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流体 IV · 不稳定性与对流

对标：Drazin & Reid《Hydrodynamic Stability》/ Chandrasekhar / Cross & Hohenberg RMP ｜ 先修：连续介质与守恒、黏性边界、对称破缺与序参量 一层下热上冷的液体何时开始流动？小扰动增长以后是否一定发展成湍流？线性失稳、非线性饱和和充分发展的湍流是不同的问题。本页用 Rayleigh–Bénard（RBC）把一条中性曲线、一个近临界正规形和真实改变胞格宽度的对流图案接起来；其余经典失稳则明确写出适用边界。

自由滑移边界的中性曲线及正规形正负分支
图 fl-04.1静态图与实验统一采用自由滑移、等温边界：最低中性值为 27π⁴/4≈657.51。右图是选定超临界正规形的正负分支，初始振幅恰为零时仍留在零解；无滑移刚性边界的临界值约 1707.76，属于另一个本征值问题。

学习层：中性曲线怎样选出真实的对流胞

1. 先把 RBC 的边界条件钉死

考虑无限水平层 \(0<z<d\)，下热上冷，温差 \(\Delta T>0\)。近似是 Boussinesq：密度只在浮力项中随温度线性变化，其余物性取常数；上下边界等温。Rayleigh 数为

\[ \mathrm{Ra}=\frac{g\alpha\Delta T\,d^3}{\nu\kappa}, \]

其中 \(\nu\) 是运动黏度、\(\kappa\) 是热扩散率。线性化的是静止导热态；水平波数写成 \(k=a/d\)，因此 \(a\) 是无量纲水平波数。无穷水平意味着 \(a\) 可以连续取值，最先失稳的是中性曲线最低点对应的模式。

同样是“等温水平层”，机械边界不同，临界数就不同：

机械边界（上下均等温） 临界数据与读法
无滑移刚性边界 \(\mathrm{Ra}_c\approx1707.76\)，\(a_c\approx3.1163\)，\(\lambda_c/d\approx2.016\)；常用实验/刚性容器参考值
自由滑移边界 \(\mathrm{Ra}_c=27\pi^4/4\approx657.51\)，\(a_c=\pi/\sqrt2\approx2.2214\)，\(\lambda_c/d=2\sqrt2\approx2.828\)；本互动实验唯一使用的解析模型

图 fl-04.1 和实验统一使用第二行；第一行只作边界条件改变后的对照，不混入解析曲线。

2. 自由滑移解析中性曲线与符号正确的 \(\mu\)

用层厚 \(d\)、热扩散时间 \(d^2/\kappa\)、速度 \(\kappa/d\) 和温差 \(\Delta T\) 无量纲化。这里 \(\kappa\) 是热扩散率（\(\mathrm{m^2/s}\)），\(\mathrm{Pr}=\nu/\kappa\)。静止导热态的温度随 \(z\) 线性下降；扰动温度 \(\theta\) 与速度满足

\[ \partial_t\mathbf u=-\nabla p+\mathrm{Pr}\Delta\mathbf u +\mathrm{Ra}\,\mathrm{Pr}\,\theta\hat{\mathbf z},\qquad \partial_t\theta=w+\Delta\theta,\qquad\nabla\cdot\mathbf u=0. \]

温度方程中的 \(+w\) 来自上升流携带较热的流体，黏性与热扩散分别削弱速度和温度扰动。取动量方程的双旋度以消去压力，再取竖直分量：

\[\partial_t\Delta w=\mathrm{Pr}\Delta^2w+\mathrm{Ra}\,\mathrm{Pr}\Delta_h\theta.\]

上下自由滑移且不可穿透要求 \(w=\partial_z^2w=0\)，等温要求 \(\theta=0\)。因而可以取 \(w=W(t)\sin(\pi z)\cos(ax)\)、\(\theta=\Theta(t)\sin(\pi z)\cos(ax)\)。记 \(Q=a^2+\pi^2\)，代入得真实的线性二模系统

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\begin{pmatrix}W\\\Theta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\mathrm{Pr}Q&\mathrm{Pr}\mathrm{Ra}a^2/Q\\1&-Q\end{pmatrix} \begin{pmatrix}W\\\Theta\end{pmatrix}. \]

其增长率满足

\[ (\sigma+\mathrm{Pr}Q)(\sigma+Q)=\frac{\mathrm{Pr}\mathrm{Ra}a^2}{Q},\qquad \sigma_\pm=-\frac{(\mathrm{Pr}+1)Q}{2} \pm\frac12\sqrt{(\mathrm{Pr}-1)^2Q^2+\frac{4\mathrm{Pr}\mathrm{Ra}a^2}{Q}}. \]

\(\mathrm{Pr}>0,\mathrm{Ra}>0\) 时根为实数，\(\sigma_-<0\)。令另一个根为零，得到

\[\mathrm{Ra}_N(a)=\frac{(a^2+\pi^2)^3}{a^2}.\]

对于第 \(n\ge1\) 垂直模，把 \(\pi^2\) 换为 \(n^2\pi^2\)；最低门槛出现在 \(n=1\)。这说明中性曲线的来源，也说明它只约束线性起始阶段。

令 \(q=a^2\)，则

\[ \frac{\mathrm d\mathrm{Ra}_N}{\mathrm dq} =\frac{(q+\pi^2)^2(2q-\pi^2)}{q^2}, \qquad q_c=\frac{\pi^2}{2}, \]

从而

\[ a_c=\frac{\pi}{\sqrt2},\qquad \mathrm{Ra}_c=\mathrm{Ra}_N(a_c)=\frac{27\pi^4}{4}. \]

为把“当前 \(a\) 模式离中性线有多远”写成一个符号正确、无量纲的教学量，实验定义

\[ \mu=\frac{\mathrm{Ra}}{\mathrm{Ra}_N(a)}-1. \]

\(\mu>0\) 表示该波数在这个近临界模型中位于不稳定一侧，\(\mu<0\) 表示位于稳定一侧。它是近临界控制量/增长倾向的代理，不是有物理单位的精确增长率；上面的 \(\sigma_+\) 是该自由滑移第一垂直模的线性增长率，时间单位为 \(d^2/\kappa\)；换回秒需乘 \(\kappa/d^2\)。实验加入 Pr 控制直接计算它。近临界时 \(\sigma_+\approx[\mathrm{Pr}Q/(1+\mathrm{Pr})]\mu\)，因此 \(\mu\) 与 \(\sigma_+\) 同号，却不是同一个数。

3. 动手实验：同一中性判据，右图真的重画胞格

先点四个预设，再拖动 \(\mathrm{Ra}\)、\(a\)、初始振幅 \(A_0\)、Prandtl 数与正规形进度 \(\tau\)。左/上图标出 \(\mathrm{Ra}_N(a)\)、当前点和最低点；右/下图在固定的 \(L/d=10\) 水平窗口内构造

\[ \psi=A\sin(\pi z)\sin(ax),\qquad u=\frac{\partial\psi}{\partial z},\qquad w=-\frac{\partial\psi}{\partial x}. \]

这里 \(x,z\) 已用 \(d\) 无量纲化。为让热冷方向与速度符号一致，图中还用 \(\theta'\propto-A\sin(\pi z)\cos(ax)\) 做符号示意：\(w>0\) 的区域标为热上升，\(w<0\) 的区域标为冷下降。改变 \(a\) 会同时改变 \(\lambda/d=2\pi/a\)、零点分割和固定窗口内的胞数，而不是只让一条曲线换个位置。竖直方向为看清胞格而放大，箭头先按横纵坐标比例变换，再把长度归一化，所以仍与屏幕上的流线相切。热冷阴影只表达符号，未标定温差大小；改变振幅符号会反转流动方向与热冷区。

实验的幅度演化使用选定的超临界近临界正规形

\[ \frac{\mathrm dA}{\mathrm d\tau}=\mu A-gA^3,\qquad g=1.2, \qquad A_\infty=\begin{cases}\operatorname{sgn}(A_0)\sqrt{\mu/g},&\mu>0,\ A_0\ne0,\\0,&\mu\le0\ \text{或}\ A_0=0.\end{cases} \]

\(\tau\) 只是模型时间的记号；若把它写成 \(t\)，同一条式子就是 \(\mathrm dA/\mathrm dt=\mu A-gA^3\)。它描述的是选定的超临界近临界情形， 不是所有 RBC 装置的普适全局动力学。

\(A\) 与 \(\tau\) 都是教学归一化变量；\(A_\infty\) 是这个正规形的饱和值，不是任意 RBC 装置的普适全局饱和值。实验用该方程的解析解画 \(A(\tau)\)。Pr 滑块改变上文的线性 \(\sigma_+\)，但这里的 \(\tau\) 是重新归一化的正规形时间，所以此曲线不会随 Pr 自动改变；不能把两个时钟混为一谈。

令 \(q_A=A^2\)，则 \(q_A'=2\mu q_A-2gq_A^2\)，分离变量可得

\[ A(\tau)=\begin{cases} \displaystyle\frac{A_0e^{\mu\tau}}{\sqrt{1+(gA_0^2/\mu)(e^{2\mu\tau}-1)}},&\mu\ne0,\\[6pt] \displaystyle\frac{A_0}{\sqrt{1+2gA_0^2\tau}},&\mu=0. \end{cases} \]

分子保留 \(A_0\) 的符号。即使 \(\mu>0\)，初值恰为零也始终为零；“不稳定”意味着附近扰动会增长，不意味着无扰动的确定性解会自行离开。临界时非零振幅按 \(\tau^{-1/2}\) 衰减，不能把显示上四舍五入的微小 \(\mu\) 当成精确零。

无 JavaScript 时的静态读法：只使用自由滑移解析式 \(\mathrm{Ra}_N(a)=(a^2+\pi^2)^3/a^2\)，其最低点为 \((a_c,\mathrm{Ra}_c)=(\pi/\sqrt2,27\pi^4/4)\approx(2.2214,657.51)\)。 \(\mu=\mathrm{Ra}/\mathrm{Ra}_N(a)-1\) 的正负决定所选波数模式在此教学模型中位于中性线哪一侧；\(\lambda/d=2\pi/a\) 决定固定 \(L/d=10\) 窗口内胞格的尺度与数量。流线与速度由 \(\psi=A\sin(\pi z)\sin(ax)\)、\(u=\partial_z\psi\)、\(w=-\partial_x\psi\) 构造。

预设 \(\mathrm{Ra}\) \(a\) 读图
亚临界衰减 \(500\) \(\pi/\sqrt2\) \(\mathrm{Ra}<657.51\)，\(\mu<0\)，\(A\) 衰减
临界模式 \(27\pi^4/4\) \(\pi/\sqrt2\) \(\mu=0\)，只剩三次项的缓慢衰减
超临界选模 \(900\) \(\pi/\sqrt2\) 最低点附近 \(\mu>0\)，\(A\) 趋向 \(\sqrt{\mu/1.2}\)
离开最优波数后重新稳定 \(900\) \(4.4\) 虽然 \(\mathrm{Ra}>657.51\)，但该 \(a\) 的 \(\mathrm{Ra}_N(a)>900\)，所以 \(\mu<0\)

振幅 \(A\) 是无量纲教学归一化，\(\mu\) 不是精确增长率。默认 Pr=7、Ra=900、\(a=\pi/\sqrt2\) 时，上述线性系统给 \(\sigma_+\approx4.59878\)，而 \(\mu\approx0.368798\)。两者使用不同的时间归一化。

4. 模式选择：为什么近 onset 先看到 rolls

在理想 Boussinesq、近临界、上下对称的设置中，平移/反射等对称性使一组平行 rolls（滚筒状对流胞）成为最直接的首选分支。六边形（hexagons）并非“同一条自由滑移曲线必然选出的图案”：它通常需要非 Boussinesq 效应、上下不对称、温度依赖物性或其他额外的对称性破缺来允许相应耦合。继续升高 \(\mathrm{Ra}\) 后，rolls 的失稳、振荡、侧带、缺陷和混沌路线依赖几何、边界、Prandtl 数 \(\mathrm{Pr}\) 与扰动；不能把“倍周期”写成所有 RBC 装置的必然路线。Lorenz 三模方程是一个重要截断模型，不是所有高 \(\mathrm{Ra}\) 对流的全球动力学定理。

5. 迁移题：改变边界、波数与初值

  1. 换成上下无滑移刚性边界后，能否继续使用 \(657.51\) 和 \(\sin(\pi z)\) 模式？
  2. Ra=900、\(a=4.4\) 时为什么所选模式衰减，而系统仍存在不稳定模式？
  3. \(\mu>0\) 时，把正初值减半、变号、或精确设成零，长期极限分别怎样改变？Pr 改变时，\(\sigma_+\) 与正规形曲线是否一定同步改变？
展开推导与答案
  1. 不能。刚性边界还要求切向速度为零，竖直模需满足 \(w=\partial_zw=0\)；\(\sin(\pi z)\) 的边界导数不为零。必须重解本征问题，才得到 \(\mathrm{Ra}_c\approx1707.76\)、\(a_c\approx3.1163\)。
  2. \(\mathrm{Ra}_N(4.4)\approx1289.922>900\)，故 \(\mu\approx-0.302283\)。但最低点的中性值只有 \(657.511\ldots\)，所以其附近模式仍会增长；“这个波数稳定”不等于“所有扰动稳定”。
  3. 任意非零正初值趋于 \(+\sqrt{\mu/g}\)，减半只改变瞬态；负初值趋于负分支；零初值永远保持零。真实装置的噪声可提供扰动，但本实验没有加噪声。Pr 改变线性二模系统的增长时间；选定正规形使用自己的 \(\tau\)，本实验固定其 \(\mu,g\) 时曲线不变，不能把该不变性误认为物理增长率与 Pr 无关。

1. 线性稳定性分析：标准流程

给定基本流 \(\bar{\mathbf u}\)，加小扰动并作 Fourier/本征模分解，例如 \(\mathbf u'\propto e^{ikx+\sigma t}\)。线性化 Navier–Stokes 与能量方程后，求本征值 \(\sigma(k)\)：

\[ \operatorname{Re}\sigma>0\Longrightarrow\text{指数增长},\qquad \operatorname{Re}\sigma=0\Longrightarrow\text{中性},\qquad \operatorname{Re}\sigma<0\Longrightarrow\text{线性衰减}. \]

中性曲线是参数空间中 \(\operatorname{Re}\sigma=0\) 的集合；其最低点通常给出最先失稳的控制参数和最偏好的尺度。但“最低点选出哪个模式”仍要连同边界、几何、非线性耦合和扰动来源一起读，不能把一条曲线当作完整的全局动力学。

2. Rayleigh–Bénard：图案形成的原型

下热上冷时，浮力驱动上升，黏性和热扩散阻碍运动。RBC 的经典之处不是只有一个临界数，而是同一问题同时展示了：

因此，\(\mathrm{Ra}>\mathrm{Ra}_c\) 的意思首先是“至少有一类波数进入不稳定侧”，不是“任意预先选定的 \(a\) 都会长大”。

3. 几种经典失稳机制

机制 驱动 判据/适用边界
Kelvin–Helmholtz 速度剪切 “任意小波长不稳定”只对理想无粘、零厚度涡片且忽略重力、表面张力和有限剪切层等正规化时成立；真实界面会被这些效应截断或改变
Rayleigh–Taylor 重流体在轻流体之上 浮力倒置导致指进；增长谱会受黏性、表面张力、有限厚度和几何影响
Rayleigh–Plateau 表面张力 理想无限圆柱、轴对称扰动下，液柱在 \(\lambda>2\pi R\) 的长波段倾向断裂成液滴
Taylor–Couette 旋转离心 同轴筒间出现 Taylor 涡，是研究分岔与模式竞争的经典实验台
Rayleigh 旋转判据 角动量分布 \(d(r^2\Omega)^2/dr<0\) 的判据限定于无粘、轴对称扰动；不能直接替代磁化盘的判据
磁旋转不稳定（MRI） 磁张力与差分旋转 在局域、理想MHD、竖直背景磁场和轴对称竖直波数的经典模型中，需有 \(0<k_z^2v_A^2<-\mathrm d\Omega^2/\mathrm d\ln r\) 的可用波段；几何、磁扩散与场强都会限制失稳

这里 \(v_A=B/\sqrt{\mu_0\rho}\) 是 Alfvén 速度，\(k_z\) 是竖直波数。经典谱中磁张力太强也会稳定短波，所以“有弱场且角速度下降”仍须检查系统是否容纳相应波段。

尤其不要把 Rayleigh 判据和 MRI 写成同一个结论：MRI 依赖磁场耦合，即使角动量分布满足无粘轴对称判据，也可能通过另一条磁流体谱失稳。

4. 转捩：线性稳定不等于任意条件下必然层流

对于理想直圆管中的充分发展 Newtonian Hagen–Poiseuille 基流，经典谱计算支持其线性稳定；实验仍可在有限振幅扰动下发生亚临界转捩。这里引用数值与实验结论，不把有限参数谱扫描宣称为所有 Reynolds 数的数学证明。工程上常引用 \(\mathrm{Re}\sim2000\) 作为量级提示，而不是材料常数或普适阈值：入口长度、粗糙度、弯头、来流噪声、扰动幅度和测量判据都会改变观察到的转捩位置。

矛盾由两层机制化解：

所以“线性稳定”只排除了无穷小扰动的指数失稳，不能保证任意 \(\mathrm{Re}\)、任意入口条件和任意扰动下都保持可观察的层流。

5. 练习与要点

例 1（对流胞尺度） 一层 \(1\,\mathrm{cm}\) 厚的水，\(\Delta T=5\,\mathrm K\) 时，取量级物性 \(\alpha=2.1\times10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}}\)、\(\nu=10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}\)、\(\kappa=1.4\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}\) 与 \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\)，得到 \(\mathrm{Ra}\approx7.36\times10^4\)；实际锅内还会受自由表面、侧壁和物性变化影响，不能把它当成无限水平自由滑移精确实验。

例 2（地幔对流） 地幔模型中常见的是动力黏度 \(\eta\approx10^{21}\,\mathrm{Pa\,s}\)，不是运动黏度。二者关系是

\[ \nu=\frac{\eta}{\rho},\qquad [\eta]=\mathrm{Pa\,s},\qquad [\nu]=\mathrm{m^2\,s^{-1}}. \]

把 \(\eta\) 直接写进 \(\nu\) 的位置会造成单位错误；地幔 Rayleigh 数还要结合 \(\rho,\kappa,\alpha,\Delta T,d\) 与有效黏度的温压依赖估算。虽然 \(d^3\) 很大、对流时间尺度约为百万至亿年，但这不意味着可以忽略黏度模型。

例 3（RT 不稳定与聚变） 惯性约束聚变压缩时，轻流体推动重流体会激发 Rayleigh–Taylor 指进，破坏燃料层的对称压缩；抑制并预测有限厚度、黏性和界面扰动下的增长，是工程核心难题之一。 \(\blacksquare\)

原始来源与后续

下一页：确定性混沌与 Lorenz 模型。从线性增长到饱和，再到多个自由度之间的非线性反馈。