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电磁 III · 场的能量、动量与辐射入门

对标：Griffiths §8、§11 入门 ｜ 前置：em-01/02 本页给"场是实在的"补齐力学证据：场携带能量（Poynting 定理）与动量（辐射压），并回答一个改变世界的问题——加速电荷为什么辐射（Larmor 公式）。这是本科电磁的收官，也是天线、同步辐射与"经典原子必塌缩"悖论（量子力学的引信）的出发点。

可直接复习：Maxwell约束、球面通量、波导与介质。

学习层：先核对 E/B/S 方向，再问远场功率

实验分成两个模式，但共享同一条审计顺序：先确认局部场的方向关系，再确认能流是瞬时还是时间平均，最后才把球面通量解释成辐射功率。脚本采用归一化 \(c=\varepsilon_0=\mu_0=1\)，只为把方向和量纲账看清楚。

1. 平面波：\(\mathbf E\)、\(\mathbf B\)、\(\mathbf k\) 与 Poynting 矢量

对无源真空中的单色线偏振平面波，取同相实峰值振幅，

\[ \mathbf B_0=\frac{1}{c}\hat{\mathbf k}\times\mathbf E_0, \qquad \mathbf S(t)=\frac{\mathbf E(t)\times\mathbf B(t)}{\mu_0}, \qquad \langle\mathbf S\rangle=\frac{\mathbf E_0\times\mathbf B_0}{2\mu_0}. \]

若改用一般复振幅（如椭圆偏振），应写 \(\langle\mathbf S\rangle=\operatorname{Re}(\mathbf E_0\times\mathbf B_0^*)/(2\mu_0)\)。上式的 \(\varepsilon_0,\mu_0,c\) 为真空常数，不能直接代替有材料色散或磁化时的本构与能量账。

所以 \(\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k\)，且 \(\langle\mathbf S\rangle\) 与 \(+\mathbf k\) 同向。瞬时场若写成 \(\cos(\omega t-\mathbf k\cdot\mathbf r)\)，瞬时 \(\mathbf S\) 还带 \(\cos^2\)；相位为 \(\pi/2\) 的某一时刻可以有瞬时能流为零，但一个周期平均的能流仍非零。反向 \(\mathbf B\) 即使偶然保留 \(|E|/(c|B|)=1\)，也会把能流翻向 \(-\mathbf k\)，不能只验振幅比。

2. 短电偶极：角分布与三个空间区域

令点偶极源 \(\mathbf p(t)=p_0\cos(\omega t)\hat{\mathbf z}\)，且源尺寸远小于波长、运动非相对论。辐射区的远场满足

\[ \frac{dP}{d\Omega}=\frac{p_0^2\omega^4}{32\pi^2\varepsilon_0c^3}\sin^2\theta, \qquad P_{\rm rad}=\frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

沿偶极轴 \(\theta=0\) 不辐射，赤道面最强；积分 \(\int\sin^2\theta\,d\Omega=8\pi/3\) 才得到总功率。这个 \(P\propto\omega^4\) 只在固定 \(p_0\)、短偶极、非相对论、谐稳态这些条件同时成立时使用，不能推出笼统的“频率越高，任意短波天线越高效”。真实天线效率还受尺寸与波长的比例、阻抗匹配、导体损耗、介质损耗、馈电和带宽影响。

区域也必须分账：源本身的有限尺寸与电流分布不由点偶极远场式解决；源附近 \(kr\ll1\) 有 \(1/r^3\)、\(1/r^2\) 的近场/反应性项，能量可以在场和源之间往返；辐射区 \(kr\gg1\) 才由 \(1/r\) 项主导，可以直接用纯远场近似计算功率；\(kr\approx1\) 是过渡区，不能硬套纯远场方向图。

3. 预测门与静态后备

先回答当前模式的能流方向、偶极轴向节点、可以读取净辐射的区域和 \(\omega\) 幂律。提交前不显示方向图、数值或账本；切换模式、预设、相位、观察角或 \(kr\) 会重新上锁。

无 JavaScript 时的静态读法：默认平面波取 \(\mathbf E=\hat x\)、\(\mathbf B=\hat y\)、\(\mathbf k=\hat z\)，因此 \(\mathbf E\times\mathbf B=+\hat z\)，周期平均值比相应峰值小一半。偶极默认 \(\theta=60^\circ\)、\(kr=8\)，已进入本实验的辐射区教学阈值；\(\sin^2\theta=3/4\)，但轴向 \(\theta=0\) 的功率为零。下面的账本明确写出近场不能直接当净辐射。

对象 解析读数 条件/边界
正确平面波 \(\mathbf B=\hat k\times\mathbf E/c\)，\(\langle\mathbf S\rangle\parallel+\mathbf k\) 无源平面波；时间平均取一个完整周期
\(B\) 反向预设 \(\lvert E\rvert/(c\lvert B\rvert)\) 可仍为 1，但 \(\mathbf E\times\mathbf B\parallel-\mathbf k\) 方向账失败，不能用振幅比掩盖
偶极方向图 \(dP/d\Omega\propto\sin^2\theta\)，\(P_{\rm rad}=p_0^2\omega^4/(12\pi\varepsilon_0c^3)\) 固定 \(p_0\)、短偶极、非相对论、谐稳态
近场/源附近 \(1/r^3,1/r^2\) 项可见，能量可返回源 不把瞬时 \(S\) 或局部储能全叫作辐射功率
辐射区 \(1/r\) 项主导，\(\langle\mathbf S\rangle\simeq\langle S_r\rangle\hat r\) \(kr\gg1\)，可直接用纯远场项近似球面净通量

微波炉和手机的频率例子也不能被压成“频率高/低”的二分：微波炉主要涉及金属腔体、门缝/网孔的电磁屏蔽和波导截止，以及食物材料的介电损耗；手机能否穿墙还取决于波长相对孔隙的尺度、墙体介电常数与电导率造成的反射/吸收、天线和链路预算。它们不是由本节的点偶极 \(\omega^4\) 式单独决定的。

静态读法提示：脚本失效时，先按右手定则检查 E/B/S，再检查源尺寸、\(kr\) 区域和时间平均条件，最后使用偶极角分布与功率式；不要把近场反应性能量或真实天线效率混入远场 \(P_{\rm rad}\)。

4. 迁移：近场球面不能算周期平均功率吗？

取包住全部源的两个同心球面，其间是真空无源壳层，系统已进入周期稳态。较小球面可以满足 \(kr<1\)。完整场的两个球面周期平均净通量相等吗？再比较波长450 nm与650 nm在相同极化率近似下的Rayleigh散射强度。

核对闭合面的平均能量账

由 Feynman场能守恒推导 的局部定理对壳层积分：\(dU_{\mathrm{shell}}/dt+\Phi_{\mathrm{out}}-\Phi_{\mathrm{in}}=0\)。完整周期后场能恢复，故 \(\langle\Phi_{\mathrm{out}}\rangle=\langle\Phi_{\mathrm{in}}\rangle\)，并不要求内球面处于远场。不能做的是把近场的瞬时局部能流或储能一概当净辐射，或直接删掉近场项。实验实际保留点偶极的 \(1/r^3,1/r^2,1/r\) 场，因而可验 \(r^2\langle S_r\rangle=dP/d\Omega\) 在不同半径一致；辐射轴附近主导远场项为零，有限kr的相对远场误差不一定小。

波长例的比值是 \((650/450)^4\approx4.35\)，不是16；还需固定入射强度并保留短散射体、远离共振和极化率近似不变的条件。

1. Poynting 定理：场的能量记账

真空场的定理【推导】 从 Lorentz 力对电荷做功率 \(\mathbf J\cdot\mathbf E\) 出发，用 Ampère–Maxwell 消 \(\mathbf J\)、矢量恒等式 \(\nabla\cdot(\mathbf E\times\mathbf B) = \mathbf B\cdot(\nabla\times\mathbf E) - \mathbf E\cdot(\nabla\times\mathbf B)\) 与 Faraday：

\[ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf S = -\mathbf J\cdot\mathbf E, \qquad u = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}, \quad \mathbf S = \frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0} \]

读法：连续性方程（与电荷守恒同型——"守恒律的标准长相"：密度 + 流 + 源汇）：\(u\) = 场的能量密度、\(\mathbf S\)（Poynting 矢量）= 能流密度、右端 = 场与物质的能量交换。能量在场中流动：给电阻供能的能量从导线侧面的场流入（算例经典【引用 Griffiths §8.1】）——颠覆"能量在电线里跑"的直觉。

2. 场的动量与辐射压

场还带动量：\(\mathbf g = \varepsilon_0\,\mathbf E\times\mathbf B = \frac{\mathbf S}{c^2}\)（动量密度）【骨架】（对 Lorentz 力密度做与 §1 平行的记账，应力张量 \(T_{ij}\) 携带动量流【引用 §8.2】）。

辐射压：真空平面波法向入射到完全吸收面时 \(P = \frac{I}{c}\)（理想镜面完全反射加倍）——阳光 \(\sim 5\ \mu\mathrm{Pa}\)：微小但真实（彗尾方向、太阳帆、光镊的原理——光镊已是诺奖级实验室日常）。光子语言预告：\(E = pc\) 的经典对应（sr-01 四动量、atom-01 光电效应两处收线）。

3. 辐射：加速电荷发光

偶极辐射角分布

图 3.1偶极辐射的角分布 \(\propto\sin^2\theta\)：沿振荡轴方向不辐射、垂直方向最强——天线方向图的物理原型。

物理图像：匀速电荷的场"跟着走"（无辐射——洛伦兹变换到静止系即静电场，sr-01 呼应）；加速时场线来不及调整，"扭结"以光速向外传播——这圈扭结就是辐射（Thomson 的图像论证：扭结区场的横向分量 \(\propto \frac{1}{r}\) 而非静电的 \(\frac{1}{r^2}\)——只有 \(\frac1r\) 场能把能量带到无穷远：\(S \propto E^2 \propto \frac{1}{r^2}\) 乘以球面 \(r^2\) 不衰减）。

Larmor 公式【骨架】（非相对论）：

\[ P = \frac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3} \]

（量纲 + \(\frac1r\) 场论证定形，系数由偶极辐射的角分布积分——完整推导在 ced-02 推迟势之后。）辐射功率 \(\propto\) 加速度平方。

三个立即的物理：

4. 练习与要点

例 1（Poynting 流向亲算） 充电中的平板电容：\(\mathbf E\) 轴向增长、边缘 \(\mathbf B\) 环向（位移电流的 Ampère 环）⇒ \(\mathbf S = \frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}\) 指向内部——能量从侧面流入填充场能 \(\frac{\varepsilon_0E^2}{2}\)，记账严丝合缝（做一遍这道题，场的实在感落地）。

例 2（辐射压数量级） 100 kW 激光聚焦 1 g 反射帆：\(F = \frac{2P}{c} \approx 0.67\ \mathrm{mN}\)，\(a \approx 0.67\ \mathrm{m/s^2}\)——激光推进的可行性一算便知（突破摄星计划的物理底账）。

例 3（频率、屏蔽与材料的综合判断） 微波炉的“辐射不逃逸”主要由金属腔体、门缝/网孔的尺度与波导截止、以及门封结构决定；手机穿墙则要同时看波长相对墙体孔隙的尺度、墙体的介电常数与电导率引起的反射/吸收、天线和链路预算。不能把二者归结为一个 \(\omega^4\) 幂律或“高频必被网孔挡住、低频必穿透”的二分。\(\blacksquare\)

下一页把能流带入介质和金属波导，检查边界、截止与群速度。