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连续介质 I · 弹性波：纵横模式、阻抗与界面反射
对标：Achenbach Wave Propagation in Elastic Solids ch.1–2 / Landau《弹性理论》§7 ｜ 前置：fl-01（连续介质守恒）、solid-01（晶格与声子）、qm-02（波包） 固体不是“不会流动的空气”：受到扰动时，局部形变会通过应力把信息传给邻近区域。弹性波的速度由“恢复力有多硬”和“惯性有多大”共同决定；遇到材料界面时，波的振幅、相位和能量又由波阻抗共同约束。本页把纵波、剪切横波与界面反射放进同一份账本。
学习层：同一界面上，振幅为什么会反相而能量仍为正？
1. 具体谜题：超声波进入另一种材料后发生什么？
医学超声、地震波和金属探伤都要回答同一个问题：一列波从材料 1 进入材料 2，多少能量被反射，多少继续前进？先取一个法向入射的简化界面：铝在左，钢在右；频率 \(f=1.00\ \mathrm{MHz}\)。我们会在后面算出铝的纵波速度约 \(6.402\ \mathrm{km/s}\)，钢中约 \(5.818\ \mathrm{km/s}\)。
打开实验台以前，先预测：
- 若材料的弹性模量相同而密度变大，波速会变快、变慢，还是不变？
- 波从低阻抗材料进入高阻抗材料时，位移反射波是否反相？
- 无耗散界面上，必须相加为 \(1\) 的是振幅系数，还是能量系数？
“波很硬所以反射多”还不是计算。需要先从本构关系得到波速，再用位移与应力的边界条件得到阻抗匹配。
2. 最小模型：从应变到两种波速
位移场记作 \(\mathbf u(\mathbf x,t)\)，小应变张量为
本页取每侧均匀、各向同性线性材料，密度为正、\(K>0,G>0\)。Hooke 定律是
其中 \(G\) 是剪切模量，\(\lambda_{\mathrm L}\) 是 Lamé 第一参数。动量守恒 \(\rho\,\partial_t^2u_i=\partial_j\sigma_{ij}\) 给出 Navier 方程：
把位移分解成无旋的纵向部分与无散的横向部分：
两类部分各自满足波动方程。用体积模量 \(K=\lambda_{\mathrm L}+2G/3\) 表示，速度是
纵波的位移方向平行于传播方向，横波的位移方向垂直于传播方向。这里的横波是法向入射的 SH 剪切模式；斜入射时会出现 P-SV 模式转换，不能把一个标量反射系数直接搬过去。
3. 动手实验：模式、材料和界面一次只改一个
先完成三个预测，再打开实验台。预设包括铝到钢、反向传播、铝的剪切横波以及软材料界面。改变模式或材料后，波形图会同步改变速度与波长；通常显示界面两侧各12 mm，高频时自动缩短为较短波长的8倍以内，图中明确标出窗口长度，以免把欠采样假象当成真实长波；能量柱显示反射率 \(R\) 和透射率 \(T\)，因此可以检查“位移反相”与“能量守恒”不是同一个符号。
无 JavaScript 时的静态读法：模型是各向同性、线性、无耗散材料的法向入射标量波。默认值为铝 \(\to\) 钢、纵波、\(f=1.00\ \mathrm{MHz}\)。使用材料参数 \(\rho_{\mathrm{Al}}=2700\ \mathrm{kg/m^3}\)、\(K_{\mathrm{Al}}=76\ \mathrm{GPa}\)、\(G_{\mathrm{Al}}=26\ \mathrm{GPa}\)， \(\rho_{\mathrm{steel}}=7850\ \mathrm{kg/m^3}\)、\(K_{\mathrm{steel}}=160\ \mathrm{GPa}\)、\(G_{\mathrm{steel}}=79.3\ \mathrm{GPa}\)。
| 量 | 铝（介质 1） | 钢（介质 2） |
|---|---|---|
| 纵波速 \(c_{\mathrm L}\) | \(6.402\ \mathrm{km/s}\) | \(5.818\ \mathrm{km/s}\) |
| \(1\ \mathrm{MHz}\) 波长 \(\lambda=c/f\) | \(6.402\ \mathrm{mm}\) | \(5.818\ \mathrm{mm}\) |
| 纵波阻抗 \(Z=\rho c\) | \(17.286\ \mathrm{MRayl}\) | \(45.673\ \mathrm{MRayl}\) |
把位移（或速度）振幅的反射、透射系数定义为
所以默认界面有
| 能量项 | 数值 | 检查 |
|---|---|---|
| 反射率 \(R=\lvert r_u\rvert^2\) | \(0.203\) | 约 \(20.3\%\) |
| 透射率 \(T=4Z_1Z_2/(Z_1+Z_2)^2\) | \(0.797\) | 约 \(79.7\%\) |
| \(R+T\) | \(1.000\) | 无耗散界面 |
负的 \(r_u\) 表示铝侧的反射位移反相，不表示负能量。若换成钢 \(\to\) 铝，\(r_u\) 会变成正值，而 \(R\) 与 \(T\) 保持相同的交换对称结构。
4. 误区、反例与适用边界
- 速度不是只由密度决定。\(c\) 同时含模量与密度；软而轻的聚合物和硬而重的钢不能用“密度越大越慢”单独判断。
- 负振幅不是负功率。能量流与阻抗、速度振幅的平方有关；反相说明波形翻转。
- \(R+T=1\) 需要无耗散和正确的能量归一化。有黏弹性、吸收、粗糙界面或模式转换时，反射与透射之外还要记吸收和其他模式。
- 这是法向入射的标量界面。斜入射的固体界面一般会发生纵横波转换，边界条件是位移与牵引力的向量连续，不能只保留一个 \(Z\)。
- 连续介质会失效。当波长接近晶格常数，原子离散性带来色散和带隙；材料非线性显著时，波形会产生谐波甚至冲击。
5. 迁移题：把模式切换也纳入预测
保持铝 \(\to\) 钢与 \(f=1\ \mathrm{MHz}\)，切换到剪切横波。铝的 \(c_{\mathrm T}=\sqrt{G/\rho}\approx3.103\ \mathrm{km/s}\)，因此波长约 \(3.103\ \mathrm{mm}\)；钢侧的剪切阻抗与纵波阻抗不同，反射相位和比例都要重新计算。先在纸上写出
再用实验台核对。最后回答：如果只看到“钢更硬”，为什么仍不能直接猜出横波反射率？你必须指出速度公式里的 \(G\) 和界面条件里的 \(Z\) 分别承担了什么角色。
核对剪切反射和细棒反例
钢的 \(c_T\approx3.178\ \mathrm{km/s}\)，两侧剪切阻抗约为8.379与24.950 MRayl，所以 \(r_u\approx-0.4972\)、\(R\approx0.2472\)、\(T\approx0.7528\)。\(G\)通过波速进入阻抗，但密度也参与，单看“硬”不能判反射率。再取铝：\(Y\approx70.016\ \mathrm{GPa}\)，细棒波速约5.092 km/s，明显不同于体纵波6.402 km/s；边界模型必须先选对。
1. 小形变的几何与本构
连续介质近似把材料中足够大的局部区域视为平滑位移场。位移 \(\mathbf u\) 的梯度描述邻近点相对移动；其对称部分是应变，反对称部分是刚体小转动。线性弹性只保留一阶应变，因而
应力 \(\boldsymbol\sigma\) 是单位面积上的内力，线性各向同性本构写成
体积模量 \(K\) 与 Lamé 参数的关系是 \(K=\lambda_{\mathrm L}+2G/3\)。弹性能密度可分成 \(W=K(\operatorname{tr}\varepsilon)^2/2+G\,\varepsilon_{\mathrm{dev}}:\varepsilon_{\mathrm{dev}}\)；因此严格正定要求 \(K>0,G>0\)，其中 \(\varepsilon_{\mathrm{dev}}=\varepsilon-\mathbf I\operatorname{tr}\varepsilon/3\)。压缩与剪切分别付出能量。
没有体力时，动量守恒是
把本构代入，并利用 \(\nabla\cdot\boldsymbol\varepsilon =\frac12[\nabla(\nabla\cdot\mathbf u)+\nabla^2\mathbf u]\)，得到
这里没有凭空假设“波速”；波速正是本构的恢复力系数除以质量密度后开平方的结果。
2. Helmholtz 分解与 P、S 波
对平面波 \(\mathbf u=\mathbf u_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf x-\omega t)}\)，把振幅分成与 \(\mathbf k\) 平行和垂直的部分。纵向部分满足 \(\mathbf k\times\mathbf u_{\mathrm L}=0\)，横向部分满足 \(\mathbf k\cdot\mathbf u_{\mathrm T}=0\)。代回 Navier 方程：
其中
由于同一稳定材料满足 \(\lambda_{\mathrm L}+G>0\)，通常 \(c_{\mathrm L}>c_{\mathrm T}\)。纵波压缩/膨胀改变密度，地震学常称 P 波；剪切横波不改变一阶体积，常称 S 波。液体在静态剪切模量近似为零，所以不能支持同样的体积内横波，这个差异正是地震波探测地球内部的线索之一。
无耗散均匀介质的色散关系是线性的 \(\omega=ck\)，因此相速和群速都等于 \(c\)。这只是长波连续模型的结论；晶格离散性、黏弹性和频率依赖本构都会让 \(\omega(k)\) 弯曲。
3. 能量流与波阻抗
弹性波的瞬时功率流可以写成应力对速度的作用：
负号取决于牵引力和外法线的约定，但能量守恒的结构不变：应力做功把能量从一层材料传给下一层。对一维简谐波，位移振幅 \(U\)、速度振幅 \(\omega U\) 与应力振幅相乘，平均强度满足
\(1\ \mathrm{Rayl}=1\ \mathrm{kg/(m^2s)}\)，\(1\ \mathrm{MRayl}=10^6\ \mathrm{Rayl}\)。它衡量介质对运动的“惯性负担”；两种材料的 \(c\) 可能接近，但若 \(\rho\) 差异大，阻抗仍会明显不匹配。
4. 界面条件如何推出反射系数
设界面在 \(x=0\)，左侧入射波、反射波，右侧透射波。法向入射且界面完美粘结、无滑移或开裂、没有界面质量时，界面处的位移连续：
牵引应力连续；对向右传播和向左传播的平面波，速度方向与应力方向在反射波上相反，因此
（共同的 \(-i\omega\) 因子已约去）。联立两式：
强度不是简单的振幅平方，因为左右介质的阻抗不同。用 \(\langle I\rangle\propto Z|\dot U|^2\)：
于是 \(R+T=1\)。阻抗匹配 \(Z_1=Z_2\) 时 \(r_u=0\)；完全反射的极限来自强失配，而不是材料“把波吞回去”。
5. 例子、驻波与模型升级
例 1：自由端与固定端。把第二介质阻抗趋近零，\(r_u\to+1\)，位移在界面同相反射；把阻抗趋近无穷大，\(r_u\to-1\)，位移反相。这是绳端反射两种极限的连续介质版本。
例 2：有限细棒的共振。侧面自由、横向尺寸远小于波长的细棒可发生Poisson横向收缩，轴向有效刚度是Young模量 \(Y=9KG/(3K+G)\)。因此杆波速为 \(c_{\mathrm{rod}}=\sqrt{Y/\rho}\)，与前面的无限介质体纵波 \(c_{\mathrm L}\) 不同。理想自由-自由或固定-固定细棒的非零纵向本征频率近似为
自由-自由棒另有零频刚体平移模。端点条件决定驻波节点，而侧向约束决定选用哪一种有效弹性刚度；不能只凭“纵波”两个字套同一个波速。可对照 MIT细棒弹性波讲义。
例 3：从声子到宏观波。设一维链相邻原子间的键力常数为 \(k_s\)（单位 \(\mathrm{N/m}\)）、原子质量为 \(m\)、晶格间距为 \(a\)。长波极限给出 \(\omega\approx c k\)；当 \(ka\) 不再很小时，离散方程给出 \(\omega=2\sqrt{k_s/m}\,\lvert\sin(ka/2)\rvert\)。这里的 \(k_s\) 不是前文单位为 Pa 的体积模量 \(K\)。此时群速可小于相速，甚至在带边为零；“固体里波速恒定”只属于连续、线性、低频近似。
工程上还要加入黏弹性损耗、界面粗糙度、晶粒散射和非线性。学习层的 \(R,T\) 仍是第一层证书：它告诉我们边界条件如何工作，但不是对复杂材料的完整超声反演。
弹性波把“局部应力”变成了携带能量和信息的传播解。下一章转向电磁场：介质中的色散会让相速与群速分开，金属边界还会把横向边界条件变成波导截止。