实验 I · 测量、不确定度与模型检验

学习层：读数变成结论，中间漏掉了什么？

1. 具体谜题：为什么“误差更小”可能是算错了？

先用理想单摆模型：质点悬于不可伸长的无质量细线、支点固定、重力均匀，忽略阻尼，并取小摆角。此时用周期测重力加速度的关系是

假设摆长 \(L=1.000\ \mathrm m\)，周期 \(T=2.006\ \mathrm s\)。长度和周期各自有不确定度。如果温度漂移同时影响有效摆长与计时装置，它们可能相关；是否相关及协方差大小需要测量机制或数据支持，不能仅因由同一人测量就默认相关。与此同时，另一组数据看起来大致是一条直线，却在中间残差系统性偏低：这时“斜率很漂亮”是不是足够的证据？

实验要回答四个相连的问题：

1. 输出量是非线性函数时，为什么不能只把百分比误差机械相加？
2. 协方差的符号为什么可能让最终不确定度变小，而不是变大？
3. 约化卡方大于 1 是“数据坏了”，还是在提醒模型、噪声尺度或独立性假设需要检查？
4. 给模型多加一个参数后残差变小，怎样判断那是新物理还是过拟合？

2. 先预测：在揭示数值以前写下因果方向

学习层默认采用 \(L=1.000\ \mathrm m\)、\(T=2.006\ \mathrm s\)、\(\sigma_L=0.005\ \mathrm m\)、\(\sigma_T=0.010\ \mathrm s\)、相关系数 \(\rho=0.60\)。拟合数据为

每个 \(y_i\) 使用 \(\sigma_y=0.12\)。先选择预测：

1. 因为 \(\partial g/\partial L>0\)、\(\partial g/\partial T<0\)，正相关的 \(L,T\) 会让交叉项为正还是为负？
2. 对摆的默认值，保留 \(\rho=0.60\) 与把协方差设为零相比，\(u_g\) 会约为 \(0.079\) 还是 \(0.109\ \mathrm{m/s^2}\)？
3. 若线性模型得到 \(\chi^2/\nu\approx2.32\)，它更像“残差与误差尺度相容”还是“残差有结构/误差模型偏紧”？
4. 增加二次项后 \(\chi^2/\nu\approx0.12\)，这是否自动证明真实规律一定是二次的？

先完成预测再揭示图表。拟合模式初始假设点间不相关；新增的共同相关滑块用于后面的校准误差反例。交互实验分为“传播”与“拟合”两种模式；滑块每次只改变一个输入，帮助你把数值变化归因到公式中的某一项。

3. 从局部线性化开始：不确定度是函数的导数在搬运波动

设测量输入组成向量 \(\boldsymbol{x}\)，输出为 \(q=f(\boldsymbol{x})\)。在均值附近作一阶展开：

取波动乘积的期望，得到输出方差的一阶近似：

\(\Sigma\) 是输入的协方差矩阵，\(\operatorname{Cov}(x_i,x_j)=\rho_{ij}u_i u_j\)。这条公式的机制很具体：每个输入波动先乘以敏感度，再与别的输入波动按相关性相加。有限二阶矩下，独立会使非对角协方差为零；反过来，协方差为零不保证独立。例如 \(X\) 在 \([-1,1]\) 均匀分布时，\(X\) 与 \(X^2\) 不相关，却有确定的非线性关系。线性输出的协方差公式是精确的；非线性输出仍依赖上述近似。

如果函数变化不小、分布强烈偏斜或存在硬边界，一阶近似可能不够。此时可以用二阶展开、Monte Carlo 传播或直接对完整测量模型采样；但 Monte Carlo 也不会替你发现单位错误、相关性遗漏或系统偏差。

4. 摆的例子：符号比“加减误差”更重要

对

默认输入给出

\(\rho=0.60\) 时

而交叉项是

它为负，是因为 \(L\) 增大推高 \(g\)，\(T\) 增大却压低 \(g\)，而正相关让两种效应部分抵消。两个对角方差贡献分别为 \(0.00240622\) 与 \(0.00956740\)，所以

若错误地删掉协方差，得到

“不确定度变小”不等于“人为把误差压小”：前提是相关系数来自可辩护的校准或重复测量。若相关性只是猜的，应该把 \(\rho\) 扫描成敏感性分析，而不是挑一个最有利的值。

还要区分随机不确定度与漏掉的物理修正。对最大摆角 \(0\le\theta_0<\pi\)（弧度；零幅时取小振幅极限），令 \(T_0=2\pi\sqrt{L/g}\)，能量守恒给出

第二步来自 \((1-z)^{-1/2}=1+z/2+O(z^2)\) 与 \(\int_0^{\pi/2}\sin^2\psi\,d\psi=\pi/4\)。若 \(\theta_0=0.20\)，周期约增加 0.25%；仍套小角公式会使 \(g_{\rm naive}/g\approx1-\theta_0^2/8=0.995\)，约低估 0.5%。\(\theta_0\to\pi^-\) 时接近顶端分离轨道，周期发散；上述积分描述往复摆动，不能拿它套转动解。把计时重复一千次也不会自动消除这一模型偏差。实验滑块没有加入这项修正，须先确认小角条件。

5. 模型检查：把残差当作证据，而不是装饰

对模型 \(y_i=f(x_i;\boldsymbol{\theta})\)，拟合后定义

若误差近似独立、零均值、高斯且 \(\sigma_i\) 已知，常用统计量是

\(N\) 是观测点数、\(p\) 是可识别参数数。这里模型须对参数线性、设计矩阵满列秩，误差为已知协方差的高斯噪声，且真实均值属于所拟合模型；此时最小化后的统计量才精确服从自由度 \(N-p\) 的卡方分布。本例的二次模型对参数 \(a,b,c\) 仍然线性。一般非线性拟合只在适当局部近似下使用这一自由度规则；有冗余参数时应按有效秩计算。若数据有相关性且 \(\Sigma_y\) 正定，应写成

协方差奇异时不能直接取逆，须处理精确约束与可识别子空间。

本实验的线性拟合为

其残差从两端偏正、中间偏负，说明问题不只是某一个点偶然偏离：直线的形状没有跟上数据的曲率。加入二次项得到

二次模型确实消除了残差结构，但 \(\chi^2_\nu\ll1\) 也提醒我们：这里是教学数据，\(\sigma_y=0.12\) 可能被设得偏大，或点并非真实独立的随机抽样。卡方不是一枚自动盖章的“真模型”印章；它需要和残差图、独立校验、参数可解释性一起读。

共同校准误差：截距和斜率会受到同样影响吗？

给每个观测加上同一个零点波动 \(b_0\)，再加独立波动 \(\epsilon_i\)：\(y_i=f(x_i)+b_0+\epsilon_i\)。设所有波动均值为零，\(b_0,\epsilon_1,\ldots,\epsilon_N\) 相互独立。若 \(\operatorname{Var}(b_0)=\rho\sigma_y^2\)、\(\operatorname{Var}(\epsilon_i)=(1-\rho)\sigma_y^2\)，则

实验新增的“点间共同相关”控制这一模型，并保持每个点的边缘标准差 \(\sigma_y\) 不变。含截距的多项式设计矩阵记为 \(X\)，令 \(e_0=(1,0,\ldots)^\mathsf T\)。共同平移只改变截距，所以 GLS 的中心估计与本例 OLS 相同，且

截距包含不随重复点数消失的共同零点项；斜率来自点与点之差，共同零点会相消。拟合残差满足 \(\boldsymbol1^\mathsf T r=0\)，故

这说明“忽略正相关一定把所有误差条变小”并不成立：本例固定边缘标准差、增加正相关，会扩大截距标准误，却缩小斜率标准误，同时增大残差卡方。右图显示 \(r_i/[\sigma_y\sqrt{1-\rho}]\)，其平方和等于本模型的卡方；它们仍受拟合约束，不能当成独立标准正态样本。左图误差条始终是每点边缘 \(\pm\sigma_y\)，不会展示全部点间相关性。

6. 误区与失败边界：一个数字不能替代测量模型

• 把标准差、标准不确定度和系统偏差混为一谈。重复测量的散布描述随机项；零点偏移、刻度因子、反应时间等可能是系统项。系统项若有共同来源，通常会产生协方差。
• 把 \(\rho\) 当作随手调的“好看参数”。协方差必须来自共同校准、同步漂移、重复数据或明确的误差模型。未知相关性可以扫描，但不能只报告扫描中最小的结果。
• 把一阶传播用于远离均值的非线性尾部。当输入分布接近零边界、输出是倒数或平方根，线性化可能给出错误的对称区间。应传播完整分布并报告偏斜或上下界。
• 看到 \(\chi^2_\nu\) 接近 1 就宣布模型正确。卡方只是在指定噪声模型下检查相容性；少量数据、参数边界、相关残差和选择效应都会改变解释。
• 用更多参数治疗所有残差。高阶多项式可以在样本点之间摆动，外推却失控。新参数应有物理动机，并用留出数据、重复实验或独立预测验证。
• 把拟合不确定度当作仪器校准的全部不确定度。最小二乘输出通常只传播了给定的 \(\sigma_i\) 和模型内噪声；背景、单位、响应线性和模型选择都要在结论中说明。

7. 迁移任务：先计算，再解释实验决定

题 1：把摆的相关系数从 \(+0.60\) 改为 \(-0.60\)，保持边缘不确定度不变。输出中心值和标准不确定度怎样改变？

题 2：在线性拟合中设共同相关 \(\rho=0.50\)，仍用 \(\sigma_y=0.12\)。中心系数、卡方、截距和斜率的标准误各怎样变？

题 3：最大摆角为 0.20 rad，把计时不确定度减半，能否据此把未修正的 \(g\) 当成无偏估计？