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电动力学 II · 推迟势与辐射

对标：Jackson §6、§9、§14 主干｜前置：em-02/03、ced-01、mp-01（推迟 Green 函数）电动力学的动态篇：源的消息以光速迟到（推迟势）→ 偶极辐射的完整推导（em-03 Larmor 公式的欠条全额兑付）→ 相对论性辐射一瞥（同步辐射为何是"光源工厂"）。

1. 推迟势

Lorenz 规范下的波动方程（em-02 §3）用推迟 Green 函数（mp-01）解出：

\[ V(\mathbf r, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf r', t_r)}{|\mathbf r - \mathbf r'|}\,dV', \qquad t_r = t - \frac{|\mathbf r - \mathbf r'|}{c} \]

（\(\mathbf A\) 同型。）读法：形式与静电势一模一样，唯一改动是源取推迟时刻——因果律的显式实现（超前解被边界条件抛弃——时间之箭在电动力学的落点）。点电荷特化 = Liénard–Wiechert 势【引用】（分母多出 \((1 - \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\beta)\) 因子——相对论聚束的种子，§3）。

2. 偶极辐射（Larmor 的正式推导）

【推导骨架（三步）】 远区 + 长波近似（\(r \gg \lambda \gg\) 源尺度）： ① \(\mathbf A(\mathbf r, t) \approx \frac{\mu_0}{4\pi r}\dot{\mathbf p}(t_r)\)（推迟势展开到最低阶——矢势由偶极矩变化率统治）； ② 取旋度/时间导数得远区场：

\[ \mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi c}\frac{\ddot{\mathbf p}\times\hat{\mathbf n}}{r}, \qquad \mathbf E = c\,\mathbf B\times\hat{\mathbf n} \]

——横场、\(\frac1r\) 衰减（em-03 Thomson 图像的公式化）； ③ Poynting 矢量积分立体角：

\[ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{\ddot p^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3}\sin^2\theta, \qquad P = \frac{\ddot p^2}{6\pi\varepsilon_0c^3} \]

\(\blacksquare\)——代 \(\ddot p = qa\) 即 Larmor 公式（em-03 的量纲论证升级为定理）；\(\sin^2\theta\) 花瓣角分布：沿加速方向不辐射（天线的零点方向、偶极天线水平架设的原因）。

辐射的层级：电偶极（主导）→ 磁偶极 + 电四极（压低 \((\frac{v}{c})^2\) 或 \((\frac{d}{\lambda})^2\)）——原子谱线的选择定则被禁时走高阶（qm-04/aqm-01 的"禁戒线"其实是慢线）；引力辐射从四极起步（引力无偶极——动量守恒堵死，gr-03 的伏笔）。

辐射反作用一嘴【引用】：辐射带走能量 ⇒ 电荷受反冲（Abraham–Lorentz 力 \(\propto\dot{\mathbf a}\)）——自作用的病理（预加速/失控解）是经典电动力学的边界警告牌：完整答案在 QED（qft 线）。

3. 相对论性辐射一瞥

聚束效应：\(v \to c\) 时 Liénard–Wiechert 的 \((1 - \hat{\mathbf n}\cdot\boldsymbol\beta)^{-1}\) 因子把辐射压进前向 \(\sim\frac{1}{\gamma}\) 的锥角——探照灯效应；总功率 \(P \propto \gamma^4\)（圆周运动）【引用 Liénard 公式】。

同步辐射：环形加速器中的电子——宽谱（脉冲串的 Fourier：数分 IV）、高亮度、偏振可控 ⇒ 同步辐射光源（材料/生物成像的国之重器：上海光源、SPring-8——"加速器的废热变成显微镜"）；也是圆形对撞机能量上限的诅咒（\(\gamma^4\) 的电费——LHC 用质子、未来 lepton 对撞机考虑直线的原因）。天体版：脉冲星、活动星系核喷流的射电谱——宇宙的同步辐射无处不在。

4. 练习与要点

例 1（天线功率） 半波偶极天线辐射电阻 ~73 Ω 的出处：\(P = \frac{(\ddot p)^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}\) 对电流分布积分的工程化【引用】；短天线 \(R_{\text{rad}} \propto (\frac{d}{\lambda})^2\)——天线短于波长就低效：AM 电台天线百米高、手机天线靠共振设计的同一笔账。

例 2（Thomson 散射截面） 自由电子被光波驱动再辐射：\(\sigma_T = \frac{8\pi}{3}r_e^2 \approx 0.665\) b（经典电子半径 \(r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}\)）——太阳内部光子扩散、CMB 与电子的耦合（cosmo-02 复合时代的主角截面）都由它计价。

例 3（\(\gamma^4\) 的电费） 同步辐射每圈能损 \(\Delta E \propto \frac{\gamma^4}{R}\)：LEP（电子，100 GeV，\(\gamma \sim 2\times10^5\)）每圈损 ~3 GeV——加速一圈赔掉 3%；同环换质子（LHC，\(\gamma\) 小四个量级）损耗可忽略：对撞机选型的第一道物理算术。\(\blacksquare\)

下一门：统计力学进阶——相变、Ising 与重整化群：多体物理"整体大于部分之和"的三部曲，也是与机器学习交汇最深的物理。