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力学 III · 哈密顿力学与相空间

对标：Goldstein §8–9 / Landau §7 ｜前置：mech-02、cvx-01（Legendre 变换！）力学的第三种写法：用 Legendre 变换把 \((q, \dot q)\) 换成 \((q, p)\)——相空间。方程降为一阶对称形式、演化成为相空间的"流"、泊松括号让力学代数化。这不只是换记号：量子力学（对易子）与统计物理（相空间测度）都从这扇门进屋。

1. Legendre 变换与正则方程

哈密顿量：\(H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L\)，其中 \(p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\)（广义动量）——这正是凸共轭（cvx-01 的 \(f^*\)：\(L\) 对 \(\dot q\) 的 Legendre 变换；"物理学家的 Legendre 变换"在凸优化页有正式户口，两边互为注脚）。通常情形 \(H = T + V\) = 总能量。

正则方程【推导】 对 \(dH = \sum(\dot q\,dp + p\,d\dot q) - dL\) 展开，\(dL\) 的 \(\frac{\partial L}{\partial\dot q}d\dot q\) 项恰与 \(p\,d\dot q\) 相消（共轭变换的设计目的），再用 EL 方程 \(\frac{\partial L}{\partial q} = \dot p\)：

\[ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

\(2n\) 条一阶方程替代 \(n\) 条二阶——相空间 \((q, p)\) 中的一阶流（ode-03 的动力系统语言全面接管：平衡点、相图、稳定性照单全收）。

2. 相空间的几何：Liouville 定理

图 3.1单摆相空间：小能量在不动点附近往复（闭轨），大能量越过顶点持续转动，二者被红色分界线（separatrix）隔开。

定理（Liouville） 哈密顿流保持相空间体积。 【推导】 相流的"速度场" \(v = \big(\frac{\partial H}{\partial p}, -\frac{\partial H}{\partial q}\big)\) 的散度：

\[ \nabla\cdot v = \sum_i\Big(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 \]

（混合偏导相等——数分 V 又一次在关键处执勤。）散度为零 ⇒ 流不可压缩 ⇒ 体积不变（数分 VI 输运定理）。\(\blacksquare\)

读法（两大后果）：① 统计物理的地基——相空间体积是演化不变的天然测度，微正则系综"等概率假设"因此有资格（sm-02 收线）；② 哈密顿系统没有吸引子（体积不能收缩）——耗散系统（阻尼）不哈密顿，这是"保守 vs 耗散"的几何分界。（更深一层【引用】：流保持的不止体积而是辛形式 \(\sum dq_i\wedge dp_i\)——微分形式的语言（grad-math 流形 II）在此有物理岗位；辛几何是哈密顿力学的数学本体。）

3. 泊松括号：力学的代数形态

定义 \(\{f, g\} = \sum_i\Big(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big)\)。

万物演化的统一公式【推导】（链式法则 + 正则方程一行）：

\[ \frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} \]

——\(H\) 是时间演化的生成元；\(f\) 守恒 ⟺ \(\{f, H\} = 0\)（"与哈密顿量对易"）。基本括号：\(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\)。性质：反对称、Jacobi 恒等式、Leibniz——Lie 代数结构（两个守恒量的括号仍守恒——Poisson 定理，造新守恒量的机器）。

量子力学的门牌（本页最大伏笔）：Dirac 的正则量子化处方——

\[ \{f, g\} \;\longrightarrow\; \frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g] \]

泊松括号换成对易子、\(\{q, p\} = 1\) 变成 \([\hat q, \hat p] = i\hbar\)——量子力学的运动方程（Heisenberg 绘景）在形式上就是本页的公式。经典力学不是被量子力学抛弃，而是被它按此字典整体翻译（qm-01/aqm 系列兑现）。

正则变换与 Hamilton–Jacobi 一瞥【引用】：保持括号结构的坐标变换（辛变换）；HJ 方程 \(\frac{\partial S}{\partial t} + H\big(q, \frac{\partial S}{\partial q}\big) = 0\) 把力学化成一条一阶 PDE——作用量 \(S\) 当"波前"：力学的波动形态，历史上是 Schrödinger 方程的直接跳板（经典极限 \(\psi \sim e^{iS/\hbar}\) 的出处）。

4. 练习与要点

例 1（正则方程解谐振子） \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2q^2\)：相流是椭圆（等能线）上的匀速转动——一维谐振子的相图一眼画出；Liouville：椭圆环带面积随流不变。

例 2（括号练手） 验证角动量分量 \(\{L_x, L_y\} = L_z\)（直接展开定义）——角动量的 Lie 代数（\(SO(3)\) 的结构常数）在经典力学里已经在场；量子对易子 \([L_x, L_y] = i\hbar L_z\) 只是换字典（aqm-01 的主角提前露面）。

例 3（守恒量速判） \(H = \frac{p^2}{2m} + V(r)\)（中心势）：\(\{L_z, H\} = 0\) 直接计算验证——"旋转对称 ⇒ 角动量与 \(H\) 对易 ⇒ 守恒"：Noether（mech-02）在括号语言里的重述，三种力学写法在同一事实上会师。\(\blacksquare\)

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