基础衔接 08 · 完整扫描：局部下降为什么不能代替整体判断？

1. 一次局部求解之后，邻居已经变了

上一讲把固定环境的更新写成广义本征问题。但一个站点更新后，它就成了相邻站点的新环境。依次使用最新邻居，与各自看旧邻居、最后一起替换，是两个不同算法。

这里的每个 MPS 张量只有两个数，虚拟键维 \(\chi=1\)，完整态为四个单站点态的乘积：

态振幅使用半角，Bloch 分量使用整角。实验允许四个不同的初始角，包括负角和负 \(z\)；默认均为30°。每次输出把等价角规范到 \((-\pi,\pi]\)，只选一个可重复的振幅代表，不改变物理态。这个实乘积家族没有跨切口纠缠。

2. 从完整能量中分离一个站点

本讲固定开放链，需与 Ising 奇偶扇区一讲使用的周期链区别开：

只有三条相邻键，没有第四到第一站点的键。固定其他站点，定义 \(b_j\) 为实际邻居的 \(x\) 分量之和，边界站点只有一个邻居。完整能量可以写成 \(E=E_{\rm env}-b_jx_j-gz_j\)，对应的局部问题为

其他三个站点都是归一态，中央的两个物理基矢也正交，因此本例局部范数矩阵确实是 \(I\)。环境常数不改变最低局部向量，但报告四站能量时必须加回来。完整账本同时保留局部本征值、环境常数和“只替换本站点”的完整候选能量。

3. 一步下降的证明有一个关键前提

由 Cauchy–Schwarz，\(b_jx_j+gz_j\le\sqrt{b_j^2+g^2}\)，等号给出

这里固定了所有其他站点，所以环境常数抵消。正横场保证分母非零，最低局部态唯一。这个证明允许任意实初始角，更新后 \(z_j>0\)；它没有证明“所有点同时换掉”的总能量也等于这些下降量之和。

默认一轮顺序固定为 \(1\to2\to3\to4\to4\to3\to2\to1\)。转向重复端点，所以一轮恰有八次求解。重复的端点没有新环境，精确算术中能量不变；相邻两轮之间重复站点1同理。保留这些步骤，是为了让次数、状态和账本一一对应。

4. 默认账本：每个数都来自一个完整态

默认 \(g=1\)、四角均为30°，所以 \(x_j=1/2,z_j=\sqrt3/2\)，初始能量为 \(-3/4-2\sqrt3\approx-4.214101615\)。第一站更新后 \(x_1=1/\sqrt5,z_1=2/\sqrt5\)；第二站必须使用这个新邻居，得到 \(b_2=1/\sqrt5+1/2\)，不能仍取1。

两轮后为约−4.403606895。同一开放模型的完整16维矩阵给出量子基态能量约−4.758770483，剩余能量差约0.355163588。新账本保留全部轮次与每个完整16分量态，同时计算 \(H\Psi\)、完整范数和能量；没有只用首轮几个数代表整次优化。

5. 同步更新：遗漏的相邻键修正可以大过所有下降

设一批同时更新的站点集合为 \(B\)，每个局部题都使用同一批次开始时的旧邻居。令 \(\Delta x_j=x_j^{\rm new}-x_j^{\rm old}\)。逐条展开键能量，得到精确恒等式：

第一项是“其余点不变，只换本站点”时的下降；第二项来自两个端点同时改变的键。它没有固定符号。不相邻站点可以一起更新，因为第二项为空；四点同步一般不行。

一个完全可复算的反例取 \(g=1/2\)，初始四角为 \((0°,60°,-60°,0°)\)。旧分量为 \(x=(0,\sqrt3/2,-\sqrt3/2,0)\)、\(z=(1,1/2,1/2,1)\)，能量为−3/4。四点各自精确求解后得到交错的新 \(x=(\sqrt3/2,-\sqrt3/2,\sqrt3/2,-\sqrt3/2)\)，新 \(z\) 都为1/2，完整能量为5/4。

实验实际运行三种调度，每轮都计八次局部求解：逐点顺序如上；四点同步两批；不相邻分组为 \((1,3)\to(2,4)\to(2,4)\to(1,3)\)。图的横轴按局部求解次数比较，表同时给批次和轮次。不能用“每批”作横轴，却把一站和四站的工作量混为一谈。

6. 零局部残差的陷阱：联合方向才看得见

全 \(+Z\) 初态满足 \(x_j=0,z_j=1\)。每个站点看到 \(b_j=0\)，局部最低态仍是原态，任何轮数都停在 \(E=-4g\)。但在 \(g=1\)，把四个角一起改成小的 \(\alpha\)，有 \(E=-3\sin^2\alpha-4\cos\alpha=-4-\alpha^2+O(\alpha^4)\)，所以整体能量可以下降。

统一扰动仍只检查了一个方向。令 \(\phi\) 是四个小角组成的向量，\(A\) 是四站路径图的邻接矩阵，则

用端点外补零的正弦递推可直接验算四个正交方向：\(v_j^{(k)}=\sqrt{2/5}\sin(jk\pi/5)\)，其中 \(j,k=1,\ldots,4\)。相应曲率为 \(g-2\cos(k\pi/5)\)。最低曲率的变号点是

统一归一方向 \((1,1,1,1)/2\) 的曲率只有 \(g-1.5\)。因此 \(g=1.6\) 时，统一方向已不下降，最低本征方向仍可下降。实验以角度向量的欧氏范数 \(\varepsilon\) 为扰动幅度；四点统一扰动时，每点角度是 \(\varepsilon/2\)。默认5°范数下，最低方向实际能量差约−0.000065138。

Hessian 判断足够小的扰动，不能保证任意有限幅度都下降。图把实际能量差、二阶预测和余项分别保留，让45°等较大幅度也可直接比较。

7. 什么时候能给乘积态全局最优的证明？

这里可以证明一部分参数范围。对任意纯乘积 Bloch 向量，固定 \(x_j\) 后，正横场使最大允许的 \(z_j=\sqrt{1-x_j^2}\) 最有利；取 \(y_j=0\) 就能实现。因此考虑实态并不损失这个全局下界。

利用 \(\sqrt{1-x^2}\le1-x^2/2\) 和邻接矩阵的最大本征值 \(g_*\)，得到

所以 \(g\ge g_*\) 时，全 \(+Z\) 态确实是整个乘积态家族的全局最优。即使恰在阈值，非零 \(x\) 也使平方根不等式严格，零曲率不意味着一整条等能态。\(g<g_*\) 时，负曲率给出联合下降见证；多个初值找到相同终态，仍不能替代全局最优证明。

这是固定四站、固定 \(\chi=1\) 变分家族中的分岔。它不是四站量子系统的真正相变，也不能当作无限 Ising 链的临界点。完整量子问题的边界、维数和允许纠缠都不同。

8. 再算量子方差：局部停止与本征态分开

局部残差在结束状态的同一组邻居上计算：

它只表示继续单点更新能改变多少。完整量子方差则为 \(\operatorname{Var}(H)=\|(H-\langle H\rangle)\Psi\|^2\)。实验从完整16维矩阵直接计算这个非负平方范数，同时给出基态保真度和能量差。

全 \(+Z\) 态是最清楚的对照。场项只贡献−4g，三条 \(XX\) 键产生三个相互正交的双翻转态，所以

即使在已证明乘积态全局最优的强场范围，它也不是完整 Hamiltonian 的本征态。优化误差与表示限制必须分开；单次未收敛扫描的剩余能量差通常同时混合两者。一般情况下方差为零只证明是某个本征态，还需能量等信息判断是否为基态。

9. 实验：每一种“停止”都给出对应证据

先看默认扫描，再选择全Z固定点。比较 \(g=1.6\) 和 \(g=1.7\)：前者存在联合下降方向，后者有乘积态最优证明，两者的量子方差仍都是3。最后选择同步反例，把单点预测、内部键修正和实际变化逐项相加。

七张图分别显示完整能量、局部残差、量子方差、批次修正、联合曲率、实际扰动和多初值结果。十五张表保留三种调度的全部批次、每个局部矩阵、每条内部键、所有完整态系数与扫描点。浮点算术中约 \(10^{-15}\) 的能量差不应解释成有限的上升机制；原始差值仍保留，同步反例的升高2则远离这个尺度。

10. 八道迁移题：给“收敛”加上准确的主语