天体 V · 吸积、喷流与高能天体

对标：Frank, King & Raine《Accretion Power in Astrophysics》、Rybicki & Lightman ｜ 前置：致密天体、连续介质、MHD、Schwarzschild 时空 同样一束光，可以来自不同的质量流率；同样的流率，不同内边界与输运机制又能给出不同的谱。本页先把能量、角动量和两面辐射的账接起来，再讨论 MRI、喷流和多信使证据。

1. 效率：表面、轨道绑定能与喷流功率不是一个口径

在弱场中，物质从远处落到半径 \(R\) 的非旋转表面，最多可释放约 \(GM/R\) 的单位质量势能，给 \(\eta_{\rm surface}\sim GM/(Rc^2)\)。但近圆轨道的总机械能为

所以一个零力矩 Kepler 盘只在到达内缘前辐射一半的势能量级。若内缘接一个缓慢旋转的物质表面，边界层还可释放剩余轨道动能；黑洞没有这样的静止物质表面。

白矮星的表面效率通常在 \(10^{-4}\) 量级；中子星需要强场、表面与自旋模型。高效率解释了吸积为何能供给很大的持续光度，但效率与源的大小、光度、自旋之间并非单一无条件对应。

2. Eddington 光度：力平衡的假设写进公式

球对称源在半径 \(r\) 的通量为 \(F=L/(4\pi r^2)\)。若单位质量的通量平均不透明度为 \(\kappa\)，辐射加速度是 \(\kappa F/c\)。与 \(GM/r^2\) 平衡得

完全电离纯氢、Thomson 散射主导时，电子散射截面由电子提供，而惯性质量主要来自质子；静电耦合阻止二者长期分离，因此 \(\kappa\simeq\sigma_T/m_p\)，有

若只考虑完全电离 H/He 混合物，氢质量分数为 \(X\)，单位质量电子数约是纯氢的 \((1+X)/2\)，于是 \(\kappa_{\rm es}\simeq(\sigma_T/m_p)(1+X)/2\)。这不是任意温度、频率和成分都通用的不透明度。

必须区分 \(\lambda=L/L_{\rm Edd}\) 与无量纲质量流率。有人把 \(\dot M_{\rm Edd}\) 定义为 \(L_{\rm Edd}/c^2\)，有人除以一个约定的参考效率 \(\eta_0\)；两个 \(\dot m\) 数值相差 \(\eta_0\)，比较论文前要先读定义。

非球对称辐射、平流、外流、辐射俘获和非稳态都可能改变简单 Eddington 平衡；超 Eddington 不是“一切吸积都禁止”。反过来，以 \(L/L_{\rm Edd}\) 小于某个阈值为由，也不能自动认证光学厚的薄盘。

3. 从角动量输运推到局部通量

设 \(\dot M>0\) 表示向内的稳态质量流率，\(\Sigma\) 为盘面密度，\(v_r<0\)，则 \(\dot M=-2\pi r\Sigma v_r\)。单位质量角动量为 \(\ell=r^2\Omega=\sqrt{GMr}\)。

定义向外传递角动量的正力矩 \(\mathcal T(r)\)。稳态、内缘零力矩时，角动量守恒要求

邻近环带角速度不同；力矩跨过这段角速度差所耗散的功率为 \(\mathcal T(-d\Omega/dr)\,dr\)。两面环带的总面积是 \(4\pi r\,dr\)，所以每一面的局部辐射通量满足

代入 \(\Omega=(GM/r^3)^{1/2}\) 和上面的力矩：

因子 \(3\) 来自角动量输运带来的能量重新分配，不是简单把每个环带的势能变化全都就地辐射。内缘零通量也依赖零力矩假设；磁应力、表面边界层或 GR 内区都可改变它。

总能量与有限外半径

对两面全盘积分，

对有限 \(Y=r_{\rm out}/r_{\rm in}\)，

令 \(f=1-Y^{-1/2}\)，同一个比例等于 \(f^2(3-2f)\)；这在接近内缘时比相近大数相减更稳定。每个对数半径区间的辐射为

它在 \(y=9/4\) 达峰；温度峰却在 \(49/36\)。最热的环带不一定贡献最多光度，因为面积也在变化。

4. 从温度剖面推到真正的多色黑体谱

局部黑体比强度为

黑体从一面向外半空间的通量是 \(\pi B_\nu\)。把两面环带相加，发射总光度谱是

这个 \(L_\nu\) 不是接收端的 \(F_\nu\)。平直空间、远处距离 \(D\)、倾角 \(i\) 且没有遮挡时，一面平盘给 \(F_\nu=(2\pi\cos i/D^2)\int rB_\nu\,dr\)；真实黑洞盘还要考虑引力红移、相对论运动、光线弯曲、盘大气和色温修正。

为复算谱形，令 \(u=h\nu/(k_BT_*)\)、\(\theta(y)=T_{\rm eff}/T_*\)。本页使用的无量纲谱为

利用 Planck 积分 \(\int_0^\infty z^3/(e^z-1)\,dz=\pi^4/15\)，对 \(\ln\nu\) 再积分，应恢复上一节的有限外半径光度比例。这就是频谱与总能量之间的交叉检查。

三个频段的条件。 有限外半径下，足够低频是 Rayleigh–Jeans 的 \(L_\nu\propto\nu^2\)。在存在足够宽的温度范围、且主要发射环带远离两端时，用 \(T\propto r^{-3/4}\)，替换变量 \(z\propto\nu r^{3/4}\)，得到 \(r\,dr\propto\nu^{-8/3}z^{5/3}dz\)；乘上 Planck 前面的 \(\nu^3\)，才产生中频的 \(\nu^{1/3}\)。高频被最高温度控制，进入指数截断。有限盘通常只有近似的中频幂律段；它不是全部频率、全部观测谱都必须满足的“指纹”。

数值积分对每个频率使用同一径向温度与面积权重。为处理内缘的四分之一次温度变化，使用 \(\ln y=t^4\)，此时 \(y\,dy=4t^3e^{2t^4}dt\)。积分仍有有限网格误差，低于数值表示范围的 Wien 尾会下溢；这些数值限制不代表真实谱在某个频率突然严格为零。

5. 时标：轨道转一圈与向内输运差多少？

竖直静力平衡在 Kepler 薄盘中给 \(H\simeq c_s/\Omega\)。用 \(\nu_{\rm kin}=\alpha c_sH\) 参数化输运，得到

本页约定 \(t_{\rm dyn}=1/\Omega\)，轨道周期是 \(2\pi/\Omega\)；常用热时标估计是 \(t_{\rm th}\sim1/(\alpha\Omega)\)。当 \(H/r\ll1\) 时，黏性时标远长于热时标。\(\alpha\) 是有效应力的参数，不是一个适用于所有盘的自然常数。

分子黏性是否足够，要代入具体密度、碰撞截面、温度与尺度计算，不能无条件说“永远差十几个数量级”。许多天体盘需要额外角动量输运；磁应力、磁风、自引力结构等机制的适用范围也不同。

6. MRI：先看线性不稳定性，再谈湍流输运

纯流体的局域轴对称 Rayleigh 条件检查 \(d\ell^2/dr>0\)。Kepler 盘的 \(\ell^2=GMr\)，满足这个稳定条件；但磁张力能让不同半径的流体交换角动量，因此要重新检查。

在理想 MHD、局域不可压、弱垂直背景磁场、轴对称竖直波数 \(k\) 的 Kepler 模型中，径向和方位位移满足

代入 \(e^{-i\omega t}\) 并令行列式为零，取 \(q=kv_A/\Omega\)，得

两支平方频率是

当 \(0<q<\sqrt3\)，低支为负，产生指数增长；\(q=0\) 和临界端点是中性边界，不能把它们算作严格增长。对增长率平方求导可得最大值位于 \(q=\sqrt{15}/4\)，且 \(\gamma_{\max}=3\Omega/4\)。

这不是“任意弱场、任意尺度都自动湍流”的结论。不稳定波长必须能放进盘的有效尺度，流体近似必须适用，磁场与流体必须充分耦合；电阻、Hall、双极扩散等非理想项会改变结果。线性增长率也不能直接给出非线性饱和的 \(\alpha\)。

7. 喷流：视超光速来自光行时

某团物质以 \(v=\beta c<c\) 运动，与视线夹角为 \(\theta\)。两次发射在源系相隔 \(\Delta t\)；第二个发射位置更靠近观察者，光程缩短 \(\beta c\Delta t\cos\theta\)。因而

用到达时差去除横向位移，得到

最大值出现在 \(\cos\theta=\beta\)，为 \(\beta_{\rm app,max}=\Gamma\beta=\sqrt{\Gamma^2-1}\)。所以测得视超光速可以给 \(\Gamma\ge\sqrt{1+\beta_{\rm app}^2}\) 的运动学下界；它不表示物质或信息超光速。

多普勒因子为 \(\delta=[\Gamma(1-\beta\cos\theta)]^{-1}\)。增亮还取决于频谱、发射区几何和连续流或离散团块的模型，不能给所有喷流套同一个增亮指数；从角位移反推 \(\beta_{\rm app}\) 还要使用角直径距离和宇宙学时间膨胀。

喷流的能量来源

Blandford–Payne 机制从转动盘的磁离心风出发；Blandford–Znajek 机制通过磁场抽取黑洞总质量能中的转动部分。对 Kerr 黑洞，

理想极端极限的可提取转动能上界约为 \(0.293Mc^2\)。这不是当前吸积物质的辐射效率：若喷流还在消耗已有自旋能，以新流入物质的 \(\dot Mc^2\) 为分母定义的外流效率可以超过 \(1\)，总能量仍守恒。磁阻滞盘模拟展示过这种情形，不能把模拟中的特定效率当成所有真实源的固定值。原始数值研究

8. 高能天体分类与多信使证据

AGN 的观测角度与遮挡能解释许多类别差异，但不是所有 AGN 差异的唯一参数。GRB 的长短是观测分类，不能与成因一一对应：GRB 211211A 的长持续时间同时伴有千新星证据，支持并合起源。NASA 观测说明

GW170817 的时间线。 2017 年双中子星并合的引力波之后约 \(1.74\pm0.05\) 秒探测到 GRB 170817A，随后光学、红外和其他波段陆续观测到对应体。它们来自关联事件，不是所有信使都在同一时刻到达。

它支持中子星并合至少是一类短 GRB 的来源，千新星提供 r 过程核合成的证据；标准汽笛还可以结合宿主红移测量距离—膨胀关系。单次事件并不自动解决全部 r 过程来源或哈勃常数张力。

速度检验不是证明严格相等。 传播速度差与源内发射时差会共同影响到达时差。原研究使用保守距离 \(26\ {\rm Mpc}\)，并考虑伽马射线相对引力波的发射延迟从 \(0\) 到约 \(10\) 秒，给出

这是带发射时差假设的严格约束，不是实验数学式地证明 \(v_{\rm GW}=c\)。改变源内延迟假设会改变约束。LIGO–Virgo–Fermi–INTEGRAL 原论文 §4.1

9. 把基础模型推进到研究问题

每一步扩展都要保留能核对的量：把 Newton 通量换成 GR 盘模型后，重新积分到无穷远接收的能量；加入盘大气后，区分有效温度与色温；加入平流和风后，明确流率随半径的变化及辐射、机械与磁能分配；从 MRI 线性模式走向非线性辐射 MHD 时，检查应力、磁通量和数值分辨率，而不是只调一个 \(\alpha\) 拟合曲线。

喷流研究还需区分盘与黑洞自旋供能、磁化程度、粒子成分和辐射机制。多信使研究则要把传播模型与源模型一起写进推断。这些问题都以本页的守恒账和适用条件为起点；更复杂的计算不会免除这些检查。

10. 完整练习

练习 A：盘的两面与能量预算

证明全盘效率为 \(1/(2x_{\rm in})\)，再算外半径 \(4r_{\rm in}\) 以内辐射了多少。最后解释 \(x_{\rm in}=6\) 时为何不能混用 Schwarzschild 效率。

练习 B：温度峰与黏性时标

求 \(T_{\rm eff}\) 的峰位置。再对默认 \(10M_\odot,r=10r_g,\alpha=0.01,H/r=0.05\)，比较动力学、轨道、热和黏性时标。

练习 C：视超光速与喷流运动

取 \(\beta=0.99,\theta=5^\circ\)，求 \(\Gamma,\delta,\beta_{\rm app}\)。如果只测得 \(\beta_{\rm app}=6\)，可以推出什么？

练习 D：类星体的流率与观测时差

\(L=10^{40}\ {\rm W}\)、\(\eta=0.1\) 时求流率。另用 \(D=26\ {\rm Mpc}\)、观测延迟 \(1.74\ {\rm s}\)，估算发射延迟 \(0\) 与 \(10\ {\rm s}\) 对速度差的影响。

来源与延伸：UMD 薄盘能量与光谱讲义、NAOJ 局域 MRI 色散与非理想效应讲义。下一页：星系与暗物质。