统计进阶 II · Ising 模型：精确求和、抽样与相变

1. 一条磁化几乎不变的轨迹，可能还没有回答问题

先问“平均了什么”，再比较两个数

你让九个自旋在低温下不断翻转。画面大部分时间都是向上，轨迹平均磁化接近 \(1\)。同伴把所有 \(2^9=512\) 个状态的概率逐一相加，却得到零。谁算错了？

在零外场的有限体系里，把所有自旋同时反号不会改变能量，因此正、负磁化状态严格成对。完整平衡分布的平均磁化为零。一条短轨迹可能长期停在正磁化区域；它描述了实际跑过的状态，却未必充分探索了平衡分布。此时两份计算的差异就是要研究的现象。

本课把三种答案放在同一张桌上：有限体系的精确求和、逐步可核对的随机更新、平均场与无限方格的条件性参考。学习顺序是先定义模型，再求精确答案，再研究近似为什么有效或失效。后面出现的“精确”，始终附带模型与极限条件。

2. 从图和能量开始：两点环为什么有两条键？

每个格点上放一个经典变量 \(s_i=\pm1\)，总磁化记作 \(M=\sum_i s_i\)，每自旋磁化为 \(m=M/N\)。取 \(k_B=1\)，温度 \(T>0\)，铁磁耦合 \(J\ge0\)，外场 \(h\) 的单位与能量相同。有限近邻图的定义是

这里的自旋是经典二态变量，没有量子叠加或非对易算符。改变 \(J/T\) 是改变能量偏好与热涨落的竞争；并不是让每个自旋的数值连续缩小。

周期边界也属于模型定义。 环链按每个 \(i\to i+1\) 记一条键。对两个格点，\(0\to1\) 与 \(1\to0\) 是两条周期键，所以能量为 \(-2Js_0s_1-h(s_0+s_1)\)。二维方格从每个格点向右、向下各记一条键，共 \(2N\) 条；\(2\times2\) 周期方格有八条键。同一对端点可以对应不同的周期键，不能默默去重。

这是有限小尺寸约定，不是说宏观材料里同一条物理键要重复算两次。它使小图与后面的周期转移矩阵定义完全一致。构型图用两条曲线区分平行键，完整键表可逐项检查；若换成四条边的正方形，那是另一个有限模型。

全连接 Curie–Weiss 模型另定义为 \(H_{\rm CW}=-JM^2/(2N)-hM\)。展开平方后，每对不同格点的键权为 \(1/N\)，还包含与构型无关的常数 \(-J/2\)。这个常数不影响翻转概率，却影响 \(Z\)、能量与自由能的绝对值，本课保留它。

3. 不靠抽样，也能先得到一个完整答案

本实验最多有十六个自旋，因此最多枚举 \(65536\) 个状态。与其在屏幕上列出六万行，可以按相同的总键和 \(B=\sum_e s_i s_j\) 与磁化 \(M\) 合并。态密度 \(g(B,M)\) 就是具有这两个整数值的状态数：

这一步是无损合并，没有把微观涨落平均掉。表中保留全部整数多重度和一个代表构型；每个代表的二进制位依次指定各格点自旋。CW 情况使用整数分子 \(M^2\) 与分母 \(2N\) 表示相互作用，避免把它误认成近邻键和。

为了避免低温指数太大，实际求和先减去最大的指数 \(a_{\max}\)：计算 \(\widetilde Z=\sum g\,e^{a-a_{\max}}\)，再恢复 \(\log Z=a_{\max}+\log\widetilde Z\)。概率只需用平移后的权重除以 \(\widetilde Z\)。这是代数等价变换；浮点四舍五入仍存在，但没有蒙特卡洛抽样误差。

从 \(Z\) 的外场导数可得 \(\langle M\rangle=T\partial_h\log Z\)。再求一次导数，得到每自旋的磁化响应 \(\chi_N=\partial_h\langle m\rangle=\operatorname{Var}(M)/(NT)\)。类似地，每自旋热容为 \(C_N=\operatorname{Var}(H)/(NT^2)\)。两者都非负，因为它们是方差乘正系数。

低温时 \(\langle H^2\rangle\) 与 \(\langle H\rangle^2\) 可能极接近。实验直接累加 \(\sum p(H-\langle H\rangle)^2\)，降低两大数相减带来的误差。Binder 量定义为 \(U_4=1-\langle M^4\rangle/(3\langle M^2\rangle^2)\)。它可用于后续有限尺寸分析，但一个小尺寸上的数值不能独自证明临界指数。

4. 零均值、双峰与自发磁化分别是什么意思？

在有限 \(N\)、\(h=0\) 时，\(H(s)=H(-s)\)，而 \(M(-s)=-M(s)\)。将配分函数中的状态两两配对，所有奇次磁化矩恰好抵消。因此 \(\langle M\rangle=0\)，同时 \(\langle|M|\rangle\) 与 \(\langle M^2\rangle\) 可以很大。分布有两个远离零的峰，与均值位于零完全相容。

自发磁化通常按选相极限定义为 \(m_+(T)=\lim_{h\to0^+}\lim_{N\to\infty}\langle m\rangle_{N,h}\)。先让系统变大，再撤去极小的正外场，可以保留正相。如果先在每个有限 \(N\) 上令 \(h=0\)，随后取 \(N\to\infty\)，翻转对称的平均仍为零。极限次序给出了不同问题。

时间平均还涉及第三种极限：观察多久。在理想随机更新满足适当条件时，无限长时间平均可收敛到有限体系平衡平均；实际只有几十或几百个保留样本时，这个极限尚未发生。低温相间跃迁很慢，误差不能只用“样本数看起来很多”判断。

先在“低温困在正相”预设观察轨迹，再切换初态与种子。预期看到的不是每次都完美重合，而是精确分布不变、有限轨迹可能不同。将 \(\langle|m|\rangle\) 当作有限尺寸诊断有帮助，但不要在标签上将它改写为无限体系的自发磁化。

5. 一维转移矩阵：把指数级求和变成矩阵相乘

令 \(K=J/T\)、\(b=h/T\)。将每个格点的外场能量一半分给左键，一半分给右键，定义

行列按 \(s=-1,+1\) 排列。乘积中的每个中间自旋指标被求和，最后的迹让终点与起点相接；因此这不是只在形式上像配分函数，而是逐项相同的状态和。两点环的迹中出现两次同一对自旋的相互作用，正好对应前面的双键约定。

两个特征值为 \(\lambda_\pm=e^K[\cosh b\pm\sqrt{\sinh^2b+e^{-4K}}]\)，从而 \(Z_N=\lambda_+^N+\lambda_-^N\)。有限温度下矩阵各元素严格为正，最大特征值单独占优；热力学极限的每自旋自由能为 \(f_\infty=-T\log\lambda_+\)。

对外场求导得到 \(m_\infty=\sinh b/\sqrt{\sinh^2b+e^{-4K}}\)。任意固定 \(T>0\) 下，\(h\to0\) 给出零。零场无限链的相关函数为 \(q^r\)，其中 \(q=\tanh K\)，相关长度 \(\xi=-1/\log q\) 有限；\(J=0\) 时不同格点独立，可取 \(\xi=0\)。

有限环中，自旋之间有顺、逆两个方向的相关传播路径，因此 \(\langle s_0s_r\rangle_N=(q^r+q^{N-r})/(1+q^N)\)。 在 \(r=N\) 时回到同一个格点，相关为 \(1\)，不能拿无限链的 \(q^N\) 去替代它。实验逐点同时展示有限环的矩阵结果与零场公式。

这也解释了为什么一维平均场给出的有限温度相变有问题：真实链允许畴壁，有限温度下它们破坏长程有序。只有 \(T\to0\) 时相关长度才发散。本段讨论最近邻、有限耦合、无额外长程作用的一维模型。

6. 二维小条带也能用转移矩阵，但还不是无穷二维解

把一整行宽为 \(W\) 的自旋看作一个“行状态” \(a\)，共有 \(2^W\) 种。记行磁化 \(M_a=\sum_i a_i\)、行内周期键和 \(B_a=\sum_i a_i a_{i+1}\)。行间转移矩阵定义为

每次转移完整计入行间键，行内能量与外场各分一半。闭合乘积后，每行被相邻两个转移因子访问，正好补成一份完整行内能量。宽或高为二时，周期键的重数也完整保留。

实验将 \(W=2,3,4\) 的矩阵及从零次到 \(L\) 次的所有矩阵幂列出，再与独立的全状态求和核对。矩阵维数分别为 \(4,8,16\)，规模足够小，可以直接检查某个元素对应的两行自旋。

固定宽度而让长度无限大，仍是一个有限宽条带；不能仅凭最大特征值计算就声称已经解决无限二维系统。二维热力学极限还要求横向宽度增长。矩阵维数随宽度指数增长，也自然引出张量网络、压缩转移算符等后续方法。

7. 真正运行一次抽样：能量变化必须与整个图对得上

从一个构型出发，随机选格点 \(i\)，尝试令 \(s_i\to-s_i\)。其他自旋不动。近邻图的能量变化为 \(\Delta H=2s_i(J\sum_{j\sim i}w_{ij}s_j+h)\)， 邻居列表保留每一条键的重数。CW 的自项常数不变，计算可化为 \(\Delta H=2s_i[J(M-s_i)/N+h]\)。

本页采用固定惰性系数 \(1/2\) 的 Metropolis 更新：接受概率是 \(a(s\to s')=\frac12\min(1,e^{-\Delta H/T})\)。 降低能量的尝试也只有一半概率执行。这样做保留了目标分布，又给理想随机核一个明确的自环。尤其在 \(J=h=0\) 时，若每次都翻转，自旋配置的奇偶性会每步交替；偶数 \(N\) 下每 \(N\) 步取样可能永远只落在一个奇偶子集。惰性更新避免了这个周期性问题。

每次尝试记录选点原始整数、接受原始整数、选中的格点、翻转前后构型、能量变化与接受决定。一个 sweep 定义为 \(N\) 次有放回的随机选点尝试；它并不保证每个格点恰好访问一次。每个 sweep 结束后重算完整能量，防止浮点增量长期累积漂移。

理想均匀选点的转移概率是 \(P(s,s')=a(s\to s')/N\)。将 \(\pi(s)=e^{-H(s)/T}/Z\) 代入，就有

这是详细平衡，不要求两个方向的接受概率相等；相等的是“处在起点的概率×转移概率”。实验保留若干完整边的正反概率流，并使用对数显示非常小的数。公式给出所有允许单点翻转的证明，表格提供可手查的具体见证。

8. 可复现不等于独立：怎样阅读抽样诊断？

实验采用明确的 32 位伪随机整数生成规则，固定种子和初态即可复现轨迹。每次尝试消耗两个原始整数，分别用于选点和接受判断；随机初态另有逐格点原始记录。实际有限位数的伪随机流是实现层面的近似，前一节关于平衡分布的推理针对理想随机核。

先丢弃指定数量的初始 sweeps，再每 sweep 保留一个样本。丢弃期可以降低初态影响，不是已经平衡的证明。同样，运行均值逐渐平坦也可能只是轨迹一直困在同一磁化区域。应同时比较不同初态、不同种子、精确磁化直方图与有限热力学答案。

本页给出的短滞后相关使用整段保留轨迹的均值，按每个滞后的可配对数计算协方差，再除以整段的中心二阶矩。它是描述性诊断；有限样本归一化使某些估计不必严格落在 \([-1,1]\)。常值轨迹的方差为零，相关系数直接标为“不适用”，不会伪造一个有效样本数。

抽样得到的 \(\operatorname{Var}(M)/(NT)\) 与 \(\operatorname{Var}(H)/(NT^2)\) 在页面中称为估计值。它们不能自动附带独立样本的 \(1/\sqrt n\) 误差条。本实验的精确小体系基准，正好可以帮助你看见自相关、相间跃迁与有限观察时间分别造成什么影响。

9. 平均场为何给出一个不同的相变温度？

把周围自旋的影响以平均磁化替代，会得到自洽方程 \(m=\tanh[(K_{\rm MF}m+h)/T]\)。近邻链的 \(K_{\rm MF}=2J\)，方格的 \(K_{\rm MF}=4J\)；CW 的热力学平均场能标是 \(J\)。CW 这里使用 \(N\to\infty\) 的自由能密度，不是有限 \(N\) 独立乘积试探分布的精确变分函数；有限模型仍由二项式求和给出。这里 \(K_{\rm MF}\) 有能量单位，不要与第 5 节无量纲的 \(K=J/T\) 混用。

能够直接解释能量与熵竞争的变分自由能为

端点用 \(0\log0=0\) 连续定义。求导得 \(f'_{\rm MF}=T\operatorname{atanh}m-K_{\rm MF}m-h\)，驻点与自洽方程一致；二阶导数为 \(T/(1-m^2)-K_{\rm MF}\)。稳定局部根上的外场响应是 \(\chi_{\rm MF}=(1-m^2)/[T-K_{\rm MF}(1-m^2)]\)。 不要把其他辅助势的曲率倒数直接当成这个热力学响应。

数值上在有效场坐标 \(y=(K_{\rm MF}m+h)/T\) 中求解 \(Ty-K_{\rm MF}\tanh y-h=0\)。即使很低温时 \(m\) 已浮点舍入成 \(1\)，\(y\) 仍为有限数，能保留驻点与曲率信息。求根区间按导数零点分成单调段；表中列出所有根，局部极大与临界平坦根不会被当成普通稳定响应。

在零场展开熵得 \(f_{\rm MF}=-T\log2+(T-K_{\rm MF})m^2/2+Tm^4/12+\cdots\)。由此得到平均场 \(T_c^{\rm MF}=K_{\rm MF}\) 与 \(m_*\propto(T_c-T)^{1/2}\)。这是近似的推论。对有限 CW，精确二项式求和仍有零场对称平均；对近邻一维链，平均场的有限温度相变本身就是错误预测。

10. 二维精确结果告诉我们：对称性相同，指数也可能不同

无限、各向同性、最近邻铁磁方格在零场有 \(T_c=2J/\log(1+\sqrt2)\)。 它约为 \(2.269185J\)，低于平均场的 \(4J\)。临界曲线会非常陡：磁化连续趋零，但左侧斜率发散；陡直的画面本身不是一阶跳变的证据。选定正相的自发磁化为 \(m_+(T)=[1-\sinh^{-4}(2J/T)]^{1/8}\)（\(0<T<T_c\)），临界及以上为零。这是有严格适用条件的二维结果，不是小方格抽样拟合出来的公式。

临界温度与自由能的精确求解通常联系到 Onsager；自发磁化公式的首个公开推导由 Yang 完成。这里给出结果与条件，不把几行数值曲线包装成完整二维精确解的证明。进一步推导涉及转移矩阵结构、相关函数与行列式极限。

同样的自旋翻转对称性，允许我们写出类似的 Landau 展开，却不能单靠对称性决定真实涨落修正后的指数。上一课的 Ginzburg 判据正是在检查这一点。本页不把有限热容峰位置当作精确相变点，也不把非零外场下的方格曲线称为 Yang 零场解。

11. 先预测，再运行：做三个能够复核的小实验

实验 A：从两点环检查全部因子。 选择“两点环”，打开键表、态密度与转移矩阵。手算四个状态的能量和权重，再核对 \(\operatorname{Tr}\mathsf T^2\)。如果差一个 \(2\)，先查周期键定义；如果外场差一倍，检查分摊到两侧的半权重。

实验 B：故意观察一条不充分的轨迹。 选择“低温困在正相”，记录精确 \(\langle m\rangle\)、精确 \(\langle|m|\rangle\)、轨迹均值与直方图。换初态、种子与保留长度。先写预测：更长是否一定已经跨相？结果没有跨相时，解释为什么“接受率低”与“平均值看似稳定”都不能证明已平衡。

实验 C：比较尺寸、近似与极限。 在零场方格预设观察 \(2\times2\)、\(3\times3\)、\(4\times4\) 的精确响应。比较有限 \(\langle|m|\rangle\)、平均场分支、无限方格 \(m_+\)。指出图中哪条曲线已经用了热力学极限，哪条仍是有限状态和。切到链预设，验证平均场为何不能正确预测一维相变。

前沿入口可以沿三个具体问题继续：怎样用更多尺寸与受控误差做有限尺寸标度？怎样用簇更新缓解临界慢化？怎样压缩宽条带的转移算符而量化截断误差？这些是接续本课的研究方向，本页没有声称已经实现簇算法、临界指数拟合或张量网络求解器。

12. 八个练习与可逐步检查的解答

相关阅读：Tong：从自旋到场提供微观定义与平均场的学习路线；Baxter 对 Onsager–Kaufman 计算的整理列出二维临界条件、自发磁化公式及历史推导背景；Yang 的原始论文是自发磁化推导的文献入口。本课有限图、独立枚举、抽样记录与练习推导可在上述约定下自行复核。