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基础衔接 17 · 从单圈图到散射截面：同一个模型里的重整化闭环

先修：场论连续作业、LSZ与外腿、圈积分减法。本讲把图、积分、参数定义、阈值和截面放进同一个有质量实标量模型。

1. 一个发散的积分，怎样给出有限的实验预测？

假设两颗相同标量粒子碰撞，探测器统计出射方向。最低阶预测没有角依赖；加入量子涨落后，积分发散，还出现一个看似任意的尺度μ。如果只说“减去无穷大”，学习者无法判断最后到底预测了什么。

我们要完成一条可复算的链：确定粒子和耦合的定义 → 算全部单圈贡献 → 按同一约定减法 → 检查概率守恒 → 算截面 → 换定义点并匹配参数。

取四维Minkowski度规\((+---)\)、\(\hbar=c=1\)、正质量\(m>0\)及小的正耦合λ：

\[\mathcal L=\frac12(\partial\phi)^2-\frac12m^2\phi^2-\frac\lambda{4!}\phi^4 +\frac{\delta Z}{2}(\partial\phi)^2-\frac{\delta m^2}{2}\phi^2-\frac{\delta\lambda}{4!}\phi^4.\]

λ无量纲；m、动量和μ有能量量纲。m定义为传播子极点质量，极点残数取1；λ在下面的Euclidean减法点定义。真空泡由真空归一化消去，不参与连通散射。这里只做弱耦合的固定单圈训练，不声称φ⁴描述现实基本粒子或提供任意高能的完备理论。

采用\(S=1+iT\)，\(\langle f|iT|i\rangle=i(2\pi)^4\delta^4(P_f-P_i)\mathcal M\)。顶点\(-i\lambda\)，传播子\(i/(k^2-m^2+i0)\)，所以\(\mathcal M_{\rm tree}=-\lambda\)。把这个负号固定下来，后面的干涉符号才不会混乱。

2. 先数图，尤其不要丢掉两种不同的1/2

四点单圈有s、t、u三个泡图，对应外腿配对\((12|34)\)、\((13|24)\)、\((14|23)\)。每个图的对称因子为1/2：两个相同内部线可以交换。

也可从Wick收缩核对。对固定外腿配对，交换两顶点有2种，每个顶点接两条已标记外腿有\(4\times3=12\)种，余下两条内线配对有2种；除以Dyson的\(2!\)和两个\(4!\)：

\[\frac{2\times12\times12\times2}{2!(4!)^2}=\frac12.\]

二点单圈是tadpole：两条已标记外腿有\(4\times3\)种收缩，除以\(4!\)也得1/2。它与外动量无关。后面截面另有一个相同末态计数的1/2!；两者来源不同，不能只留一个。

3. 二点函数先固定质量和外腿

令\(d=4-\epsilon\)，环积分带\(\kappa^\epsilon\)；κ是维数正规化的积分尺度，μ则是耦合定义点，暂时分开记。写

\[\Delta_\epsilon=\frac2\epsilon-\gamma_E+\log4\pi.\]

本讲直接记录“二点1PI插入的图值”，避免混用文献里正负号不同的Σ：tadpole图为

\[\frac{-i\lambda}{2}\kappa^\epsilon\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\frac{i}{k^2-m^2+i0} =i\frac{\lambda m^2}{32\pi^2}\left[\Delta_\epsilon+1-\log\frac{m^2}{\kappa^2}\right]+O(\epsilon).\]

质量反项的图值为\(-i\delta m^2\)，故取

\[\delta m^2=\frac{\lambda m^2}{32\pi^2}\left[\Delta_\epsilon+1-\log\frac{m^2}{\kappa^2}\right]+O(\lambda^2),\qquad\delta Z=0+O(\lambda^2).\]

常数插入完全抵消，传播子极点保留在\(m^2\)；因为这一圈没有外动量依赖，极点残数在此阶也没有修正。外腿自能图加反项经LSZ处理后不再额外加入本讲的\(O(\lambda^2)\)四点振幅。两圈后这些简化一般不成立。

4. 实际算一个泡图，再把三个通道相加

若通过泡图的总动量为p、\(p^2=s\)，其图值为

\[i\mathcal M_s=\frac{(-i\lambda)^2}{2}\kappa^\epsilon\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{i}{k^2-m^2+i0}\frac{i}{(k+p)^2-m^2+i0}.\]

用\(1/(AB)=\int_0^1dx/[xA+(1-x)B]^2\)，再平移环动量，分母变为\([\ell^2-D(x)+i0]^2\)，其中\(D(x)=m^2-sx(1-x)\)。维数正规化允许这种平移。先在Euclidean外动量计算，再按\(i0\)解析延拓，得到

\[\kappa^\epsilon\int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\frac1{[\ell^2-D+i0]^2} =\frac{i}{16\pi^2}\left[\Delta_\epsilon-\log\frac{D-i0}{\kappa^2}\right]+O(\epsilon).\]

这一结果来自Wick旋转后的径向积分：\(\Gamma(2-d/2)(D-i0)^{d/2-2}/(4\pi)^{d/2}\)；展开\(\Gamma(\epsilon/2)=2/\epsilon-\gamma_E+O(\epsilon)\)即可追踪常数。于是定义

\[L(s)=\int_0^1dx\,\log\frac{m^2-sx(1-x)-i0}{\kappa^2},\qquad \boxed{\mathcal M_s=\frac{\lambda^2}{32\pi^2}[\Delta_\epsilon-L(s)].}\]

另外两个泡图把s替换为t、u。这个步骤是同一拉格朗日量的三个交叉通道，不是把别的模型的减法例子拼接进来。

5. 减法点必须说清楚：它不是物理散射角

选离壳对称Euclidean MOM条件：四个外动量全取流入、总和为0，各\(p_i^2=-3\mu^2/4\)，且\(s=t=u=-\mu^2\)。例如Euclidean空间里等长四向量指向正四面体顶点，便实现这些不变量。规定该点的四点1PI振幅为\(-\lambda(\mu)\)。

物理散射外腿满足\(p_i^2=m^2\)及\(s+t+u=4m^2\)，所以不可能同时有三个通道都等于\(-\mu^2\)。减法是定义参数用的离壳条件，不是声称探测器能到达该点。

四点反项给\(\mathcal M_{\rm ct}=-\delta\lambda\)。令

\[\delta\lambda=\frac{3\lambda^2}{32\pi^2}[\Delta_\epsilon-L(-\mu^2)]+O(\lambda^3),\]

则发散与κ依赖都在差中消去：

\[\boxed{\mathcal M=-\lambda+\mathcal M_{\rm loop}+O(\lambda^3),\qquad \mathcal M_{\rm loop}=\frac{\lambda^2}{32\pi^2}\sum_{q=s,t,u}[L(-\mu^2)-L(q)].}\]

这是混合的“极点质量＋离壳MOM耦合”方案，不是\(\overline{\rm MS}\)。两者的发散部分一致，有限部分和λ的数值定义不同。省去有限减法后仍沿用本式的λ，就改变了计算问题。

泡图的相同内部线产生图的二分之一因子；三个通道在同一个离壳参考点减法；当通道能量越过四倍质量平方，对数负值区间打开，其长度等于两体速度因子。

6. 虚部不是数值噪声：它核对了概率守恒

令\(r=s/m^2\)并去掉常数\(\log(m^2/\kappa^2)\)，定义\(F(r)=\int_0^1\log[1-rx(1-x)-i0]dx\)。网页用的解析式可由\(x=(1+y)/2\)后积分\(\log(a+by^2)\)得到：

\[F(r)=\begin{cases} -2+2b\operatorname{artanh}(1/b),&r<0,\ b=\sqrt{1-4/r},\\ 0,&r=0,\\ -2+2a\arctan(1/a),&0<r<4,\ a=\sqrt{4/r-1},\\ -2,&r=4,\\ -2+2\beta\operatorname{artanh}\beta-i\pi\beta,&r>4,\ \beta=\sqrt{1-4/r}. \end{cases}\]

小r直接用两项相减会丢精度；展开对数并逐项积分给稳定级数

\[F(r)=-\sum_{n\ge1}\frac{(n!)^2}{n(2n+1)!}r^n=-\frac r6-\frac{r^2}{60}-\cdots,\qquad |r|<4.\]

当\(s>4m^2\)，参数区间\(x_-<x<x_+\)中对数参数为负，\(x_\pm=(1\pm\beta)/2\)。由\(\log(-a-i0)=\log a-i\pi\)，虚部正好等于\(-\pi(x_+-x_-)=-\pi\beta\)。振幅前另有减号，所以

\[\boxed{\operatorname{Im}\mathcal M_s=\frac{\lambda^2\beta}{32\pi}>0.}\]

同一结果可独立由\(S^\dagger S=1\)验证。展开\(S=1+iT\)得\(-i(T-T^\dagger)=T^\dagger T\)；插入完整两粒子态，在前向散射的\(O(\lambda^2)\)有

\[2\operatorname{Im}\mathcal M_{ii} =\frac1{2!}\int d\Phi_2\,|\mathcal M_{\rm tree}|^2 =\frac12\frac\beta{8\pi}\lambda^2.\]

这里\(\int d\Phi_2=\beta/(8\pi)\)，末态相同所以另除2。物理区t、u不大于0，没有这个两粒子虚部；只有s通道贡献。对照两种计算，可发现一个漏掉的1/2或错误的\(i0\)符号，而不只是“数值看上去合理”。

先预测，再打开结果。r=4时\(F=-2\)、虚部为0；r=8时\(\beta=1/\sqrt2\)、\(\operatorname{Im}\mathcal M_s/\lambda^2=1/(32\sqrt2\pi)\)。阈值以下的r在这个实验里是虚拟通道变量，不是两个质量m入射粒子的可达能量。

7. 从振幅到截面：一致保留微扰阶数

质心系取\(z=\cos\theta\)，则

\[s>4m^2,\qquad t=-\frac{s-4m^2}{2}(1-z),\qquad u=-\frac{s-4m^2}{2}(1+z).\]

两体相空间微分为\(d\Phi_2/d\Omega=\beta/(32\pi^2)\)，入射不变量通量为\(2s\beta\)。因此，若对完整立体角积分，并把两颗相同出射粒子计为一个事件，

\[\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{|\mathcal M|^2}{128\pi^2s}.}\]

若只积分一个代表半球，可去掉相同粒子的1/2；两种约定的总事件率必须相同。不能全立体角积分又漏因子。严格阈值入射通量为0，上式在那里表示从\(s>4m^2\)趋近的极限。

因为树级是\(-\lambda\)，单圈是\(O(\lambda^2)\)，一致的下一阶截面为

\[\boxed{|\mathcal M|^2_{\rm NLO}=\lambda^2-2\lambda\operatorname{Re}\mathcal M_{\rm loop}+O(\lambda^4).}\]

直接平方\(-\lambda+\mathcal M_{\rm loop}\)会多出\(|\mathcal M_{\rm loop}|^2\)。它只是部分\(\lambda^4\)项，同阶还有树级与两圈的干涉，尚未计算。因此不能把那个平方称为完整的更高阶截面。虚部不进入本模型的λ³干涉，却已在上节的幺正性检验中不可缺少。

无脚本也可复算：取\(m=1,s=8,z=0,\mu=1,\lambda=1\)，则\(t=u=-2\)。依次求\(F(-1),F(8),F(-2)\)，代入\(\mathcal M_{\rm loop}=[3F(-1)-F(8)-2F(-2)]/(32\pi^2)\)，最后计算\([1-2\operatorname{Re}\mathcal M_{\rm loop}]/(1024\pi^2)\)。表格和曲线中的单位为\(m^2d\sigma/d\Omega\)，恢复物理单位后截面随\(m^{-2}\)缩放。

默认参数的核对值如下；无需运行脚本也能检查你的计算：

量 数值
Re M_loop 0.00205051170
Im M_loop 0.00703372122
树级 m² dσ/dΩ 0.0000989464684
NLO m² dσ/dΩ 0.0000985406866
相对截面修正 −0.00410102339（约−0.4101%）

调z变号只交换t与u，所以角分布必须前后对称。只有树级时它是平的；单圈通道对数引入角依赖。小λ与本页有限能区使示例修正温和，但“小修正”不能证明所有未知高阶项都小；大对数、强耦合等情形需要额外分析。

用总事件率核对完整球面与半球约定

树级角分布为常数。采用正文完整球面的相同粒子约定，积分得到

\[\sigma_{\rm tree}=4\pi\frac{\lambda^2}{128\pi^2s}=\frac{\lambda^2}{32\pi s}.\]

若改为每对末态只选一个代表方向，就只积分一个半球：此时微分式没有末态1/2，系数为 \(\lambda^2/(64\pi^2s)\)，乘半球立体角2π后仍得到同一个总截面。对本讲单圈角分布，因为 z→−z 只交换 t、u，同样能验证这两个计数约定的总事件率一致。

例如 m=1、s=8、λ=1，树级总截面是 \(1/(256\pi)\)。这一步只处理末态事件是否重复计数；泡图内部线的1/2仍然保留在振幅中，两个来源不会相互取代。

8. 任意尺度的正确含义：换点必须同时换参数

令原尺度为\(\mu_1\)、耦合\(\lambda_1\)。要求两套定义描述同一振幅，到单圈阶得到

记 \(\Delta L=L(-\mu_2^2)-L(-\mu_1^2)\)，则

\[\boxed{\begin{aligned}\lambda_2&=\lambda_1+\frac{3\lambda_1^2}{32\pi^2}\Delta L\\&\quad+O(\lambda_1^3).\end{aligned}}\]

推导只需代回：\(-\lambda_2\)的变化抵消三份减法常数的变化；在单圈系数里用\(\lambda_2^2\)替代\(\lambda_1^2\)仅产生\(O(\lambda_1^3)\)差。因此是“到已计算阶次一致”，不是把有限截断公式宣称为精确尺度无关。

取\(\mu_1=1,\mu_2=2\)，让λ依次为0.2、0.1、0.05。固定λ换点的振幅差正比λ²；一致匹配后的数值剩余从λ³起，所以减半比值趋向8。后者只是所用截断公式的残余阶数，不能据此算出真实两圈系数。

再对匹配式取\(\log\mu\)导数，在固定极点质量m下得到这个质量依赖方案的一圈β函数：

\[\frac{d\lambda}{d\log\mu} =\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}\int_0^1dx\,\frac{\mu^2x(1-x)}{m^2+\mu^2x(1-x)}+O(\lambda^3).\]

当\(\mu\gg m\)，积分趋向1，恢复\(3\lambda^2/(16\pi^2)\)；当\(\mu\ll m\)，积分约为\(\mu^2/(6m^2)\)。不能把高能极限直接当成本方案所有尺度的公式。

从低能到高能，β函数的系数怎样平滑变化？

写 \(q=\mu^2/m^2>0\)，把上一式的积分记为 J(q)。由于 \(v=x(1-x)\) 满足 \(0\le v\le1/4\) 且 \(\int_0^1v\,dx=1/6\)，有

\[\frac{q}{6(1+q/4)}\le J(q)\le\min\left(1,\frac q6\right).\]

下界来自 \(1+qv\le1+q/4\)，上界分别来自被积函数不超过1和不超过qv。对 q 求导还得到

\[J'(q)=\int_0^1\frac{x(1-x)}{[1+qx(1-x)]^2}\,dx>0.\]

因此这一质量依赖方案的一圈系数随尺度平滑增大；低能时受 \(\mu^2/m^2\) 抑制，高能极限才趋向通常的常数。以上不等式不把固定单圈计算延伸成强耦合或任意高能的保证。

9. 迁移题：检查你是否真正连接了各步

题一。 某程序取\(m=1,s=8,\lambda=1\)，报告树级总截面\(1/(64\pi)\)，同时泡图算出\(2\operatorname{Im}\mathcal M=1/(8\sqrt2\pi)\)。它对完整立体角计数。两处结果各有什么问题？

查看答案：独立追踪图因子与事件计数

树级\(d\sigma/d\Omega=1/(1024\pi^2)\)，总截面应为\(1/(256\pi)\)，报告大了4倍。两体相空间给\(2\operatorname{Im}\mathcal M=1/(16\sqrt2\pi)\)，报告大了2倍。仅凭最终数值不能唯一定位代码，但应分别检查\(s=8\)是否代对、通量与全立体角末态1/2，以及泡图内部1/2。修好振幅的图因子不能自动修好截面的事件计数。

题二。 同学把μ从m换成2m，保持λ数值不动，发现截面变化，认为重整化失败。另一人把单圈振幅完整平方，说已经包含两圈精度。分别给出修正步骤。若将所有能量包括m和μ同时放大3倍而λ不变，截面应如何缩放？

查看答案：参数匹配、阶数与单位

先用第8节把\(\lambda(m)\)匹配为\(\lambda(2m)\)，再比较同一s、t、u下的预测；一致匹配后振幅差是\(O(\lambda^3)\)，截面差是\(O(\lambda^4)\)，恰为尚未控制的阶次。单圈完整平方中的\(|\mathcal M_{\rm loop}|^2\)必须与树级—两圈干涉一起才能组成该阶预测；本讲只保留树级—单圈干涉。所有能量乘3保持s/m²、μ/m与z不变，振幅无量纲而\(d\sigma/d\Omega\)变为原来的1/9。这是很有效的单位检查。

10. 验算与下一步

程序的解析泡函数用70位Feynman参数积分作独立参照；阈值上方在两个根处分段，虚部另由负对数区间长度计算。阈值下方也在\(x=1/2\)分段，避免漏掉尖锐区域。还核对交叉对称、离壳减法条件、光学定理、尺度匹配剩余阶数及质量缩放。双精度输出不是严格舍入误差证书。

本讲完成的是有质量实φ⁴的单圈二点重整化与\(2\to2\)散射训练。规范场的Ward恒等式、红外实辐射抵消、两圈重叠发散、非微扰定义和真实实验拟合仍需后续课程，不能从这个有限模型推断已经完成所有场论计算。

速查与资料

树级\(-\lambda\)；三泡图各1/2；极点质量固定；对称Euclidean点定义λ；减法后取完整三个通道；虚部检验幺正性；NLO截面只留干涉；换μ同时匹配λ。

图的系数和发散项可交叉检查 FeynCalc官方φ⁴单圈重整化算例，该算例的MS方案需与本讲有限MOM减法区分。场论正规化与参数定义背景见 Pawlowski量子场论讲义第7章；幺正性关系参见 Cambridge相对论光学定理补充讲义。本页给出具体模型的推导与独立数值复算，资料核查：2026-09-13。