基础衔接 06 · Ising 奇偶扇区：从完整能级走到实际探针

1. 同一条链，三个“隙”分别回答什么

使用横场 Ising Hamiltonian

每条相邻键计一次。排除 L=2，是因为周期求和此时会把同一对自旋计两遍；那是另一种需要说明的键计数约定。下面的有限矩阵没有使用热力学极限。

定义奇偶算符 \(P=\prod_j\sigma_j^z\)。把全部自旋能级合并、保留重数并排序，完整隙是 \(\Delta_{\rm spin}=E_1-E_0\)；若基态简并，这个定义给零。只在 P=+1 子空间排序，得到偶扇区内部隙 \(\Delta_+=E_{+,1}-E_{+,0}\)。先写出对任意允许动量成立的准粒子色散

本讲选取第三个比较尺度为 \(\epsilon(\pi/L)\)，后文也记作 \(\epsilon_{\pi/L}\)；\(\epsilon_k\) 表示一般动量处的色散值。

完整谱可以跨奇偶扇区取第二个态；固定扇区不允许这样做；一个准粒子又可能改变奇偶。这三个问题的答案当然可以不同。若测量还指定了探针，能级差之外还要多检查一个矩阵元。

2. 直接自旋矩阵是第一份可手算的依据

横场项与 P 对易，一条 XX 键翻转两个自旋，与两次 Z 反对易产生的负号相消，因此 \([H,P]=0\)。在 Z 基底中，令 \(b_j=0,1\) 分别代表本征值 +1、−1，\(n(b)=\sum_jb_j\)，便有

实验用整数的第 j 位保存 \(b_j\)，最低位是格点0；表中的字符串另按格点0到L−1从左到右显示。这样可以直接按表还原每条键，而不必猜哪端是格点0。

偶数个1与奇数个1的基矢分别构成两个维数 \(2^{L-1}\) 的实对称块。L=4时，空基矢的对角元为 −4g，四条跃迁都为 −1；按上述格点显示顺序，目标是1100、0110、0011、1001，仍全部是偶基矢。实验实际逐行构造这两个矩阵，随后对角化；没有拿色散式假装自旋计算结果。

3. 字符串怎样决定周期边界的负号

取 \(\sigma^+=(\sigma^x+i\sigma^y)/2=|0\rangle\langle1|\)，定义 \(S_j=\prod_{\ell<j}\sigma_\ell^z\)、\(c_j=S_j\sigma_j^+\)。于是 \(c_j^\dagger c_j=(1-\sigma_j^z)/2\)，一个1对应一个费米子。对不同格点，把升降算符穿过另一条字符串时恰好多出一个负号，给出 \(\{c_j,c_k\}=0\)、\(\{c_j,c_k^\dagger\}=\delta_{jk}\)。

令 \(A_j=c_j^\dagger+c_j=S_j\sigma_j^x\)、\(B_j=c_j^\dagger-c_j=-iS_j\sigma_j^y\)。内部键用 \(S_{j+1}=S_j\sigma_j^z\)，边界键用 \(S_{L-1}=P\sigma_{L-1}^z\)，分别得到

这里需要两个不同的 Pauli 次序：\(\sigma^y\sigma^z=i\sigma^x\)，而 \(\sigma^z\sigma^y=-i\sigma^x\)。因此

固定 P=p 后，可记作 \(c_L=-p c_0\)。偶扇区使用反周期费米动量，奇扇区使用周期费米动量。 这个 p 是扇区中的数值；在未投影的奇算符表达式里，不能随意移动全局算符 P。

实验从带字符串符号的湮灭/产生作用另外构造 JW 矩阵，与直接自旋矩阵逐行比较；全部格点对的反对易关系也实际检查。边界式必须对每个基矢成立，而不仅对某一个低能态成立。

4. 能量对角化后，仍要筛选物理奇偶

对一对不同的动量 k、−k，选择配对态的相位后，偶占据子空间的矩阵可写成实对称形式

平方矩阵等于 \((a^2+b^2)I\)，所以两条偶态能量是 \(-\epsilon_k,+\epsilon_k\)；两个单占据奇态的能量均为零。一个配对块的四种选择因而是“低能偶态、两个奇态、高能偶态”。把各块组合后，还要把物理奇偶相乘，筛选出指定扇区，才会得到正确的 \(2^{L-1}\) 个自旋能级。

反周期组没有0、π不配对模式，配对真空保持偶性；偶扇区最低允许加入的是一对准粒子，故 \(\Delta_+=2\epsilon_{\pi/L}\)。周期组则另外有

第一个系数穿过g=1时变号，不能先把它取绝对值，再忘掉真空物理奇偶是否改变。g<1时，最低的0模占据是1；g>1时是0，但奇扇区仍要求总奇性。g=1时零模不耗能，可以选择满足约束的占据；零能量没有取消奇偶条件。

实验列出全部模式选择和筛选后的配置，将其全部能量按重数排序，与两份自旋块的完整谱逐项比较。某个最低值碰巧对上，不足以代替这项完整检查。

5. 临界点：相同的尺寸幂次，不同的前因子

默认J=1、g=1、L=4，偶、奇基态能量约为 −5.226251860 和 −4.828427125。偶块第二能量约为 −2.164784401；完整第二能级却来自奇块。因此

在临界点，\(\epsilon_k=4J|\sin(k/2)|\)。令 \(x=\pi/(2L)\)，从等比级数的虚部得到反周期与周期两组有限三角和分别为csc x和cot x。零模按奇性约束占据而不增加能量。

具体地，奇数角求和为 \(\sum_{m=0}^{L-1}\sin((2m+1)x)=\sin^2(Lx)/\sin x\)，偶数角求和为 \(\sum_{m=0}^{L-1}\sin(2mx)=\sin(Lx)\sin((L-1)x)/\sin x\)。代入Lx=π/2即可得到上述两个值，每个模式再贡献负半个准粒子能量。两份真空能及其差因此为

于是 \(L\Delta_{\rm spin}/J\to\pi/2\)，\(L\epsilon_{\pi/L}/J\to2\pi\)，\(L\Delta_+/J\to4\pi\)。它们都按1/L缩小，却不能互换前因子。

尺寸图的L=4到64使用上述精确临界有限和；直接完整矩阵只做L=4、6，图表会明确写出方法。有限和检查具体模型的尺寸关系，两个小矩阵也不能单独建立某个临界普适类。

6. 从能级到信号：把探针真正作用上去

若 \(POP=sO\)、\(s=\pm1\)，在奇偶本征态之间有 \(\langle a|O|b\rangle=s p_a p_b\langle a|O|b\rangle\)。不满足 \(p_a=sp_b\) 的矩阵元只能为零；满足这个条件也只表示允许，仍可能被其他对称性或具体态结构压成零。

实验固定初态为偶扇区基态，比较局部Z、局部X、全链平均Z与平均X。Z保持奇偶，X翻转奇偶；全链平均还保留平移对称性，因此与局部探针的权重分配不同。平均算符定义为 \(L^{-1}\sum_jO_j\)，不是没有归一化的求和。

对于 \(J>0\)、有限g≥0，偶块在基矢图上连通且非对角项非正，可选其唯一基态系数全正。在零场，这个初态是两种x方向完全有序态的偶猫态。它满足局部X平均为零，但两个远处分量的相关可以非零；有限系统的对称猫态与热力学极限的对称破缺不是同一主张。

简并终态的单个本征向量可在子空间内旋转，因此不能把某个数值算法选出的一个向量当作唯一可观测答案。实验把简并子空间内的跃迁强度相加。分组阈值明确为能量除以J后的 \(10^{-10}\)，同时保留组内跨度、重数、完整能级与矩阵残差；它是数值分辨约定，不是改变物理能谱的操作。

7. 连接涨落减去平均值，却不删除全部零频峰

令 \(|v\rangle=(O-\langle O\rangle I)|\psi_0\rangle\)。对每个终态能量子空间的投影 \(\Pi_\alpha\)，定义连接权重 \(w_\alpha=\langle v|\Pi_\alpha|v\rangle\geq0\)。完备性立刻给出

先构造这个连接向量再投影，能明确保留简并态之间的真实涨落。以g=0的偶猫态和局部X为例，X把它送到同能量的奇猫态；平均为零，方差为一，所以C(t)=1。这个零频涨落没有被“连接”一词抹掉。局部Z则创建两个畴壁，代价4J，给出 \(C_Z(t)=e^{-i4Jt}\)。基态间零劈裂与创建缺陷的能量是两个不同量。

固定微扰为−fO、傅里叶约定为正iωt，迟滞核是 \(\chi(t)=-2\theta(t)\operatorname{Im}C(t)\)。用η>0显示谱线时，令 \(d_\alpha=E_\alpha-E_0\)，得到

零能量涨落贡献一个噪声峰，但在两个响应分式中相消；所以“零频噪声很高”不意味着这个封闭态有同样高的对易子响应。η只定义谱线展宽与时间窗，未给封闭自旋系统加入热浴；时间图也没有乘上人为耗散。进一步比较热平衡导数，需要回到谱响应说明态制备和极限次序。

8. 峰高、积分权重与单位要一起检查

每条Lorentz线的全频积分为2π乘其权重；减小η会抬高窄峰，但不改变这个面积。对有限窗口−W到W，实验逐组保留精确面积

没有把窗口外的尾部重新归一化回来。频率图使用可调窗口和3201个采样点；默认ω/J从−2到8，改变频率图上界也按固定比例移动下界，曲线不是所有频率上的实验数据；完整离散谱、每组权重和带宽表保留在账本与下载记录中。

若把能量单位J乘上α，同时保持g、η/J、ω/J、Jt和W/J不变，所有能级、频率与展宽乘α，物理时间除以α，谱密度和频域响应除以α；无量纲权重、相关函数和积分面积不变。实验的J控件采用这一整套换算，不只改坐标标签。

9. 实验：先选择要检验的命题

局域探针的站点滑块展示代表站点0到3。L=6时，站点4、5由周期平移与它们关联；在本讲均匀链和选定的平移本征基态中，局域谱权重相同。完整算符矩阵仍按所选站点构造；平均探针不依赖这个站点选择。

先比较默认四自旋临界点的三个隙，再切到六自旋，核对完整谱与约束占据。到零场猫态预设时，查看JW边界键、简并重数及X的零能量连接权重；再换局部Z，检查畴壁峰。

保持链参数不变，分别比较局部与平均探针。预期某个信号会消失之前，先写出奇偶选择条件，再读取实际子空间权重。最后改变η和J，分别检查面积与单位变换，不把线宽当作新添的热浴。

六幅图分别展示能隙、完整谱、展宽谱、探针权重、封闭演化与临界有限尺寸。离散能级之间的连线只是引导视线，不代表存在连续能带。宽表按矩阵行和真实能级保留数据，可横向滚动。

10. 迁移题：条件、算符和能量一起写