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宇宙学 II · 热历史、复合与 CMB 的声学标尺

前置：FRW 与距离、量子统计、化学平衡与简谐振动。目标：由分布计算热浴，由反应速率判断平衡能否维持，最后把声波的长度换成天空中的角尺度。

宇宙降温时，三件事不会同时发生：粒子的平衡组成改变，反应追不上膨胀，光子最后一次散射。本页把它们拆开计算，再解释为什么“氢的结合能是 13.6 eV”不意味着宇宙就在这个温度变透明。

学习层：沿温度轴，追问谁还在交换能量

1. 先认清三种问题

问题 本页可以计算什么 还不能据此宣称什么
反应比膨胀快多少？ 局部幂律 Γ/H = Cx^(m−n) 的方向与交点 最终元素或暗物质丰度
电子正电子湮灭后，热量去哪了？ 理想热浴的能量、压强、熵及瞬时解耦温度比 精确标准模型中微子谱与 Neff
指定温度和密度，氢在平衡时有多少电离？ 纯氢 Saha 平衡的自由电子与中性氢分数 真实最后散射的时刻与宽度

这里的温度输入以能量标注：例如“0.1 MeV”表示 \(k_BT=0.1\ {\rm MeV}\)，不是 0.1 K。推导中用 \(\Theta=k_BT\) 避免混淆；热浴的无量纲积分暂取 \(\hbar=c=k_B=1\)。本页 \(\varepsilon\) 是能量密度，与上一页用作质量等效密度的 \(\rho\) 相差 \(c^2\)。

2. 实验：每次只改变一个机制

先作四个预测，再揭示。速率模式先把 \(C\) 从1改成8，看交点移动；热浴模式从 \(T_D\) 向低温走，看光子与中微子分温；Saha 模式保持温度不变，仅改变氢核/光子比，观察平衡向哪边移动。

无需 JavaScript 的静态账本。 速率默认 m=5、n=2、C=1；热浴取 TD=2 MeV、当前 Tγ=0.1 MeV；纯氢取 kBT=0.3 eV、η=6×10⁻¹⁰。这些是教学输入。

量 数值或状态 含义
默认速率：x=0.5 时 Γ/H 0.125 反应相对膨胀较慢
C 改成8后的交点 x 0.5 交点随归一化移动
m=n=2、C=2 无孤立交点 整条比值为2，不是整条等于1
热浴 gρ 2.518856915 能量自由度
热浴 gs 2.445464572 熵自由度
Tν/Tγ 0.7643940797 有限 TD 的理想气体模型
a/aD 26.16451452 热浴共动熵守恒
Saha Xe 0.1311869994 平衡自由电子比例
Saha 中性氢分数 0.8688130006 并非最后散射概率
2.7255 K 黑体光子数 / cm⁻³ 410.7268483 参考温度的分布积分
150 Mpc / 14 Gpc 的 ℓA 293.2153143 声学尺度，不能直接称第一峰

速率交点只比较两个时间尺度。热浴假设理想的光子、电子、正电子，电子化学势为零，中微子在 TD 瞬时解耦。Saha 假设纯氢、非相对论稀薄气体、基态原子和平衡辐射；没有把平衡分数变成真实散射时刻。

3. 怎样从图走到计算

所有横轴都向右升温，因此冷却要向左读。速率图用双对数坐标，斜率就是 \(m-n\)；热浴的两条自由度曲线来自不同的相空间积分；Saha 的第二幅图放大微小中性分数，避免把“数值很接近完全电离”看成“中性氢严格为零”。

交互账本列出全部曲线节点；热浴还列出当前积分的每个细分面板。参数非法时保留输入并提示原因。图表采用可聚焦的横向滚动区，手机上可以横向查看完整坐标和表格。

热历史的四个计算视角：速率交点、能量与熵自由度、光子中微子温度分离，以及 Saha 平衡组成。

图 cosmo-02.1这些曲线来自本页定义的模型，横轴都向右升温。图中的平衡组成不是最后散射概率；电子湮灭模式也没有输出核素丰度。

1. 为什么光子能一直保持黑体形状？

1.1 从占据数算到今天的光子数

各向同性黑体的单态占据数是 \(f(p)=[e^{pc/\Theta}-1]^{-1}\)。光子有两个偏振态；每单位体积、每个动量体积的量子态数为 \(2/(2\pi\hbar)^3\)。于是

\[ n_\gamma=\frac{2}{(2\pi\hbar)^3}4\pi \int_0^\infty p^2 f(p)\,dp =\frac{\Theta^3}{\pi^2(\hbar c)^3} \int_0^\infty\frac{q^2\,dq}{e^q-1}. \]

为什么最后的积分是 \(2\zeta(3)\)？把分布展开为 \(\sum_{j=1}^{\infty}e^{-jq}\)，每项非负，可以交换求和与积分；再用两次分部积分：

\[ \int_0^\infty q^2e^{-jq}dq=\frac{2}{j^3} \quad\Longrightarrow\quad n_\gamma=\frac{2\zeta(3)}{\pi^2} \left(\frac{\Theta}{\hbar c}\right)^3. \]

能量密度多乘一个 \(pc\)，相应积分为 \(6\zeta(4)=\pi^4/15\)，所以

\[ \varepsilon_\gamma=\frac{\pi^2}{15} \frac{\Theta^4}{(\hbar c)^3},\qquad P_\gamma=\varepsilon_\gamma/3. \]

把参考温度 \(T_0=2.7255\ {\rm K}\)、\(k_B=8.617333262\times10^{-5}\ {\rm eV/K}\)、\(\hbar c=1.973269804\times10^{-7}\ {\rm eV\,m}\) 代入，得到 \(n_\gamma\simeq410.727\ {\rm cm}^{-3}\)。这是一项黑体参考计算；温度测量及其不确定度见 PDG 2025 CMB 综述 §29.3.1，不是本页重新拟合的数据。

1.2 自由传播不要求宇宙由辐射主导

均匀 FRW 中，自由无质量粒子的动量满足 \(pa=\text{常数}\)。若在 \(a_i\) 时是温度 \(T_i\) 的黑体，沿相空间轨道占据数不变：

\[ f(p,a)=\frac{1}{\exp[pc\,a/(k_BT_i a_i)]-1}. \]

它仍是黑体，温度为 \(T=T_i a_i/a\)。推导只用红移和无碰撞传播，没有要求辐射主导。因此在物质主导期，CMB 背景同样可以按 \(a^{-1}\) 降温。

不过，与别的粒子持续交换熵的光子热浴不能无条件套用这条降温律。下面的电子正电子湮灭就是反例。

2. 从能量守恒到熵自由度

2.1 守恒的是哪个热浴？

对封闭、可逆、化学势可忽略的平衡热浴，热力学第一定律与 FRW 能量守恒给出

\[ T\,d(sa^3)=d(\varepsilon a^3)+P\,d(a^3)=0. \]

定义两种有效自由度（此处自然单位制）：

\[ \varepsilon=\frac{\pi^2}{30}g_\rho(T)T^4,\qquad s=\frac{\varepsilon+P}{T} =\frac{2\pi^2}{45}g_s(T)T^3. \]

因此 \(g_s T^3a^3=\text{常数}\)，或

\[ T a\,g_s^{1/3}=\text{常数}. \]

\(g_\rho\) 控制能量密度，\(g_s\) 控制熵。全部粒子都极端相对论且同温时，两者相同；跨越质量阈值时，不能混用。若使用 Friedmann 方程，需要把全部组分的能量密度加起来，而不仅是这里展示的光子电子热浴。

2.2 电子质量怎样进入积分？

令 \(y=m_e/T\)、\(q=p/T\)、\(E_q=\sqrt{q^2+y^2}\)。电子与正电子合计 \(g_e=4\)，取化学势为零，费米分布为 \((e^{E_q}+1)^{-1}\)。由相空间计数与各向同性动量通量可得

\[ I_\rho(y)=\int_0^\infty\frac{q^2E_q}{e^{E_q}+1}\,dq,\qquad I_P(y)=\int_0^\infty\frac{q^4/E_q}{e^{E_q}+1}\,dq, \]
\[ \varepsilon_e=\frac{g_e T^4}{2\pi^2}I_\rho,\qquad P_e=\frac{g_e T^4}{6\pi^2}I_P. \]

压强中的 \(p^2/(3E)\) 来自每个方向平均的动量通量；它在非相对论极限下降，所以不应一直用 \(P_e=\varepsilon_e/3\)。与上面的定义比较：

\[ g_{\rho,e}=\frac{15g_e}{\pi^4}I_\rho,\qquad g_{s,e}=\frac{45g_e}{4\pi^4} \left(I_\rho+\frac{I_P}{3}\right). \]

加上光子的2就是实验中的总 \(g_\rho,g_s\)。高温质量可忽略时，两者都趋近 \(2+(7/8)\times4=11/2\)；低温时电子正电子成对贡献受抑制，热浴趋近只有光子的2。这里忽略重子电荷中和所需的微小残余电子，故低温的成对贡献不代表真实宇宙全部电子数。

2.3 数值积分怎样知道自己漏了多少？

实验积分到 \(Q=80\)，不是把无限尾项宣称为零。因为 \(E_q\ge q\)、\(E_q\le q+y\)，且 \((e^{E_q}+1)^{-1}\le e^{-q}\)，所以

\[ 0\le \int_Q^\infty f_\rho(q)\,dq \le e^{-Q}\!\left[Q^3+3Q^2+6Q+6 +y(Q^2+2Q+2)\right], \]
\[ 0\le \int_Q^\infty f_P(q)\,dq \le e^{-Q}(Q^3+3Q^2+6Q+6). \]

有限区间用自适应 Simpson；账本分别保留数值误差估计与上述尾界。前者是收敛诊断，后者是解析不等式，不能把两者合称为严格数值证书。极低温电子项小于绝对容差时，只承诺整体热浴的绝对精度，不承诺该微小电子项的相对精度。

3. 中微子为什么比光子冷？

把中微子视为无质量，并假设它们在温度 \(T_D\) 瞬时停止与电子光子热浴交换能量。解耦之后，两部分分别满足

\[ T_\nu a=T_Da_D,\qquad g_s(T_\gamma)T_\gamma^3a^3=g_s(T_D)T_D^3a_D^3. \]

相除便得到实验使用的两个式子：

\[ \frac{T_\nu}{T_\gamma} =\left[\frac{g_s(T_\gamma)}{g_s(T_D)}\right]^{1/3}, \qquad \frac{a}{a_D} =\frac{T_D}{T_\gamma} \left[\frac{g_s(T_D)}{g_s(T_\gamma)}\right]^{1/3}. \]

电子湮灭把熵留给仍耦合的光子热浴，使光子相对于自由红移的中微子更热。两者的温度依然随膨胀降低；“光子被加热”是相对于没有这项熵转移的轨迹，并非温度突然无条件跳升。

若解耦时电子充分相对论，而比较时电子正电子已充分湮灭，才进一步得到熟悉的极限

\[ \frac{T_\nu}{T_\gamma}=\left(\frac4{11}\right)^{1/3} \simeq0.713766. \]

实验的 \(T_D=2\ {\rm MeV}\) 有有限电子质量修正，因此它的低温终值略有不同；这仍只是瞬时解耦理想气体模型。真实中微子解耦是连续过程，精密计算还涉及碰撞项、振荡、谱畸变与有限温 QED，不能给本图贴上精确标准模型 \(N_{\rm eff}\) 的标签。

4. 反应何时追不上膨胀？

4.1 两只钟，外加一个系数

反应时间为 \(t_{\rm int}=1/\Gamma\)，背景变化时间约为 \(H^{-1}\)。只有相关的能量或粒子数交换足够快，局部平衡假设才有依据；总散射次数多，并不保证每一种化学反应都达到平衡。

用任意参考温度 \(T_{\rm ref}\) 定义 \(x=T/T_{\rm ref}\)，在一段幂律近似内写

\[ \frac{\Gamma}{H}=Cx^{m-n},\qquad \frac{d\ln(\Gamma/H)}{d\ln T}=m-n. \]

冷却是 \(x\) 下降。\(m>n\) 时比值下降；\(m<n\) 时比值上升，可能朝重新耦合方向发展。\(m=n\) 时比值固定为 \(C\)，只有 \(C=1\) 才整条相等。

对 \(m\ne n\)，速率相等的位置是

\[ \ln x_{\rm cross}=-\frac{\ln C}{m-n}. \]

交点在绘图窗口外仍然是交点；斜率非常小时，\(x_{\rm cross}\) 可能超出浮点可表示范围，但不能据此说没有交点。这里的参考温度也不能预先被命名为“真实冻结温度”。

4.2 为什么速率交点不是丰度开关？

即便采用简单松弛模型

\[ \dot Y=-\Gamma(t)[Y-Y_{\rm eq}(t)], \]

积分因子也给出

\[ Y(t)=Y(t_i)e^{-\int_{t_i}^t\Gamma(s)ds} +\int_{t_i}^t\Gamma(u)Y_{\rm eq}(u) e^{-\int_u^t\Gamma(s)ds}\,du. \]

结果依赖整个历史和初值，而不只依赖某一点 \(\Gamma=H\)。真实反应网络还会包含多种丰度、逆反应、粒子衰变及非线性碰撞项。这解释了为什么本页的速率实验没有“最终丰度”按钮。

4.3 用 BBN 练习粒子计数

在忽略相关化学势和小质量前因子修正的平衡近似下，中子/质子数比为

\[ r_{\rm eq}\simeq e^{-Q/\Theta},\qquad Q=1.293\ {\rm MeV}. \]

若指定 \(\Theta=0.8\ {\rm MeV}\)，算术结果是 \(e^{-1.293/0.8}\simeq0.1986\)，约 \(1/5\)，不是 \(1/6\)。这只是一个平衡点值；它不能代替持续弱反应和中子衰变的演化。

氘虽有约 2.2 MeV 结合能，却要等到更低温才大量存活，因为每个重子对应大量光子，黑体的高能尾仍能拆散氘。形成稳定的氘后，后续核反应才较有效地把中子并入氦。BBN 的反应网络、输入依赖及锂问题参见 PDG 2025 BBN 综述；不能把氘、氦的成功比较直接推广成所有核素都一致。

若给定核合成开始时有 \(N_n\) 个中子、\(N_p\) 个质子，并假设所有中子最后进入氦-4，则 \(N_{\rm He}=N_n/2\)。氦中的重子数占比因此为

\[ Y_4=\frac{4N_{\rm He}}{N_n+N_p} =\frac{2r}{1+r},\qquad r=N_n/N_p. \]

给定 \(r=1/7\) 才得到 \(Y_4=1/4\)。称它“质量分数”还使用了核子质量近似相等并忽略结合能的近似。公式解释约四分之一的来源，实际 \(r\) 必须由热历史和反应网络求得。

5. Saha 方程：先算平衡组成

5.1 化学势怎样消掉？

考虑 \(p+e\rightleftharpoons {\rm H}+\gamma\)。以非相对论、稀薄 Maxwell–Boltzmann 气体近似每种有质量粒子：

\[ n_i=g_i\left(\frac{m_i\Theta}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} \exp\!\left(\frac{\mu_i-m_ic^2}{\Theta}\right). \]

平衡黑体取 \(\mu_\gamma=0\)，反应平衡要求 \(\mu_p+\mu_e=\mu_{\rm H}\)。氢基态忽略超精细分裂时 \(g_p=g_e=2,g_{\rm H}=4\)，简并度比是1。把三种数密度相除，化学势抵消；指数中的质量差给出结合能 \(B=(m_p+m_e-m_{\rm H})c^2\)。只在前因子中近似 \(m_{\rm H}\simeq m_p\)，得到

\[ \frac{n_p n_e}{n_{\rm H}} =\left(\frac{m_e\Theta}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2} e^{-B/\Theta}. \]

注意 \(n_{\rm H}\) 表示中性原子，不是所有氢核。为避免混淆，设氢核总数密度 \(n_{\rm H,tot}=n_p+n_{\rm H}\)，纯氢电中性给出 \(n_e=n_p\)。定义

\[ X_e=\frac{n_e}{n_{\rm H,tot}},\qquad \eta_H=\frac{n_{\rm H,tot}}{n_\gamma}. \]

实验把 \(\eta_H\) 简写为 \(\eta\)；有氦时，它不能不加区分地当成总重子/光子比。最终

\[ \frac{X_e^2}{1-X_e}=S,\qquad \ln S=-\ln\eta_H-\ln\frac{2\zeta(3)}{\pi^2} +\frac32\ln\frac{m_ec^2}{2\pi\Theta}-\frac B\Theta. \]

温度为结合能量级时，极小的 \(\eta_H\) 使 \(S\) 很大，平衡仍高度电离。要让指数项压过这些前因子，必须继续降温。

5.2 稳定地求二次根

二次方程是 \(X_e^2+SX_e-S=0\)。物理根为正，另一个根为负。直接计算 \([\sqrt{S^2+4S}-S]/2\) 会在大 \(S\) 时相减丢精度；有理化后

\[ X_e=\frac{2}{1+\sqrt{1+4/S}},\qquad 1-X_e=\frac{4/S}{[1+\sqrt{1+4/S}]^2}. \]

第二式独立保存微小中性分数，避免先把 \(X_e\) 四舍五入为1再相减。计算时使用它的等价形式 \(1/[1+S/2+\sqrt{S}\sqrt{S+4}/2]\)，也避免低温端舍入出略大于1的分数。实验使用 \(m_ec^2=510998.95\ {\rm eV},B=13.6\ {\rm eV}\)；这些精度足够支持本页的教学近似，不代表精密原子重组模型。

在 \(\Theta=0.3\ {\rm eV},\eta_H=6\times10^{-10}\) 时，\(\ln S\simeq-3.92164\)，\(X_e\simeq0.131187\)。这个答案说的是“若保持平衡，组成如何”，不是“此刻必然最后散射”。

6. 从复合走到最后散射，还差什么？

真实宇宙中，直接复合到基态释放的光子可能再电离另一原子；有效净复合涉及激发态、双光子跃迁以及谱线光子的逃逸。因此必须求随时间变化的原子能级与辐射输运，而非处处强制满足 Saha。可沿 Tong 热宇宙讲义 §2.3 继续读这条机制线；本页保留了平衡近似与动力学的区别。

四个常混用的词，可以用不同的量来定义：

名称 对应的问题
复合 自由电子逐渐进入原子，电离分数如何演化？
光子退耦 光子与带电物质交换动量的效率何时变低？
最后散射 今天收到的光子最后一次散射发生在何时？
再电离 后来的天体辐射如何重新产生自由电子，并带来额外散射？

Thomson 散射的局部率为 \(\Gamma_T=n_e\sigma_Tc\)。更直接描述“此后还会不会散射”的是光学深度：

\[ \tau(t)=\int_t^{t_0}n_e(t')\sigma_Tc\,dt', \qquad P_{\rm survive}(t)=e^{-\tau(t)}. \]

令共形时间 \(u\) 满足 \(du=dt/a\)。每单位 \(u\) 的最后散射概率密度为

\[ g(u)=a(u)n_e(u)\sigma_Tc\,e^{-\tau(u)} =\frac{d}{du}e^{-\tau(u)}. \]

从很早时刻积分到今天得到 \(1-e^{-\tau_{\rm early}}\)；早期足够不透明时近似为1。\(g\) 的峰和宽度才描述主要最后散射时期。它不是把某个固定 \(X_e\) 阈值画成竖线，也不是无厚度的瞬间快门。再电离会改写后期的光学深度，仍有部分 CMB 光子再次散射。

7. CMB 声学峰：先定义尺子，再解释峰

7.1 光子压强与重子惯性

紧耦合时，光子、电子与重子近似共用速度。光子提供主要压强，重子增加惯性。令

\[ R_b=\frac{3\varepsilon_b}{4\varepsilon_\gamma}. \]

绝热扰动满足 \(\delta\varepsilon_b/\varepsilon_b=(3/4)\delta\varepsilon_\gamma/\varepsilon_\gamma\)，于是 \(\delta P=\delta\varepsilon_\gamma/3\)，总能量扰动为 \((1+R_b)\delta\varepsilon_\gamma\)。恢复光速：

\[ c_s^2=c^2\frac{\delta P}{\delta\varepsilon} =\frac{c^2}{3(1+R_b)}. \]

重子越多，声速越小。最后散射前，声音能传播的共动距离是

\[ r_s^{\rm com}(t_*)=\int_0^{t_*}\frac{c_s(t)}{a(t)}\,dt. \]

积分要求给定早期热历史；下限是所用热大爆炸模型的早期端点，并非宣称本页已推导出暴胀前后全部历史。

7.2 一个保留条件的振子推导

为了隔离机制，暂取 \(c=1\)、恒定 \(R_b\)、静态引力势 \(\Psi\)，忽略该时间段的背景阻尼与扩散。令 \(\Theta_0\) 为光子温度单极扰动，\(v\) 为按下式约定符号的共同速度模；连续性与 Euler 方程简化为

\[ \Theta_0'=-\frac{k}{3}v,\qquad v'=k\left[\frac{\Theta_0}{1+R_b}+\Psi\right], \]

其中撇号表示共形时间导数。联立：

\[ \Theta_0''+k^2c_s^2\Theta_0=-\frac{k^2}{3}\Psi. \]

平衡位置是 \(-(1+R_b)\Psi\)。令 \(D=\Theta_0+(1+R_b)\Psi\)，则 \(D''+k^2c_s^2D=0\)。若初始速度为零，\(D=A\cos(kr_s)\)；若初始速度非零，还要加正弦项。因此峰列的相位依赖初始条件，不能只由一把尺子决定。

温度信号还含引力红移：在这个简化模型中 \(\Theta_0+\Psi=D-R_b\Psi\)。重子改变振荡零点，从而改变压缩与稀疏时的振幅。真实引力势随时间变化会驱动振荡；扩散、速度的 Doppler 信号和有限最后散射宽度也要加入。机制可对照 Hu 的声学讲义；这里的简化振子不是完整的 \(C_\ell\) 计算器。

7.3 两种距离约定不能混着除

设到最后散射面的横向共动距离为 \(D_M\)，角直径距离为 \(D_A=a_*D_M\)；物理声学长度为 \(r_s^{\rm phys}=a_*r_s^{\rm com}\)。一致的角尺度是

\[ \theta_*=\frac{r_s^{\rm com}}{D_M} =\frac{r_s^{\rm phys}}{D_A}, \qquad \ell_A\equiv\frac{\pi}{\theta_*}. \]

不能把以共动 Mpc 给出的 \(r_s\) 直接除以物理角直径距离。平坦模型中 \(D_M=D_C\)；有曲率时需按上一页的横向几何重新计算。

在理想余弦驻波中，振幅极值满足 \(kr_s=j\pi\)。薄壳、小角度的尺度估计给出 \(\ell\sim kD_M\)，因此 \(\ell_A\) 描述基本峰间隔的尺度。完整投影含球 Bessel 函数，第一温度峰还受相位与引力驱动影响，通常不在严格的 \(\ell_A\) 上。Hu–Dodelson 综述的参数敏感性一节 明确区分声学尺度、峰间隔与第一峰相位；其中历史数据数值不作为本课的当前观测输入。

若给定共动 \(r_s=150\ {\rm Mpc}\)、\(D_M=14\,000\ {\rm Mpc}\)，则

\[ \theta_*=0.0107142857\ {\rm rad} \simeq0.613883^\circ,\qquad \ell_A=293.215314. \]

这个除法得不到220。 第一 TT 峰常见的约220位置来自完整温度谱及其模型，不应通过错误算术或人为塞入一个未经推导的相位因子来制造。反过来，只测一个峰也不足以单独确定曲率；声学视界、距离、组分与初始条件共同参与。

8. 四道练习：把条件也写进答案

练习一：热浴的熵账与费米权重

假设中微子在电子充分相对论时瞬时解耦。求电子湮灭后的温度比；再求每一味中微子加反中微子的数密度与光子数密度之比。为什么数密度不能用 \(7/8\)？

展开完整推导：同一个分布，不同的动量权重

光子电子热浴的熵自由度从 \(11/2\) 变成2，而中微子保持 \(aT_\nu\) 不变。两份熵守恒相除：

\[ \left(\frac{T_\nu}{T_\gamma}\right)^3=\frac{2}{11/2}=\frac4{11}. \]

费米分布的恒等式

\[ \frac1{e^q+1}=\frac1{e^q-1}-\frac2{e^{2q}-1} \]

意味着对 \(q^j\) 加权的积分，费米值是玻色值的 \(1-2^{-j}\) 倍。数密度用 \(j=2\)，所以是 \(3/4\)；能量密度用 \(j=3\)，才是 \(7/8\)。

一味中微子加反中微子取两个相对论螺旋度态，与光子的两个偏振态相抵：

\[ \frac{n_{\nu_i+\bar\nu_i}}{n_\gamma} =\frac34\left(\frac{T_\nu}{T_\gamma}\right)^3 =\frac3{11}. \]

对 \(N_\nu\) 个这样的无质量味，

\[ \frac{\varepsilon_\nu}{\varepsilon_\gamma} =\frac78N_\nu\left(\frac4{11}\right)^{4/3}. \]

若中微子后来变为非相对论，能量不再按这个 \(T_\nu^4\) 公式计算；若解耦不瞬时，也要重新处理谱和温度约定。实验有限 TD 的温度比则应使用实际积分算出的 \(g_s(T_D)\)。

练习二：归一化与氦的四分之一

令 \(\Gamma/H=Cx^3\)。把 \(C\) 从1改为8，交点怎样移动？另给定核合成开始时 \(r=1/7\)，推导氦-4 的重子数分数，并说明两步计算之间还缺什么。

展开完整推导：一条速率曲线与一张粒子账

速率相等要求 \(Cx^3=1\)，故 \(x=C^{-1/3}\)。当 \(C=1\) 时交点为1；当 \(C=8\) 时交点为 \(1/2\)。反应整体更快，因此在同一冷却轨迹上要走到更低温才到达速率相等处。

用7个质子、1个中子作为计数比例，总共8个重子。放大到14个质子、2个中子，就能组成1个氦-4，另剩12个自由质子。氦含4个重子，总数16，所以占 \(4/16=1/4\)。一般式是

\[ \frac{4(N_n/2)}{N_n+N_p}=\frac{2r}{1+r}. \]

但第一步并没有算出第二步所需的 \(r\)。如果只在指定的0.8 MeV 处套平衡公式，会得到 \(r\simeq0.1986\)，不能直接写成 \(1/7\)。其间仍要计算残余弱反应、中子衰变、膨胀史以及氘形成后的一系列核反应。

连只有自由中子衰变的简化情况，也应把衰变产生的质子计入分母：若最初比值为 \(r_i\)，经过时间 \(\Delta t\)，

\[ r(\Delta t)= \frac{r_i e^{-\Delta t/\tau_n}} {1+r_i(1-e^{-\Delta t/\tau_n})}, \]

而不只是把 \(r_i\) 乘一个指数。这仍不是完整 BBN 演化。

练习三：13.6 eV 为什么不是“变透明温度”？

在本页纯氢模型中取 \(\eta_H=6\times10^{-10}\)，比较 \(\Theta=13.6\ {\rm eV}\) 与 \(0.3\ {\rm eV}\) 的平衡组成。若固定温度而增大氢核/光子比，\(X_e\) 如何改变？

展开完整推导：密度前因子与稳定二次根

先计算

\[ \ln S=-\ln(6\times10^{-10}) -\ln\frac{2\zeta(3)}{\pi^2} +\frac32\ln\frac{510998.95}{2\pi\Theta} -\frac{13.6}{\Theta}. \]

在13.6 eV 时，ln S ≈ 34.690634，Xe ≈ 0.9999999999999991；中性分数约为 8.59111×10⁻¹⁶，仍应保留为非零数。在0.3 eV 时，\(\ln S=-3.92163563\)，所以 \(S\simeq0.0198087\)，用稳定根算得

\[ X_e\simeq0.131187,\qquad 1-X_e\simeq0.868813. \]

这不只是比较温度与结合能：每个氢核对应大量光子，密度前因子也参与平衡。

固定温度时 \(S\propto\eta_H^{-1}\)。函数 \(F(X)=X^2/(1-X)\) 在 \(0<X<1\) 上满足

\[ F'(X)=\frac{X(2-X)}{(1-X)^2}>0. \]

增加 \(\eta_H\) 会降低 \(S\)，因而降低 \(X_e\)，平衡更偏向中性原子。没有这一步密度信息，只说“温度降到13.6 eV”是不够的；有了平衡组成仍要另算重组动力学与最后散射概率。

练习四：把同一把尺子换成两套单位

给定 \(r_s^{\rm com}=150\ {\rm Mpc}\)、\(D_M=14\ {\rm Gpc}\)，并人为指定 \(z_*=1100\) 作单位换算。求物理声学长度、角直径距离、角尺度和 \(\ell_A\)。这能否直接推出第一峰位置？

展开完整推导：共动与物理长度一起缩放

先把14 Gpc 化成14000 Mpc；再由 \(a_*=1/1101\) 得

\[ r_s^{\rm phys}=\frac{150}{1101}\ {\rm Mpc} \simeq0.136240\ {\rm Mpc},\qquad D_A=\frac{14000}{1101}\ {\rm Mpc} \simeq12.715713\ {\rm Mpc}. \]

两者同时缩小，比例不变：

\[ \theta_*=\frac{150}{14000} =\frac{150/1101}{14000/1101} =0.0107142857\ {\rm rad}. \]

弧度转角度乘 \(180/\pi\)，得到 \(0.613883^\circ\)；声学尺度为

\[ \ell_A=\frac{\pi}{\theta_*} =\frac{14000\pi}{150}\simeq293.215314. \]

这个 \(z_*\) 只是题目给的换算输入，不是用 Saha 解出来的观测结果。题目也没有给完整初始扰动、引力驱动与投影传递函数，因此不足以计算第一 TT 峰。把 \(r_s^{\rm com}/D_A\) 混除会多出1101倍；把 \(\ell_A\) 直接标成第一峰，则混淆了尺子和谱的极值。

9. 通往扰动与前沿研究

现在已有三层基础：背景膨胀决定红移，热物理决定组成与相互作用，声波和光传播把它们变成观测尺度。下一步要让密度、速度和引力势随空间变化，求它们如何共同演化。

视界问题也必须在指定的历史中提出：把非暴胀的热大爆炸阶段向早期外推时，某些远隔天区缺少充分的共同因果过去。暴胀改变早期的因果与尺度演化，但“越过 Hubble 半径”本身并不是完成量子涨落经典化的证明；这些条件留到暴胀与扰动课程处理。

可进一步研究的方向包括精密中微子解耦、非标准能量注入对重组的影响、CMB 谱畸变和不同初始扰动的声学相位。开始之前应先明确要替换本页哪一条近似，再选观测量，不能只在现有图上改一个指数就称作新物理结果。

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