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力学 V · 中心势散射：有效势、冲量参数与 Rutherford 角分布

对标：Taylor Classical Mechanics ch. scattering / Goldstein §3、§5 ｜前置：mech-01（守恒量）、mech-02（变分与对称性）、mech-03（相空间）把一束粒子射向一个看不见的中心，屏幕上为什么会出现一条有规律的角分布？中心势散射把“轨道长什么样”和“实验会数到多少粒子”接成一条链：角动量给出有效势，双曲线给出偏折角，冲量参数的面积元素给出微分截面。Rutherford 散射不是一条孤零零的公式，而是这三本账的合账。

可直接复习：牛顿守恒律、Hamilton相空间。

学习层：先猜一条轨道，再看它怎样变成角分布

1. 具体谜题：没有接触，粒子为什么会转弯？

设一个带正电的入射粒子在远处有动能 \(E\)，与散射中心的初始侧向错开量为冲量参数 \(b\)。中心势取排斥的

\[ V(r)=\frac{\kappa}{r},\qquad \kappa>0. \]

这里的 \(r\) 是相对坐标，\(\kappa\) 的单位是 MeV fm；实验台用的是 \(\mu\) 已吸收到轨道尺度后的 MeV、fm 记账。以默认值 \(E=2\ \mathrm{MeV}\)、\(b=3\ \mathrm{fm}\)、\(\kappa=2\ \mathrm{MeV\,fm}\) 为例，先不要看答案，预测：

把 \(b\) 变小，散射角 \(\chi\) 会变大还是变小？
固定 \(b\) 和 \(\kappa\)，把入射能量提高，偏折会变强还是变弱？
有角动量时，最近接点由 \(V(r)=E\)，还是由包含离心项的 \(V_{\mathrm{eff}}(r)=E\) 决定？

“离中心越近，力越强”只是方向提示，还没有给出角度。可判决的量是角动量和径向能量预算。

2. 最小模型：两项势能，两个几何后果

远处速度为 \(v_\infty\) 时

\[ E=\frac12\mu v_\infty^2,\qquad L=\mu v_\infty b,\qquad \frac{L^2}{2\mu}=E b^2. \]

把平面运动的动能写成径向和切向两项：

\[ E=\frac12\mu\dot r^2+ \underbrace{\frac{L^2}{2\mu r^2}+\frac{\kappa}{r}}_{V_{\mathrm{eff}}(r)}. \]

因此本实验的转向条件不是只看 Coulomb 势，而是 \(E=V_{\mathrm{eff}}(r_{\min})\)。令 \(a=\kappa/(2E)\)，解二次方程得到

\[ r_{\min}=a+\sqrt{a^2+b^2},\qquad \chi=2\arctan\frac{a}{b}. \]

在默认值下 \(a=0.500\ \mathrm{fm}\)，所以 \(r_{\min}=3.541\ \mathrm{fm}\)，\(\chi=18.925^\circ\)。最近接并不发生在 \(r=b\)；\(b\) 是无相互作用时的直线偏移量，不是实际轨道的最短半径。

默认排斥Coulomb轨道与冲量参数到角度的面积映射 — 轨道由守恒量确定；微分截面再计算冲量参数环带与立体角环带的面积比。左图是有限轨道片段，不把端点当作无穷远入射方向。

3. 动手实验：让有效势与屏幕读数同步

先完成三个预测，再打开实验台。四个预设分别强调基线、小 \(b\)、高能和强排斥。拖动 \(E,b,\kappa\) 时，左图给出双曲线轨道的几何支线，右图画出总能量线与有效势的交点；下方把最近接距离、偏心率和微分截面分开显示。

无 JavaScript 时的静态读法：本页只讨论排斥 Coulomb 散射，\(E\) 用 MeV，\(b,r\) 用 fm，\(\kappa\) 用 MeV fm。实验台的默认输入为 \(E=2\)、\(b=3\)、\(\kappa=2\)。定义

\[ a=\frac{\kappa}{2E}=0.500\ \mathrm{fm},\quad r_{\min}=a+\sqrt{a^2+b^2},\quad \chi=2\arctan(a/b). \]

量	默认数值	由什么得到
能量尺度 \(E\)	\(2.000\ \mathrm{MeV}\)	远处相对动能
冲量参数 \(b\)	\(3.000\ \mathrm{fm}\)	无相互作用入射直线的偏移
Coulomb 长度 \(a=\kappa/(2E)\)	\(0.500\ \mathrm{fm}\)	势强与能量之比
最近接距离 \(r_{\min}\)	\(3.541\ \mathrm{fm}\)	\(E=V_{\mathrm{eff}}(r_{\min})\)
偏折角 \(\chi\)	\(18.925^\circ\)	\(\chi=2\arctan(a/b)\)
双曲线偏心率 \(\varepsilon\)	\(6.083\)	\(\sqrt{1+(b/a)^2}\)
微分截面 \(d\sigma/d\Omega\)	\(85.563\ \mathrm{fm^2/sr}\)	\((\kappa/4E)^2\csc^4(\chi/2)\)

在这个默认点，\(V_{\mathrm{eff}}(r_{\min})=2.000\ \mathrm{MeV}\)。若把 \(b\) 从 \(3\) 减小到 \(1\ \mathrm{fm}\)，同样的公式给出更大的 \(\chi\)；若把 \(E\) 从 \(2\) 提高到 \(8\ \mathrm{MeV}\)，\(a\) 变成 \(0.125\ \mathrm{fm}\)，偏折减弱。

4. 误区、反例与适用边界

\(b\) 不是最近接距离。它是无穷远入射线的几何参数；只有没有力时轨道才是一条与中心保持 \(b\) 的直线。
有效势不是额外的物理力。\(L^2/(2\mu r^2)\) 是把切向动能用 \(r\) 表示后出现的径向势垒；它编码了角动量守恒。
微分截面不是某一个粒子的概率。\(d\sigma/d\Omega\) 把一圈冲量参数环带映到一个立体角环带；真正的计数还要乘入射通量、靶数和探测器立体角。
单条经典轨道不是 Rutherford 公式成立的必要条件。当 de Broglie 波长与 \(b\) 可比时，确定轨道的图像失效；但对理想、未屏蔽、非相对论 Coulomb 势，精确量子散射仍给出 Rutherford 角分布。真正会改动分布的因素包括电子屏蔽、有限核半径、自旋与全同性、相对论修正和多重散射。
正碰是极限而不是普通双曲线。\(b=0\) 时 \(L=0\)，轨道退化为径向反弹；实验台仍给 \(\chi=180^\circ\) 与 \(r_{\min}=\kappa/E\)，但不能再用含 \(b/a\) 的非退化轨道图像。

5. 迁移题：从一组数字反推整个链条

取 \(E=4\ \mathrm{MeV}\)、\(b=2\ \mathrm{fm}\)、\(\kappa=2\ \mathrm{MeV\,fm}\)。先手算 \(a\)、\(r_{\min}\) 和 \(\chi\)，再用

\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} =\left(\frac{\kappa}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\chi/2)} \]

估计角分布。你应得到 \(a=0.250\ \mathrm{fm}\)、\(r_{\min}\approx2.266\ \mathrm{fm}\)、\(\chi\approx14.251^\circ\)，以及约 \(66.016\ \mathrm{fm^2/sr}\)。最后说明：为什么同一个 \(a/b\) 同时出现在轨道偏折和截面公式中？这一步要求你把“轨道问题”和“统计多少条轨道”接回同一几何参数。

核对轨道与截面的共同参数

角度关系 \(b=a\cot(\chi/2)\) 来自单轨道几何；截面再计算这一映射的面积Jacobian：\(d\sigma/d\Omega=(b/\sin\chi)|db/d\chi|\)。因此两者不是独立拼接的公式，而是同一个冲量参数到出射方向的映射，分别回答“往哪走”和“一束入射有多少条轨道走到这里”。

1. 从实验坐标到相对坐标

两粒子质量为 \(m_1,m_2\)，位置为 \(\mathbf r_1,\mathbf r_2\)。用质心坐标

\[ \mathbf R=\frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2}{m_1+m_2}, \qquad \mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2 \]

分离平动与相对运动。动能成为

\[ T=\frac12 M\dot{\mathbf R}^{\,2} +\frac12\mu\dot{\mathbf r}^{\,2}, \qquad M=m_1+m_2,\quad \mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}. \]

若势能只依赖 \(r=|\mathbf r|\)，质心匀速，真正的散射动力学只需研究约化质量 \(\mu\) 在平面内的中心势运动。这一步给出的 \(\chi\) 是相对运动、也就是质心系中的散射角。实验室实际看到的是各粒子的实验室系角度；只有在散射中心固定或靶质量 \(m_2\gg m_1\) 时，入射粒子的实验室角才近似等于 \(\chi\)。质量可比时必须再做参考系变换。

中心力 \(\mathbf F(r)=F(r)\hat{\mathbf r}\) 的力矩为零：

\[ \boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf L=\mu\mathbf r\times\dot{\mathbf r} \ \text{守恒}. \]

因此轨道被限制在垂直于 \(\mathbf L\) 的平面。用极坐标，

\[ T=\frac12\mu\left(\dot r^2+r^2\dot\phi^2\right), \qquad L=\mu r^2\dot\phi. \]

角向运动的速度不是独立自由度：\(\dot\phi=L/(\mu r^2)\)。这就是离心项的来源。

2. 有效势：把二维轨道变成一维预算

能量守恒写成

\[ E=\frac12\mu\dot r^2+V_{\mathrm{eff}}(r),\qquad V_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\frac{L^2}{2\mu r^2}. \]

径向运动允许出现的区域必须满足 \(E\ge V_{\mathrm{eff}}(r)\)。当 \(\dot r=0\) 时到达转向点；在排斥 Coulomb 势中，入射粒子先靠近、在 \(r_{\min}\) 停止径向靠近，再离开。把

\[ L=\mu v_\infty b,\qquad E=\frac12\mu v_\infty^2 \]

代入，有 \(L^2/(2\mu)=Eb^2\)，于是

\[ E r_{\min}^2-\kappa r_{\min}-Eb^2=0. \]

取正根正好得到学习层的 \(r_{\min}=a+\sqrt{a^2+b^2}\)。另一个根为负，不代表一个额外的物理半径。

对吸引势，\(V=-\kappa/r\)，有效势可能没有同样的排斥转向结构；若再加入有限尺寸、耗散或捕获半径，\(E=V_{\mathrm{eff}}\) 的根和轨道分类都要重新检查。有效势法的普遍性在于它依赖中心对称与守恒量，不依赖 Coulomb 这一特殊形式。

3. Coulomb 轨道：为什么是双曲线

令 \(u=1/r\)，用

\[ \frac{d\phi}{dt}=\frac{L}{\mu r^2} \]

把时间导数改成角度导数。中心势轨道方程为

\[ \frac{d^2u}{d\phi^2}+u =-\frac{\mu}{L^2u^2}F(1/u). \]

排斥 Coulomb 力为 \(F(r)=\kappa/r^2\)，带方向的径向力写入后得到常系数方程

\[ \frac{d^2u}{d\phi^2}+u =-\frac{\mu\kappa}{L^2}. \]

选取最近接方向为 \(\phi=0\)，解可写成

\[ u(\phi)=\frac{\mu\kappa}{L^2} \left(\varepsilon\cos\phi-1\right), \qquad \varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{\mu\kappa^2}} =\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}. \]

当 \(b>0\) 时 \(\varepsilon>1\)，这是双曲线；当 \(b=0\) 时 \(\varepsilon=1\)，退化为正碰。无穷远处 \(u\to0\)，所以

\[ \cos\phi_\infty=\frac1\varepsilon. \]

两条无穷远渐近线关于最近接方向对称，几何角度整理为

\[ \chi=2\arctan\frac{a}{b}. \]

这说明偏折角不是通过逐点积分“猜”出来的；在 \(1/r\) 势中，守恒量和圆锥曲线已经把积分压缩成代数关系。

4. 从冲量参数到 Rutherford 微分截面

一圈入射轨道的冲量参数在 \(b\) 与 \(b+db\) 之间，远处横截面积为

\[ d\sigma=2\pi b\,db. \]

中心对称使出射方向只由极角 \(\chi\) 决定，对应立体角环带

\[ d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi. \]

由

\[ b=a\cot\frac{\chi}{2}, \qquad \left|\frac{db}{d\chi}\right| =\frac a2\csc^2\frac{\chi}{2} \]

得到

\[ \frac{d\sigma}{d\Omega} =\frac{b}{\sin\chi}\left|\frac{db}{d\chi}\right| =\frac{a^2}{4}\csc^4\frac{\chi}{2} =\left(\frac{\kappa}{4E}\right)^2 \frac1{\sin^4(\chi/2)}. \]

四次方反比来自两次几何放大：小角度对应大的 \(b\) 环带，而角度环带本身的面积又含 \(\sin\chi\)。当 \(\chi\to0\)，理想无限范围的 Coulomb 截面发散；真实束流、屏蔽和有限探测器会提供截止，不能把数学发散直接当作无限计数。

这里的 \(d\Omega\) 与 \(\chi\) 属于质心系；固定靶极限下可直接作为实验室系结果。若两粒子质量可比，把截面换到实验室系时还要变换角度并乘相应的立体角 Jacobian，不能只把 \(\chi\) 改名为实验室角。

5. 数量级例子与实验边界

例 1：正碰。\(b=0\) 时 \(L=0\)，\(E=\kappa/r_{\min}\)，所以默认 \(E=2,\kappa=2\) 给 \(r_{\min}=1\ \mathrm{fm}\)。粒子沿径向接近后反向，\(\chi=180^\circ\)。这不是“撞到一个硬球”；转向来自势能把动能暂时全部换掉。

例 2：远掠。当 \(b\gg a\)，\(\arctan(a/b)\approx a/b\)，所以

\[ \chi\approx\frac{2a}{b}=\frac{\kappa}{Eb}. \]

偏折对能量是反比，对冲量参数也是反比。高能束流更容易穿过同一中心的近似直线方向。

例 3：何时经典近似会坏。若 de Broglie 波长 \(\lambda=h/p\) 与 \(b\)、核半径或势变化尺度同量级，单条轨道不再是可分辨的基本对象，要用散射振幅与部分波；在量子但弱势极限，Born 近似会从势的 Fourier 变换给出角分布。若靶厚到一次粒子会多次碰撞，独立中心散射的微分截面也不能直接相加。

中心势散射的迁移价值正在这里：有效势用于黑洞和行星轨道，冲量参数与截面用于核物理、等离子体和粒子探测，而“守恒量先减维、几何再计数”的工作流也会在量子散射中保留下来。

力学的五个镜头至此闭环：局部受力、作用量、相空间、稳定模态，以及中心势中的轨道与截面。下一步若把“轨道”换成“连续介质中的扰动”，就会进入弹性波。