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天体 IV · 致密天体与简并压

对标：Shapiro & Teukolsky《Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars》/ Glendenning ｜ 前置：量子统计、Schwarzschild 几何、核结构、恒星结构 核燃料耗尽后，温度下降为什么不一定导致恒星立刻坍缩？电子的 Pauli 排斥能提供压力，但“有压力”还不够：必须检查压力随半径的变化，是否恰好平衡引力。这一页把微观状态方程、整体结构和几何边界逐层接起来。

学习层：压强很大，是否就足以支撑？

1. 从一个可以失败的模型开始

白矮星主要由电子简并压支撑；中子星必须用核物质状态方程与广义相对论结构方程；黑洞的视界属于几何问题。先预测非相对论压力的密度指数、白矮星半径随质量的趋势、极端相对论标度留下的质量尺度，再判断所选对象应使用哪类模型。

揭示后调节质量、半径和组成，比较当前费米动量下的完整零温压力与两个渐近式。切换中子星后，试着只改 EOS，看质量积分保持成立时，两条压力梯度是否仍重合。我们给定 \(M,R\) 作诊断，不把每一个输入都当作平衡星，也不预填一个“算出的最大质量”。

2. 白矮星：从平均密度得到标度诊断

记 \(m_u\) 为原子质量单位，\(\mu_e\) 为平均每电子对应的重子数。忽略小的核结合能质量修正，均匀球的平均电子数密度为

\[n_e\simeq\frac{3M}{4\pi R^3\mu_e m_u},\qquad p_F=\hbar(3\pi^2n_e)^{1/3},\qquad x=\frac{p_F}{m_ec}.\]

下文推导的 \(P_{\rm NR}\propto n_e^{5/3}\)、\(P_{\rm ER}\propto n_e^{4/3}\)，分别只在 \(x\ll1\) 与 \(x\gg1\) 可靠；中间应使用完整积分。实验将它们与 \(P_G\sim GM^2/R^4\) 比较。\(P_G\) 是尺度，不是解出结构后的精确中心压力，所以比值等于 1 也不是平衡星的证明。

蓝色质量—半径线是指定归一化的 \(R_{\rm NR}=7000\,\mathrm{km}(M/M_\odot)^{-1/3}(2/\mu_e)^{5/3}\)。它用于观察幂律；曲线上的系数不是完整白矮星求解器的输出，更不能延伸到任意相对论区。金点表示当前独立输入，通常不在这条线上。

3. 中子星：满足一条方程，不等于满足两条

本页统一约定 \(\rho=\varepsilon/c^2\)，其中 \(\varepsilon\) 是包含静质量与内能的总能量密度。它不是静质量密度。静态、球对称、各向同性完美流体满足

\[\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho,\qquad \frac{dP}{dr}=-\frac{G(\rho+P/c^2)(m+4\pi r^3P/c^2)}{r^2[1-2Gm/(rc^2)]}.\]

\(m(r)\) 是引力质量函数；\(r\) 是面积半径。普通静态星内部须有 \(2Gm/(rc^2)<1\)。先故意指定一个简单剖面，令 \(f=r/R\)：

\[\rho(r)=\rho_c(1-f^2),\qquad \rho_c=\frac{15M}{8\pi R^3},\qquad m(r)=\frac M2(5f^3-3f^5).\]

直接积分 \(4\pi\rho_cR^3\int_0^f(u^2-u^4)\,du\) 即得此式，也可微分验证质量方程，且 \(m(0)=0,m(R)=M\)。这是按构造满足质量方程，不是检验压力平衡的证据。

给定教学 EOS \(P=P_0(\rho/\rho_0)^\Gamma\)，其中 \(\rho_0=3\times10^{17}\,\mathrm{kg/m^3}\)；软参数为 \((P_0,\Gamma)=(2.0\times10^{33}\,\mathrm{Pa},2)\)，在参考密度及以上较硬的参数为 \((2.5\times10^{33}\,\mathrm{Pa},2.2)\)。于是它实际提供的负压力梯度为

\[g_{\rm EOS}\equiv-\frac{dP_{\rm EOS}}{dr} =\frac{2\Gamma P_0}{R}\left(\frac{\rho_c}{\rho_0}\right)^\Gamma f(1-f^2)^{\Gamma-1}.\]

将同一组 \(m,\rho,P\) 代入 TOV 右端的负号之后，得到所需的梯度大小 \(g_{\rm TOV}\)。实验用同一纵轴绘制二者，并显示

\[\mathcal R=\frac{g_{\rm EOS}-g_{\rm TOV}}{\max(|g_{\rm EOS}|,|g_{\rm TOV}|)}.\]

\(\mathcal R=0\) 才表示这一点满足压力方程；某点相等也不能代替整条剖面。中心与表面两项皆零时，相对残差是 \(0/0\)，显示“未定义”，不伪造完美精度。

还有两条适用域检查。因为此处 \(\rho=\varepsilon/c^2\)，声速为

\[\frac{c_s^2}{c^2}=\frac{dP}{d\varepsilon}=\frac{\Gamma P}{\rho c^2}.\]

若超过 1，这个 EOS 参数化就违反因果性，不能靠“更硬所以更能支撑”解释。内部紧致度为 \(2Gm/(rc^2)=(2GM/Rc^2)(5f^2-3f^4)/2\)，在 \(f=\sqrt{5/6}\) 达到表面值的 \(25/24\) 倍。仅检查 \(R>r_s\) 仍不够；给定剖面内部也可能已经无静态区。

4. 互动实验

JavaScript 不可用时：取中子星输入 \(M=1.4M_\odot,R=12\,\mathrm{km}\)。表面 \(2GM/(Rc^2)\approx0.345\)，内部最大值约 0.359，尚未碰到几何限制。将 \(f=1/2\) 代入上式，分别算软 EOS 的压力梯度与 TOV 需求。即使 \(m(R)=M\) 精确成立，两个梯度一般不同；这说明它是用来找出失败的试探剖面，不是完整静水平衡解。

5. 从诊断走向真正的结构计算

要得到物理的质量—半径曲线，需选定 EOS 和中心密度，以 \(m(0)=0\) 及规则中心展开开始，同时积分质量与压力方程，找到 \(P(R)=0\) 的表面。扫描中心密度得到一族解，再分析径向稳定性；最大质量需要这条解族和稳定性判断。本实验没有完成这些步骤，因此最大质量显示“未求解”。同理，中子星曲线不能由几个人工半径点替代。中子星结构与 TOV 讲义

零温电子费米压力及非相对论、极端相对论渐近式；比较近似误差。

图 ap-04.1先判断状态方程是否适用，再谈星体结构。横轴 \(x=p_F/(m_ec)\)；上图为无量纲压力积分，下图为两个渐近式对完整零温压力的比值。相对论过渡不会突然跳变，但单个幂律会逐渐失准。

1. 简并压：零温仍有动量通量

在 \(T=0\) 的无相互作用、自旋 \(1/2\) 费米气体中，每个动量态容纳两种自旋，填至 \(p_F\)。态计数给出

\[n_e=\frac{2}{(2\pi\hbar)^3}\frac{4\pi p_F^3}3=\frac{p_F^3}{3\pi^2\hbar^3}.\]

各向同性气体的压力是动量通量的三分之一；用相对论速度 \(v=pc^2/\sqrt{p^2c^2+m_e^2c^4}\)：

\[P=\frac1{3\pi^2\hbar^3}\int_0^{p_F}p^3v(p)\,dp =\frac{m_e^4c^5}{3\pi^2\hbar^3}I(x),\qquad I(x)=\int_0^x\frac{u^4}{\sqrt{1+u^2}}\,du.\]

其解析式为

\[I(x)=\frac{x(2x^2-3)\sqrt{1+x^2}+3\operatorname{arsinh}x}{8}.\]

小 \(x\) 时上式有大项相消，数值计算用 \(I=x^5/5-x^7/14+x^9/24-\cdots\)；大 \(x\) 时自然趋向 \(x^4/4\)。由此得到

\[P_{\rm NR}=\frac{\hbar^2}{5m_e}(3\pi^2)^{2/3}n_e^{5/3},\qquad P_{\rm ER}=\frac{\hbar c}{4}(3\pi^2)^{1/3}n_e^{4/3}.\]

这里的压力不是粒子“不愿意被挤”的拟人描述，而是占据更高动量态产生的动量通量。白矮星完整零温 EOS 推导

有限温度边界：当 \(k_BT\ll E_F^{\rm kinetic}\) 时，简并项主导，但存在热修正、离子压力、库仑作用等。加热时压力对温度反应较弱，可能削弱膨胀降温反馈；是否热失控仍取决于核加热、热输运、几何与简并程度，不能说“任何能量注入都不会引起膨胀”。

2. 白矮星：质量尺度从哪里来？

用 \(n_e\propto M/(\mu_eR^3)\) 与 \(P_G\sim GM^2/R^4\)：非相对论平衡给出 \(R\propto\mu_e^{-5/3}M^{-1/3}\)。质量增大时密度及 \(p_F\) 升高，电子逐渐相对论化。极端相对论压力也正比 \(R^{-4}\)，平衡中半径消去，得到

\[M_{\rm Ch}\sim\left(\frac{\hbar c}{G}\right)^{3/2}\frac1{\mu_e^2m_u^2}.\]

标度只能给质量尺度，不能给精确系数。对冷、非旋转、理想电子 EOS、牛顿引力的 \(n=3\) 多方球，令

\[K=\frac{\hbar c}{4}(3\pi^2)^{1/3}(\mu_em_u)^{-4/3},\qquad \omega_3=-\xi_1^2\theta'(\xi_1)\approx2.01824.\]

上一页的 Lane–Emden 结构给出

\[M_{\rm Ch}=4\pi\left(\frac K{\pi G}\right)^{3/2}\omega_3\approx\frac{5.83}{\mu_e^2}M_\odot.\]

\(\mu_e=2\) 时约 \(1.46M_\odot\)。GR、库仑修正、组成与电子俘获等会改变实际边界；不能把这一理想极限当所有致密星的上限，也不能由极限本身预测完整爆炸过程。

Ia 超新星的用法：Ia 与白矮星热核爆炸相关，但触发通道不只“吸积到 \(M_{\rm Ch}\)”。亚 Chandrasekhar 双爆轰也有观测支持。它们用于测距需要按光变形状、颜色等作经验标准化，不是每次爆炸都天然具有完全相同的峰值光度。ESO：亚极限双爆轰的观测证据

3. 中子星：强作用与广义相对论都要参加

电子俘获 \(e^-+p\to n+\nu_e\) 及核反应会改变致密核心组成。中子星内部是以富中子物质为主、含质子与轻子的体系，可能还有更复杂相；压力包括简并与相互作用，不能把电子质量换成中子质量就称作精确 EOS。

典型 \(M\sim1.4M_\odot,R\sim10\text{--}12\,\mathrm{km}\)，平均密度为几 \(10^{17}\,\mathrm{kg/m^3}\)，与核饱和密度同量级；中心密度更高。\(GM/(Rc^2)\) 约 0.17–0.21，GR 修正不可忽略。

TOV 相对牛顿梯度多出三个因子：\(1+P/(\rho c^2)\)、\(1+4\pi r^3P/(mc^2)\)、\([1-2Gm/(rc^2)]^{-1}\)。在正常静态内部它们增大所需压力梯度；这说明压力也参与引力源，但不是仅凭一句话就证明任意 EOS 必然在某个预设质量坍缩。

约 \(2M_\odot\) 的脉冲星质量测量要求候选 EOS 能支撑相应质量；引力波潮汐形变、X 射线脉冲轮廓等提供互补约束，其解释涉及 EOS、辐射模型与事件假设。质量上限的约束和某个精确的“已知最大质量”不是同一件事。

脉冲星的周期性信号来自自转与辐射束几何；不是所有中子星的束都会扫过地球。坍缩时角动量守恒能加速自转，但转动惯量、角动量损失和差分旋转都重要。毫秒脉冲星通常由双星吸积转移角动量而被再加速，不是直接把整颗恒星半径缩小就能解释。NASA Fermi：脉冲星与再循环

4. 黑洞：几何边界不能当另一条压力曲线

在球对称、无旋转、无电荷的 Schwarzschild 外部，\(r_s=2GM/c^2\)。普通静态星的表面不能处于该视界以内；进入这一边界，应停止使用这里的静态星体压力解释。旋转黑洞需改用 Kerr 几何，其视界不由同一个面积半径代数式概括。

通常所说的黑洞无毛结论有前提：在四维 GR 中，对稳态、渐近平直、电真空及满足相应规则性条件的黑洞，外部由质量、角动量、电荷表征。周围吸积物、动态扰动或其他场理论不能不加说明地塞进这个结论。黑洞唯一性定理的假设

观测会组合多条证据：双星与银心轨道限制集中质量；引力波波形在理论模型下约束质量与自旋；EHT 的辐射环和阴影结构约束强引力区的几何与辐射模型。它们不是直接拍到一个发光的事件视界，详见黑洞与引力波。

非旋转黑洞的 Hawking 温度为 \(T_H=\hbar c^3/(8\pi GMk_B)\)，恒星质量下约 \(10^{-8}\text{--}10^{-7}\,\mathrm K\)。若处于今天的 CMB 辐射场，吸收可超过 Hawking 发射，净质量增加；净吸收不意味着理论上没有 Hawking 发射。这种黑洞辐射尚无直接天体观测确认。

5. 三个迁移练习

例 1｜一茶匙的单位账。取 5 mL，分别代入 \(10^9\) 与 \(3\times10^{17}\,\mathrm{kg/m^3}\)。计算等体积质量。为什么不宜把这个类比理解为可以舀出一勺稳定中子星物质？

查看换算与物理边界

\(5\,\mathrm{mL}=5\times10^{-6}\,\mathrm{m^3}\)。对应 \(5\times10^3\,\mathrm{kg}=5\) 吨，以及 \(1.5\times10^{12}\,\mathrm{kg}=15\) 亿吨。这只是密度乘体积；拿掉星体引力和环境压力，物质会演化，不能将原状态不变地搬到桌面。

例 2｜压力的幂律为什么变了？若 \(n_e\) 增至 8 倍，求 \(p_F\)、NR 压力、ER 压力的倍数。原来 \(x=0.8\) 时能否无条件选其中一个幂律？

查看标度与过渡区

\(p_F\) 增至 2 倍；NR 式增至 \(8^{5/3}=32\) 倍，ER 式增至 \(8^{4/3}=16\) 倍。由 \(x=0.8\) 到 1.6 跨在过渡区，真实压力倍数应由 \(I(1.6)/I(0.8)\) 求，不能将两个渐近式之一当成精确关系。

例 3｜表面还没到视界，内部就安全吗？对实验的试探剖面，设表面 \(2GM/(Rc^2)=0.98\)。求内部最大值；它是否可作普通静态星？

查看内部几何检查

对 \(q(f)=(5f^2-3f^4)/2\) 求导，\(q'=5f-6f^3\)，极大点 \(f=\sqrt{5/6}\)，\(q_{\max}=25/24\)。所以内部最大紧致度 \(0.98\times25/24\approx1.02083>1\)。这一给定剖面已违反普通静态 TOV 内部的条件，尽管表面仍在 \(r_s\) 之外；不能继续用它给出“压力足够”的结论。

下一页从静态支撑转向吸积：物质落向致密天体时，引力势能怎样转成辐射？