本页目录

广相 III · 黑洞、引力波与宇宙学度规

前置：等效原理、曲率与偏离、Schwarzschild 场方程与轨道、波与干涉、热力学中的熵与温度。 这页要分清：视界的因果边界、引力波的局部潮汐响应、双星辐射的能量损失，是三种不同的计算；它们可以连接，却不能共用一个没有条件的“时空涟漪”比喻。

学习层：把三个说法变成三次核对

1. 先说明实验测什么

模型 可调参数 要核对的结果
Schwarzschild 黑洞 质量、相对视界半径 未来光线能否增大半径；熵、温度和局部潮汐的质量缩放
平面引力波 应变、偏振方向、相位、频率、臂长 单臂相对长度变化中的 1/2，以及两臂相减后的差分应变
领先阶圆轨道旋近 源帧啁啾质量、对称质量比、起始波频率、红移、截断尺度 能量平衡、源/观测帧换算，以及有限频率区间内的时间和波周期数

“坐标速度为零”不等于光在当地停止传播；“熵数值巨大”必须先说明单位；“频率曲线继续上升”也不等于模型已经描述了并合和铃宕。图表会把这些条件与数值放在一起。

2. 四个预测

  1. 在黑洞视界处换一个光滑坐标后，局部光锥是否仍有意义？有限曲率是否等于任意黑洞的潮汐都很弱？
  2. 太阳质量黑洞的熵若约为 10⁵⁴ J/K，是否也约为 10⁵⁴ kB？
  3. 正入射的加偏振波使两条正交臂一伸一缩时，每条臂的变化和两臂差分能否都直接写成 hL？
  4. 仅给啁啾质量，能否确定两颗天体各自的质量？最低阶旋近曲线能否直接延续成真实铃宕波形？

3. 动手实验与无脚本对照

无需脚本也能复算：

情境 数值或关系 解释
Schwarzschild，r=rs 出射族 dx/dT=0，入射族 dx/dT=−1 x=r/rs，T 为下文定义的光滑时间；不是当地测量的光速
同一黑洞，r小于rs 两族未来径向光线都不能增大r 未来黑洞区域；不把白洞的时间反向区域混入
一太阳质量黑洞 rs≈2953.34 m，TH≈6.17007×10⁻⁸ K 非旋转、无电荷；温度是半经典理论量
同一黑洞的熵 S/kB≈1.04895×10⁷⁷；S≈1.44824×10⁵⁴ J/K 两个数描述同一个熵，不能交换单位
固定r/rs，质量加倍 熵×4，温度×1/2，径向潮汐特征值×1/4 比较的是相同相对半径
加偏振，h=10⁻²¹，L=4000 m，波峰 单臂变化±2×10⁻¹⁸ m，差分4×10⁻¹⁸ m 正入射、两臂沿加偏振主轴、长波长近似
偏振主轴旋转45° 当前正交两臂差分为0 探测器方向响应为零，不代表引力波不存在
Mc源=10太阳质量，η=1/4，f观测=20 Hz，z=0 总质量≈22.974太阳质量；截断xPN=0.1时f≈88.9511 Hz 此截断是教学选择，不是并合频率
上述有限旋近区间 约4.64106 s、138.761个波周期 只到选定截断；形式上延至无限频率的时间约4.72947 s，不是实测并合时刻

三种实验独立使用各自参数。偏振图为看清方向而放大形变，放大倍数单列，实际应变读数不随之改变。旋近图只画到明确的弱场参数截断；若起点已在截断之外，或与截断近到无法分辨，就不生成一条貌似可信的演化曲线。

正则未来光锥，熵温度潮汐的质量缩放，明确放大的加与交叉偏振，以及三条各自截断的旋近频率曲线。

1. 视界：先把坐标奇性移走

记 \(r_s=2GM/c^2\)，上一页的外部度规是

\[ ds^2=-f(r)c^2dt^2+\frac{dr^2}{f(r)}+r^2d\Omega^2, \qquad f(r)=1-\frac{r_s}{r}. \]

\(r=r_s\) 处的系数有问题，先不能据此断言那里有物理墙。引入龟坐标与先进时间

\[ r_*=r+r_s\ln\left|\frac r{r_s}-1\right|, \qquad v=t+\frac{r_*}{c}. \]

在原坐标有效的区域有 \(dr_*=dr/f\)，故 \(c\,dt=c\,dv-dr/f\)。代入后，两个 \(dr^2/f\) 项正好相消：

\[ ds^2=-f\,c^2dv^2+2c\,dv\,dr+r^2d\Omega^2. \]

这就是先进 Eddington–Finkelstein 形式。用 \((cv,r)\) 作为径向二维坐标，度规矩阵为

\[ g_{ab}= \begin{pmatrix}-f&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad\det g_{ab}=-1. \]

它在视界仍可逆，且系数光滑。原来的坐标变换本身在视界失效，并不妨碍新表达式作为一个光滑度规继续过去。它覆盖的是外部与未来黑洞区域；永恒解中的白洞、其他外部片和完整因果延拓，需要进一步的坐标与全局分析。EF 构造与因果图：Carroll 第七章，§7

1.1 把“只能向内”算出来

实验使用无量纲 \(x=r/r_s\)、\(V=cv/r_s\)，并再取 \(\mathcal T=V-x\)。径向线元化为

\[ \frac{ds_{\rm radial}^2}{r_s^2} =-\left(1-\frac1x\right)d\mathcal T^2 +\frac2x\,d\mathcal T\,dx +\left(1+\frac1x\right)dx^2. \]

逆度规满足 \(g^{\mathcal T\mathcal T}=-(1+1/x)<0\)，因此可选择 \(\mathcal T\) 增大作为未来方向。令 \(w=dx/d\mathcal T\)，径向光线的零线元给出二次方程

\[ 0=-\left(1-\frac1x\right)+\frac2xw +\left(1+\frac1x\right)w^2, \qquad w_{\rm in}=-1,\quad w_{\rm out}=\frac{x-1}{x+1}. \]

在 \(x>1\)，出射族可增大半径；在 \(x=1\)，它沿视界前进；在 \(0<x<1\)，两根均为负。未来类时方向位于光锥内部，也不能向更大的 \(r\) 逃逸。这是静态 Schwarzschild 黑洞中“单行边界”的计算内容。这里的 \(w\) 是坐标速度，当地惯性观察者仍测得光速 \(c\)。

事件视界本质上由“能否把信号传到遥远未来”决定，是全局因果边界。不能在任意动态时空中，仅凭某一个度规分量变号就宣布找到了事件视界。

1.2 有限曲率不等于潮汐很小

Schwarzschild 的曲率标量为

\[ \mathcal K=R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} =\frac{48G^2M^2}{c^4r^6} =\frac{12r_s^2}{r^6}. \]

在视界它是有限的 \(12/r_s^4\)，在经典解的 \(r\to0\) 极限才发散。有限并不保证数值小。

在径向自由落体的局部正交标架中，线性测地线偏离可写为

\[ \frac{d^2\xi^{\hat i}}{d\tau^2} =\mathsf T^{\hat i}{}_{\hat j}\xi^{\hat j}, \qquad \mathsf T=\frac{GM}{r^3}\operatorname{diag}(2,-1,-1). \]

这是该标架中的局部曲率结果，形式虽与 Newton 点质量潮汐相同，却不是用静止观察者在视界上测量。径向伸长、两条横向压缩；有限长度的物体还需要其尺寸远小于曲率变化尺度，并考虑自身结构。视界处的径向特征值

\[ \lambda_r(r_s)=\frac{2GM}{r_s^3} =\frac{c^6}{4G^2M^2} \]

随质量平方的倒数下降。一太阳质量时约 \(1.03\times10^{10}\ {\rm s^{-2}}\)，一百万太阳质量时约 \(1.03\times10^{-2}\ {\rm s^{-2}}\)。这是局部相对加速度每单位分离的系数，不能不说明物体尺寸就直接改叫伤害程度。

另一种直接检查是取从无穷远静止落下的径向测试粒子，守恒能量 \(E=1\) 给出

\[ \frac{dr}{d\tau}=-c\sqrt{\frac{r_s}{r}},\qquad \Delta\tau(r_0\to r_1) =\frac{2}{3c\sqrt{r_s}} \left(r_0^{3/2}-r_1^{3/2}\right). \]

到达 \(r_1=r_s\) 的固有时有限。远方信号越来越红、越来越迟，与落下者的钟实际停在视界，是不同的说法。

2. 黑洞温度与熵：先给单位，再谈意义

对于非旋转、无电荷的 Schwarzschild 黑洞，半经典曲率时空量子场论给出的 Hawking 温度是

\[ T_H=\frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}. \]

这不是单靠经典光锥或热力学类比推出来的；真实辐射谱还带有外部势垒的灰体因子。本页把温度公式作为半经典输入，再核对它与热力学第一定律的相容性。

静态无荷无旋转情形的能量为 \(U=Mc^2\)，于是

\[ dS=\frac{dU}{T_H} =\frac{8\pi Gk_BM}{\hbar c}\,dM. \]

积分得到与面积成正比的部分。采用 Bekenstein–Hawking 归一化，

\[ S_{\rm BH}=\frac{k_Bc^3A}{4G\hbar}, \qquad A=4\pi r_s^2, \qquad \frac{S_{\rm BH}}{k_B}=\frac{4\pi GM^2}{\hbar c}. \]

第一定律的积分本身并不能确定任意加法常数，也不能代替微观态计数；面积公式是此处采用的半经典结果。Hawking，Phys. Rev. D 13, 191 (1976)，原论文摘要中的温度与面积关系

取 \(G=6.67430\times10^{-11}\)、\(c=299792458\)、\(M_\odot=1.98847\times10^{30}\) kg、\(\hbar=1.054571817\times10^{-34}\) J·s、\(k_B=1.380649\times10^{-23}\) J/K，直接代入得

\[ T_H(M_\odot)\simeq6.17007\times10^{-8}\ {\rm K}, \]
\[ \frac{S_{\rm BH}(M_\odot)}{k_B}\simeq1.04895\times10^{77}, \qquad S_{\rm BH}(M_\odot)\simeq1.44824\times10^{54}\ {\rm J/K}. \]

后两个数是同一个物理量的两种表达。写出 \(10^{54}k_B\) 会少掉约 23 个数量级；\(S\) 的 SI 数值不能直接当作 \(S/k_B\)。

质量加倍时，面积与熵乘 4，温度减半。还可以核对

\[ 2T_HS_{\rm BH}=Mc^2,\qquad \frac{d(Mc^2)}{dT_H}<0. \]

负热容意味着给黑洞增加能量会降低其 Hawking 温度；不能把它当成普通正热容物体直接套用无限热库的稳定平衡直觉。

2.1 面积不减定理与量子蒸发不矛盾吗？

经典面积定理有前提：Einstein 方程、物质满足零能量条件，以及相应的全局可预测性等条件。Raychaudhuri 方程结合视界生成线的全局性质约束面积变化。Hawking 蒸发涉及量子场，其重整化能动张量可不满足经典零能量条件，故不能把面积不减当成无条件反驳。

半经典讨论中的广义熵包含黑洞面积项与外部量子场熵；它与信息如何编码、如何恢复的完整微观问题仍需区分。本页的单位计算既没有证明全息原理，也没有解决信息悖论。Wald《黑洞热力学》，面积定理与广义第二定律；进一步的课程入口是全息与量子信息。

3. 引力波：从场方程到两条臂的读数

3.1 为什么剩下两种偏振？

在近似平直背景上写 \(g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\)，取 \(|h_{\mu\nu}|\ll1\)、\(\eta=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)\)。指标在这一阶用 \(\eta\) 升降。记

\[ h=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu},\qquad \bar h_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}h. \]

从联络的一阶项求 Ricci 张量，有

\[ R^{(1)}_{\mu\nu} =\frac12\left( \partial_\alpha\partial_\mu h^\alpha{}_\nu +\partial_\alpha\partial_\nu h^\alpha{}_\mu -\Box h_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu h \right). \]

选择谐和规范 \(\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0\) 后，Einstein 方程化为

\[ \Box\bar h_{\mu\nu} =-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}, \qquad \Box=-\frac1{c^2}\partial_t^2+\nabla^2. \]

在远离源的真空波区，右侧为零；平面波的波矢为零范数。四个规范条件与剩余坐标自由度消去非物理分量，可以选横向无迹（TT）表示。对于沿 \(+z\) 传播的波，

\[ h_{ij}^{\rm TT}= \begin{pmatrix} h_+&h_\times&0\\ h_\times&-h_+&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad h_A=h_A(t-z/c),\quad A\in\{+,\times\}. \]

矩阵对称、无迹、且只作用在横向平面，剩下两个独立函数。它不是说任意区域的引力场都只有这两项，而是在上述真空辐射与线性近似下的物理自由度。线性方程、规范与 TT：Carroll 第六章

3.2 为什么单臂有 1/2，差分却没有？

沿用前两页的曲率号约定，在局部自由落体标架中，

\[ R_{\hat0 i\hat0 j} =-\frac1{2c^2}\ddot h^{\rm TT}_{ij}, \qquad \ddot\xi^i=-c^2R^i{}_{\hat0 j\hat0}\xi^j =\frac12\ddot h^{\rm TT}_{ij}\xi^j. \]

选择无额外自由漂移的响应分量，并保留一阶，

\[ \delta\xi^i(t)=\frac12h^{\rm TT}_{ij}(t)\xi_0^j. \]

在 TT 坐标中测试质量的坐标可以保持不变，变化的是适当定义的固有分离；不要把坐标静止误解为没有物理响应。对沿 \(x,y\) 的等长正交臂，波正入射、且波长远大于臂长时，

\[ \frac{\delta L_x}{L}=\frac{h_+}{2},\qquad \frac{\delta L_y}{L}=-\frac{h_+}{2},\qquad \frac{\delta L_x-\delta L_y}{L}=h_+. \]

因此 \(h_+=10^{-21}\)、\(L=4000\) m 时，单臂为 \(\pm2\times10^{-18}\) m，差分为 \(4\times10^{-18}\) m。完整探测器还要考虑光往返、光学腔、天线响应、标定和噪声；本页实验只是长波长极限中的几何响应。参数要求 \(2\pi fL/c\le0.1\) 是教学范围限制，并不声称它给出了某个严格精度保证。

实验考虑方向为 \(\psi\) 的线偏振，取相位 \(\phi\)，有

\[ \begin{pmatrix}h_+\\h_\times\end{pmatrix} =h_0\cos\phi \begin{pmatrix}\cos2\psi\\\sin2\psi\end{pmatrix}. \]

\(\psi=45^\circ\) 时两条现有正交臂的差分为零，但旋转探测器就可产生响应。方向上的零点不是“没有波”。圆环图使用明确标记的放大形变；完整表格保留实际微小位移，不能拿放大后的图估计真实应变。

4. 旋近为什么加速？从能量平衡推啁啾公式

4.1 四极矩的约定决定系数

对于孤立、慢运动、弱场源，定义无迹质量四极矩

\[ Q_{ij}=\int\rho(\mathbf x) \left(x_ix_j-\frac13r^2\delta_{ij}\right)d^3x. \]

在远处波区，领先辐射满足

\[ h^{\rm TT}_{ij} =\frac{2G}{c^4D}\ddot Q^{\rm TT}_{ij}(t-D/c), \qquad P=\frac{G}{5c^5} \left\langle\dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}\right\rangle. \]

这里 \(D\) 是忽略宇宙学膨胀时的远场距离，重复指标求和。不同书可能把四极矩定义成这里的三倍，辐射系数随之改变，不能混用。单极的质量守恒、质量偶极的质心运动与总动量守恒，使孤立源的最低阶引力辐射从四极起步。

考虑分离矢量为 \(a(\cos\Omega t,\sin\Omega t,0)\) 的圆双星。总质量 \(M=m_1+m_2\)、约化质量 \(\mu=m_1m_2/M\)，则

\[ Q_{xx}=\mu a^2\left(\frac16+\frac12\cos2\Omega t\right), \quad Q_{yy}=\mu a^2\left(\frac16-\frac12\cos2\Omega t\right), \]
\[ Q_{xy}=Q_{yx}=\frac{\mu a^2}{2}\sin2\Omega t, \qquad Q_{zz}=-\frac{\mu a^2}{3}. \]

波的主导频率是 \(f_{\rm GW}=\Omega/\pi=2f_{\rm orb}\)。直接求三次导数并把 \(xx,yy,xy,yx\) 都计入，得到

\[ \dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}=32\mu^2a^4\Omega^6, \qquad P=\frac{32G}{5c^5}\mu^2a^4\Omega^6. \]

若漏掉对称的 \(yx\) 分量，就会算错系数。LIGO/Virgo《GW150914 的基本物理》，附录 A 的完整圆双星计算

4.2 把轨道能量损失换成频率上升

Kepler 关系 \(\Omega^2=GM/a^3\) 与圆轨道结合能给出

\[ E_{\rm orb}=-\frac{GM\mu}{2a} =-\frac12\mu(GM)^{2/3}(\pi f)^{2/3}. \]

在每一圈能量损失足够小、轨道可近似连续经过一系列圆轨道时，令 \(dE_{\rm orb}/dt=-P\)。定义

\[ \eta=\frac{\mu}{M}=\frac{m_1m_2}{M^2}\le\frac14, \qquad \mathcal M=\eta^{3/5}M =\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}, \]

便得到

\[ \dot f=A_f f^{11/3},\qquad A_f=\frac{96}{5}\pi^{8/3} \left(\frac{G\mathcal M}{c^3}\right)^{5/3}. \]

结合能越来越负，分离越来越小，轨道角频率随之上升。这里的 \(f\) 一直是波频率。给定 \(\mathcal M\) 还不能拆出两颗质量；实验额外输入 \(\eta\) 后才可算 \(M=\mathcal M/\eta^{3/5}\) 及两个质量。

4.3 只积分到明确的截止频率

从 \(f_0\) 到 \(f_1>f_0\) 的时间和波周期数分别为

\[ \Delta t=\int_{f_0}^{f_1}\frac{df}{A_f f^{11/3}} =\frac{3}{8A_f}\left(f_0^{-8/3}-f_1^{-8/3}\right), \]
\[ N=\int f\,dt =\frac{3}{5A_f}\left(f_0^{-5/3}-f_1^{-5/3}\right). \]

形式上令 \(f_1\to\infty\) 得到 \(\tau_{\rm formal}=3f_0/(8\dot f_0)\)。它只是该领先阶方程的外推常数，不是真实双星到并合的精确剩余时间，更不是铃宕周期。

实验用

\[ x_{\rm PN}=\left(\frac{\pi GMf}{c^3}\right)^{2/3} \simeq\frac{GM}{ac^2} \]

标记轨道紧致程度，并由使用者选择 \(0.02\le x_{\rm cut}\le0.1\)。达到该值就停止。旁边另列的 \(x=1/6\) 是把总质量代入 Schwarzschild 测试粒子 ISCO 所得的参考尺度，不是可比质量双星的精确并合条件。

截断不等于给领先 PN 近似提供了严格误差界；质量比、自旋、偏心以及更高阶修正仍会改变波形。过高的起始频率不会被悄悄压低，而是明确显示超出模型范围。距离截止过近的输入另标为数值未分辨。即使两个端点能区分，也要检查201个频率、时间、累计周期和xPN节点是否分别严格递增；若浮点表示不足以分开全部节点，就不展示该轨迹。

为避免两个接近的大数相减，数值账本取 \(L=\ln(f_1/f_0)\)，通过 \(\operatorname{expm1}\) 计算

\[ \Delta t=\tau_{\rm formal}\left[-\operatorname{expm1}\left(-\frac83L\right)\right], \qquad N=\frac85f_0\tau_{\rm formal} \left[-\operatorname{expm1}\left(-\frac53L\right)\right]. \]

三条比较曲线分别采用一半、当前、两倍啁啾质量，每条都有自己的终止频率和全部节点。画的是频率随时间的变化；有限采样的曲线不伪装成已经解析了每一个快速振荡的应变周期。

5. 宇宙学红移怎样进入质量读数？

大尺度均匀各向同性限制空间切片为常曲率几何，局部可写 Robertson–Walker 形式

\[ ds^2=-c^2dt^2+a^2(t) \left[\frac{d\chi^2}{1-k\chi^2}+\chi^2d\Omega^2\right]. \]

这里 \(\chi\) 无量纲，\(a\) 具有长度单位，\(k=0,\pm1\) 为归一化空间曲率符号。对称性还没有决定 \(a(t)\) 的动力学，也没有唯一决定空间的全局拓扑；不要把 \(k\) 的三种符号直接等同于三种唯一的宇宙形状。

若 \(\rho\) 表示等效质量密度、\(\rho c^2\) 是能量密度，Einstein 方程给出的一个 Friedmann 方程及连续性方程是

\[ H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}, \qquad H=\frac{\dot a}{a}, \]
\[ \dot\rho+3H\left(\rho+\frac{p}{c^2}\right)=0. \]

压力 \(p\) 的单位为能量密度。这里保持单位清楚，详细动力学留给宇宙学 I。

对固定共动位置间的径向光线，空间积分等于 \(\int c\,dt/a(t)\)。考虑两个相邻波峰，它们经历同一共动路径，因此

\[ \frac{\delta t_{\rm obs}}{a_{\rm obs}} =\frac{\delta t_{\rm src}}{a_{\rm src}}, \qquad 1+z=\frac{a_{\rm obs}}{a_{\rm src}}, \qquad f_{\rm obs}=\frac{f_{\rm src}}{1+z}. \]

在几何光学极限、且观测期间红移可近似不变时，引力波也服从这一传播关系。由时间和频率各自的换算，

\[ dt_{\rm obs}=(1+z)dt_{\rm src},\qquad \dot f_{\rm obs}=\frac{\dot f_{\rm src}}{(1+z)^2}. \]

把源帧的啁啾公式代入，便可整理成

\[ \dot f_{\rm obs} =\frac{96}{5}\pi^{8/3} \left[\frac{G(1+z)\mathcal M_{\rm src}}{c^3}\right]^{5/3} f_{\rm obs}^{11/3}. \]

因此观测相位演化约束的是 \(\mathcal M_{\rm obs}=(1+z)\mathcal M_{\rm src}\)。同时 \(M_{\rm obs}f_{\rm obs}=M_{\rm src}f_{\rm src}\)，实验的 \(x_{\rm PN}\) 在这一换算下不变。共动观察者红移与到达时间：Carroll 第八章

本实验的红移是固定参数，不计算长期宇宙学演化；起始观测频率限定为 1–2000 Hz，所列质量范围内的展示时段不延伸到宇宙学长时间。更低频的长期空间观测需要另设适用范围。仅凭这条领先阶频率曲线，不能自动同时解出源帧质量和红移；真实分析还需距离、宇宙学模型、可能的电磁对应体及完整探测器信号模型。

5.1 怎样连接真实观测而不把模型冒充数据？

GW150914 的发现论文报告了约 35–250 Hz 的信号扫频及约 \(10^{-21}\) 的峰值应变，使用完整模型分析旋近、并合和铃宕。它是 2015 年观测、2016 年发表的历史事件，实验面板中的默认参数不代表对这个事件的拟合。观测到的波形还要经过标定、噪声估计、探测器响应和统计推断，不能把本页公式的代入值叫作“直接测得质量”。LIGO/Virgo，GW150914 发现论文，PRL 116, 061102 (2016)

6. 四道迁移题与完整解答

练习 1：在x=1/2、1、2处分别求两族光线的坐标速度；为什么视界有限曲率仍不保证温和？

入射族恒为 \(w_{\rm in}=-1\)；出射族依次为

\[ w_{\rm out}(1/2)=-\frac13,\qquad w_{\rm out}(1)=0,\qquad w_{\rm out}(2)=\frac13. \]

在视界内部，两族的半径都减小；在视界上，出射族沿着零曲面前进。速度是对 \(\mathcal T\) 的坐标变化率，不能把它与当地光速混同。

视界的曲率标量 \(12/r_s^4\) 虽然有限，却随质量的四次方倒数变化。更直接的局部潮汐读数 \(\lambda_r=c^6/(4G^2M^2)\) 随 \(M^{-2}\) 变化。把质量放大一百万倍，就把视界处单位分离的径向相对加速度减小一万亿倍。是否损坏一个物体还需要其长度、材料和穿越过程；“没有坐标奇性”本身回答不了这一问题。

练习 2：质量变为两倍时，熵、温度和2TS各怎样改变？检查10⁵⁴的单位。

\(S_{\rm BH}\propto M^2\)，所以变为四倍；\(T_H\propto1/M\)，所以减半。乘积 \(2T_HS_{\rm BH}\) 因而变为两倍，与总能量 \(Mc^2\) 一致。

一太阳质量时，\(S\simeq1.44824\times10^{54}\) J/K。除以 \(k_B=1.380649\times10^{-23}\) J/K 后才得到无量纲的 \(S/k_B\simeq1.04895\times10^{77}\)。两太阳质量对应约 \(4.19582\times10^{77}k_B\)，温度约 \(3.08504\times10^{-8}\) K。

这个计算验证了半经典公式的系数、单位和缩放；它没有计算出每一个黑洞微观态，也不能被解释为解决了信息悖论。

练习 3：L=4 km、h₀=10⁻²¹，在波峰处先取ψ=0，再取ψ=45°。

在 \(\psi=0\) 时，\(h_+=h_0\)、\(h_\times=0\)。两臂分别变化

\[ \delta L_x=+2\times10^{-18}\ {\rm m},\qquad \delta L_y=-2\times10^{-18}\ {\rm m}. \]

差分为 \(4\times10^{-18}\) m。若把每条臂都写为 \(h_0L\)，相减后就会错误地再多出一倍。

在 \(\psi=45^\circ\) 时，\(h_+=h_0\cos90^\circ=0\)，\(h_\times=h_0\)。当前两臂方向的领先阶差分为零；圆环却沿斜方向交替伸缩。把探测器旋转 45° 才重新对齐其主轴。实验中的放大形变只是展示方向，实际位移仍须用 \(h_0\) 计算。

练习 4：用默认旋近参数核对时间、周期数，再解释红移和截断。

默认 \(\mathcal M_{\rm src}=10M_\odot\)、\(\eta=1/4\)、\(z=0\)，故总质量 \(M\simeq22.974M_\odot\)，两颗各约 \(11.487M_\odot\)。从 \(f_0=20\) Hz 积分到 \(x_{\rm PN}=0.1\)，得到 \(f_1\simeq88.9511\) Hz、\(\Delta t\simeq4.64106\) s、\(N\simeq138.761\) 个波周期；圆轨道圈数是其一半。

形式上的 \(\tau_{\rm formal}\simeq4.72947\) s 比实际展示区间长，但剩下的差值不等于真实并合时长。实验到达教学截断就结束。

现在比较同一源帧区间在 \(z=1\) 下的观测：频率端点变为原来的一半，所用观测啁啾质量变为两倍，持续时间变为两倍，而波周期数不变。若只把 \(z\) 改成 1，却坚持保留相同的观测起始 20 Hz，你选取的是另一个源帧区间，不能要求持续时间仍简单翻倍。

最后，仅固定 \(\mathcal M_{\rm obs}\) 的两组 \((\mathcal M_{\rm src},z)\) 在这一领先阶相位公式中简并；而改变 \(\eta\) 即使保留相同啁啾质量，也会改变总质量及所选 \(x_{\rm PN}\) 截断的频率。参数简并和模型适用域必须分别检查。

7. 下一步沿哪条路线走？

继续研究旋转、能层与全局因果结构，可进入 Kerr 与因果结构；研究标度因子的动力学，可进入宇宙学 I；研究量子信息与黑洞的连接，可先补量子比特与纠缠，再读全息信息。三个方向都需要保留本页的习惯：先定义观测者、单位和近似，再给解释。