接成一条可审计的事件链。

学习层：从一个 Q 值到一条计数曲线

1. 具体谜题：为什么提高束流不一定得到同样多的事件？

考虑反应 \(a+A\to b+B\)，靶核 \(A\) 在实验室静止。即便束流能量已经给定，反应还要经过三个门：能量和动量是否允许，靶中是否真的有足够的碰撞机会，探测器是否记录了产物。一个“没有看到事件”的结果，可能是低于阈值，也可能是截面小、效率低或活时间损失；它们的物理含义完全不同。

因此实验日志要同时保存运动学和计数账。\(Q\) 值决定能量释放，截面 \(\sigma\) 决定概率尺度，效率 \(\varepsilon\) 决定可见事件比例，Poisson 波动决定有限观测时间内的误差条。

2. 先预测，再打开事件账本

\(^{7}\mathrm{Li}(p,n)^{7}\mathrm{Be}\) 的 \(Q=-1.644\ \mathrm{MeV}\)。低于实验室阈值时，简化模型中的事件率是零、减半，还是仍按同一截面发生？
在薄靶近似下，把靶面密度 \(n\ell\) 加倍，单次相互作用概率约怎样变化？
期望计数 \(N=10\,000\) 时，Poisson RMS 是 \(100\)、\(10\,000\) 还是 \(1\)？
把探测效率从 \(0.5\) 提到 \(1\)，会不会改变入射束流？请区分物理事件和仪器记录。

3. 正式桥：阈值、薄靶与计数率

对非相对论、靶核静止的吸热反应 \(Q<0\)，阈值来自阈值处末态在质心系几乎没有相对动能。动量守恒仍要求实验室系中末态整体运动，因此

\[ E_{\rm th,lab}\approx-Q\left(1+\frac{m_a}{m_A}\right),\qquad E_{\rm cm}=E_{\rm lab}\frac{m_A}{m_a+m_A}. \]

默认 \(\sigma\) 为 barn，\(1\ \mathrm b=10^{-24}\ \mathrm{cm^2}\)，靶面密度为 \(n\ell\)。先取截面恒定、均匀靶、单一移除通道、没有显著能量损失或二次产物反馈的模型。指数式是这一模型的结果；靶薄时才进一步线性化：

\[ \tau=n\ell\sigma,\qquad P_{\rm int}=1-e^{-\tau}\approx\tau,\qquad R_{\rm det}=\Phi A_b P_{\rm int}\varepsilon,\qquad N=R_{\rm det}T. \]

其中 \(\Phi\) 是通量密度，\(A_b\) 是有效照射面积。只有未扣背景、背景可忽略的独立 Poisson 总计数才有 \(\operatorname{Var}(N)=\mathbb E[N]\)；从总计数扣除已知背景不会消掉原有的 \(S+B\) 计数方差，若背景由另一窗口估计还要加入其估计方差。这种统计模型也不会自动包含束流漂移、效率标定或截面系统误差。

4. 无 JavaScript 时的完整静态读法

实验默认 \(^{7}\mathrm{Li}(p,n)^{7}\mathrm{Be}\)、\(E_{\rm lab}=3.00\ \mathrm{MeV}\)、\(\sigma=0.50\ \mathrm b\)、\(n\ell=10^{21}\ \mathrm{cm^{-2}}\)、\(\Phi=10^6\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}\)、\(A_b=1.00\ \mathrm{cm^2}\)、\(\varepsilon=0.65\)、\(T=10\ \mathrm s\)。于是

账本项	代入	数值
阈值	\(1.644(1+1/7)\)	\(E_{\rm th}=1.879\ \mathrm{MeV}\)
光学厚度	\(10^{21}\times0.50\times10^{-24}\)	\(\tau=5.00\times10^{-4}\)
相互作用概率	\(1-e^{-\tau}\)	\(P_{\rm int}=4.999\times10^{-4}\)
有效入射率	\(\Phi A_b=10^6\times1.00\)	\(10^6\ \mathrm{s^{-1}}\)
探测计数率	\(10^6P_{\rm int}\times0.65\)	\(R_{\rm det}=325\ \mathrm{s^{-1}}\)
10 s 期望计数	\(R_{\rm det}T\)	\(N\approx3249\)，\(\sqrt N\approx57.0\)
相对统计误差	\(1/\sqrt N\)	\(1.75\%\)

这里的截面被故意设为“过阈值后常数”，所以图是一条阈值处打开的教学曲线。真实截面可能有库仑抑制、共振、角分布、能量损失和产物分支，不能从这条平台线外推。

JavaScript 失效时的静态读法：先算 \(E_{\rm th}=1.644(1+1/7)=1.879\ \mathrm{MeV}\)。默认能量 \(3.00\ \mathrm{MeV}\) 已过阈值；\(\tau=n\ell\sigma=10^{21}\times0.50\times10^{-24}=5.00\times10^{-4}\)，所以 \(P=1-e^{-\tau}=4.999\times10^{-4}\)。乘上 \(\Phi=10^6\)、\(\varepsilon=0.65\) 得 \(R_{\rm det}\approx325\ \mathrm{s^{-1}}\)，10 s 的 \(N\approx3249\)，Poisson RMS 约 \(57.0\)，相对误差约 \(1.75\%\)。

把反应选择切到放热通道时，运动学阈值在这个 toy 中为 0；这不表示真实截面在零能量处就是常数。图中入射、反应、探测三项分别对应 \(\Phi A_b\)、\(\Phi A_bP\)、\(\Phi A_bP\varepsilon\)，效率不会倒过来改变束流或靶内物理反应数。

5. 误区与失败边界

“\(Q<0\) 就完全不可能。” 需要比较实验室能量和运动学阈值；\(Q<0\) 只是说明存在额外阈值，超过阈值仍可能因小截面而很少发生。
“截面就是一个几何面积。” \(\sigma\) 是把入射通量映射到反应率的量子散射量，可能随能量、角度、偏振和核自旋变化；barn 只是单位。
“效率低说明反应少。” \(R_{\rm det}=\Phi A_b P\varepsilon\) 中效率只影响可记录数。几何接受度、死层、触发和分析选择都可能进入 \(\varepsilon\)。
“\(\sqrt N\) 就是全部误差。” 它只描述独立计数的统计项。活时间、背景、能量刻度、效率和束流归一化要另列系统不确定度。
“把平台线看成真实激发函数。” 学习层的常截面是透明模型；真实反应的共振峰、阈值形状和产物分支需要实验数据或反应模型。

6. 迁移任务：找出“没有事件”的真正原因

给出一个测量零结果的日志：\(E_{\rm lab}=1.5\ \mathrm{MeV}\)、束流稳定、靶面密度已标定、探测效率 \(0.65\)。请判断它首先触碰哪一条证书？再设想把能量提高到 \(3.0\ \mathrm{MeV}\) 但效率降到 \(0.30\)，比较物理反应率与记录率。最后写出一个需要加入背景项 \(R_{\rm obs}=R_{\rm signal}+R_{\rm bg}\) 的理由，说明为什么不能只看一根柱子的高度。

1. 反应运动学：先问“能不能”

核反应可写成

\[ a+A\longrightarrow b+B,\qquad Q=(m_a+m_A-m_b-m_B)c^2. \]

\(Q>0\) 是放热反应，静质量差变成动能；\(Q<0\) 是吸热反应，入射动能还要支付质量差。\(Q\) 是标量能量预算，不能单独告诉我们某个方向的产物能量。

在实验室系 \(A\) 静止，初态总动量是入射粒子动量。换到质心系，初态总动量为零，最小阈值对应末态相对动能趋近于零。回到实验室系时，末态整体仍有质心平动能，所以吸热反应的阈值比 \(-Q\) 大：

\[ E_{\rm th,lab}\approx-Q\left(1+\frac{m_a}{m_A}\right). \]

对 \(^{7}\mathrm{Li}(p,n)^{7}\mathrm{Be}\)，质量比 \(m_a/m_A\approx1/7\)，故 \(Q=-1.644\ \mathrm{MeV}\) 给出 \(E_{\rm th}=1.879\ \mathrm{MeV}\)。在 \(E_{\rm lab}=3.00\ \mathrm{MeV}\) 时，质心能量为 \(E_{\rm cm}=3/(1+1/7)=2.625\ \mathrm{MeV}\)。它已经过阈值，但反应是否常见仍由截面决定。

若要区分近似与精确阈值，可用特殊相对论的不变量。以 \(K\) 表示入射动能、\(W\) 表示质心总能量，靶静止时

\[ W^2=(m_a+m_A)^2c^4+2m_Ac^2K. \]

在两个有质量产物的阈值，\(W=(m_b+m_B)c^2\)，所以对 \(Q<0\)

\[ K_{\rm th}=-Q\left(1+\frac{m_a}{m_A}\right)+\frac{Q^2}{2m_Ac^2}. \]

学习层省略最后一项并采用整数质量比，是低能近似。对该锂反应，校正约 \(0.0002\,\mathrm{MeV}\)，小于本实验控件刻度，但不能把近似公式用于任意高能反应。所有质量须使用同一核/原子记账约定；本页输入 \(Q\) 为给定核反应能量，不在界面内混算质量表。

对称性、角动量和宇称会进一步限制末态。阈值是运动学门槛，不是“打开后截面立刻等于一个固定值”的动力学定律。

2. 截面与靶：再问“撞上的机会有多大”

把靶沿束流方向分成许多薄层。粒子在厚度 \(dx\) 内发生相互作用的概率为 \(n\sigma dx\)，其中 \(n\) 是数密度。积分得到没有发生反应的存活概率 \(e^{-n\sigma\ell}\)，所以

\[ P_{\rm int}=1-e^{-n\ell\sigma}. \]

当 \(\tau=n\ell\sigma\ll1\) 时，\(P_{\rm int}\approx\tau\)，这就是薄靶近似；它也说明为什么把靶面密度加倍在薄区内近似把事件率加倍。若 \(\tau\) 不小，这个单通道移除模型的概率会饱和到1，不能继续线性外推，实际厚靶还可能有能量损失。若多个通道竞争，以 \(\sigma_{\rm tot}=\sum_j\sigma_j\) 描述首次移除，给定通道的首次反应概率变为

\[ P_j=\frac{\sigma_j}{\sigma_{\rm tot}}\left(1-e^{-n\ell\sigma_{\rm tot}}\right). \]

薄靶极限才又回到 \(n\ell\sigma_j\)。不能把某个部分截面单独塞入厚靶指数，然后声称已包含所有竞争过程。

若 \(\Phi\) 是单位面积单位时间的入射通量密度，且均匀照射有效面积 \(A_b\)，该通道总反应率为 \(\Phi A_bP_{\rm int}\)；不乘面积时仍是率的面密度。探测器只记录其中的部分：

\[ R_{\rm det}=\Phi A_b P_{\rm int}\varepsilon_{\rm det}\varepsilon_{\rm geom}\varepsilon_{\rm trig}\varepsilon_{\rm sel}. \]

这里各效率应按前面选择已通过的条件概率定义，逐步相乘才构成总效率，不要求任意选出的边际效率互相独立。教学实验把这些因素合成一个常数 \(\varepsilon\)，但实际分析会分别标定。几何接受度与探测效率不是反应截面；把它们混成一个数字，会让校准误差失去来源。

3. 探测器：把能量沉积变成事件

带电粒子穿过介质会电离和激发原子。气体探测器收集电子—离子对，闪烁体把激发能转成光再由光电器件读出，半导体探测器用电子—空穴对形成电荷脉冲。中子本身不直接电离，通常先用核反应或反冲质子把能量转给带电粒子。不同机制决定响应函数、死层、能量分辨率和效率随能量的变化。

一个完整事件选择通常包括：脉冲超过阈值，落在时间窗内，能量落在峰区，并通过反符合或形状判别。每一次选择都可能提高信噪比却降低效率；这不是“好或坏”的单一开关，而是要在物理目标与误差预算之间取舍。

电子学还有死时间。若非延伸型死时间为 \(\tau_d\)，真率 \(r\) 的简单 toy 关系可写作 \(r_{\rm obs}=r/(1+r\tau_d)\)；高率时观测率饱和。这是恒定 Poisson 入射下的平均率关系；死时间使记录事件相关，输出计数一般不再服从同参数的 Poisson 分布。即使做活时间校正，也不能自动恢复原始方差。实验台未模拟死时间，使用的是无死时间、独立记录的基线。

4. 计数统计与证据强度

若入射事件为恒定率 Poisson 过程、各事件独立以固定效率保留，且死时间与脉冲堆积可忽略，则未扣背景总计数 \(N\) 服从 Poisson 分布；背景若也是独立 Poisson 过程，可把均值相加：

\[ P(N\mid\mu)=e^{-\mu}\frac{\mu^N}{N!},\qquad \mathbb E[N]=\mu,\qquad\operatorname{Var}(N)=\mu. \]

当 \(N\) 足够大，\(\sqrt N\) 是统计标准差的好近似；低计数时区间估计不应机械套用对称的 \(N\pm\sqrt N\)。若减去精确已知的背景均值 \(B\)，信号估计 \(S=N-B\) 的方差仍为总计数均值 \(\mu_S+B\)。若背景来自独立窗口，另加该估计的方差。实验台显示的是模型期望计数及其预测 RMS，不是实际观测和置信区间。

以学习层默认值为例，\(A_b=1.00\ \mathrm{cm^2}\) 使有效入射率为 \(10^6\ \mathrm s^{-1}\)；结合 \(P_{\rm int}=4.999\times10^{-4}\)，物理相互作用率约 \(500\ \mathrm s^{-1}\)，探测效率 \(0.65\) 后得到 \(325\ \mathrm s^{-1}\)。10 s 期望计数约 \(3249\)，统计 RMS 约 \(57\)，相对统计项 \(1.75\%\)。若截面、通量、面积或效率各有系统误差，最终总不确定度不能只写 1.75%；应把独立系统项按协方差结构合并，并说明相关项。

练习：把默认能量降到 \(1.50\ \mathrm{MeV}\)，先由阈值判定事件率，再把效率从 \(0.65\) 换到 \(0.30\)。你应得到“运动学关闭”和“通道打开但记录变少”两个不同结论。然后给信号加入 \(40\ \mathrm s^{-1}\) 背景，说明为什么实验日志必须报告背景窗、活时间和效率，而不是只报告一个计数。

5. 适用范围与专业迁移

本页的公式链是

\[ Q,\ E_{\rm th}\ \longrightarrow\ \sigma(E,\Omega)\ \longrightarrow\ P_{\rm int}\ \longrightarrow\ R_{\rm det}\ \longrightarrow\ N\pm\sqrt N. \]

它把每个“少了多少事件”的原因分开。真实核反应还需要能级、共振、光学模型或 R 矩阵等动力学描述；真实探测器还需要响应卷积、非线性、pile-up、背景和系统协方差。toy 图的价值不是替代这些模型，而是让学习者在加入复杂度前先知道哪一个量负责哪一扇门。

从反应堆中子通量、放射性示踪到粒子物理截面测量，最终都要把“理论率”映射成“探测器里的可见计数”。能把运动学、截面、效率和统计各自写成 ledger，才有能力在零结果或异常峰出现时追问正确的问题。

6. 核对迁移：零计数、背景窗和面积

展开事件率与统计答案

锂反应在 \(E_{\rm lab}=1.5\,\mathrm{MeV}\) 低于近似阈值，模型的信号率为0；有背景的仪器仍可能记录事件。在 \(3.0\,\mathrm{MeV}\)，相互作用率为

\[ 10^6[-\operatorname{expm1}(-0.0005)]\approx499.875\,\mathrm{s^{-1}}. \]

这里 \(-\operatorname{expm1}(-x)=1-e^{-x}\) 是避免小 \(x\) 相消的计算写法。效率从0.65改为0.30，物理反应率不变，探测率由 \(324.919\) 降至 \(149.963\,\mathrm{s^{-1}}\)。如果照射面积也从1变为2 cm²、通量密度保持不变，则两个总率都加倍；若固定的是入射总率而非密度，结论就不同。

恢复效率0.65，测10 s，加上40/s独立背景，则总期望为 \(\mu_N\approx3649.188\)。即使背景均值400计数完全已知，扣除后方差仍为3649.188，标准差约60.409，而不是无背景的57.002。

若背景另测 \(T_b\) 秒，记独立计数 \(B_{\rm off}\)，则

\[ \widehat S=N_{\rm on}-\frac{T}{T_b}B_{\rm off},\qquad \operatorname{Var}(\widehat S)=\mu_{\rm on}+\left(\frac{T}{T_b}\right)^2\mu_{\rm off}. \]

等长背景窗 \(T_b=T=10\,\mathrm s\) 时，方差再加400，标准差约63.633。若两窗有共享漂移或标定误差，需要另加相应协方差，不能强行当独立。

最后，已知背景为0时观测到 \(N=0\)，并不证明真实率严格为0。Poisson 模型的单侧95%上限由 \(P(N=0\mid\mu)=e^{-\mu}=0.05\) 给出 \(\mu_{95}=-\ln0.05\approx2.996\)；10 s 内对应探测率上限约0.300/s。它是明确统计模型下的区间构造，不是对所有零结果的解释。

先修与方法：狭义相对论不变量、核结构与衰变、NIST：核计数不确定度与死时间。

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