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随机过程 IV · 布朗运动与鞅（一瞥）

从终点无法判断一条路径是否曾经越界。布朗运动让这个差别可以精确计算；鞅则说明，何时能把固定时刻的条件期望结论延伸到随机停止时刻。本页保留入门定位，但把极限、路径和停时各自需要的条件写出来。

学习层：最大值看到的，比终点更多

1. 本页要学会什么

本页实验只处理从 \(B_0=0\) 出发的标准布朗运动。你要区分四件事：终点事件 \(\{B_T\ge a\}\)、路径事件 \(\{M_T\ge a\}\)（其中 \(M_T=\max_{0\le s\le T}B_s\)）、首次通过时间 \(\tau_a=\inf\{t\ge0:B_t\ge a\}\)，以及密度 \(f_{\tau_a}\)。固定 seed 的折线只负责让“路径可能先越界、最后又回来”可见；反射原理和解析公式才是定理证据。

先写下预测，再打开实验：

  1. 当 \(a>0,T>0\) 时，\(P(M_T\ge a)\) 是 \(P(B_T\ge a)\) 的几倍？
  2. \(P(\tau_a\le T)\) 应该等于最大值事件、终点事件，还是密度在 \(T\) 的数值？
  3. 若 \(a\le0\) 或 \(T=0\)，起点 \(B_0=0\) 会怎样改写上面的连续公式？

2. 反射原理账本

对正阈值 \(a>0\)，把所有在 \(T\) 前首次到达 \(a\)、但最终落在 \(a\) 以下的路径，在首次到达时刻之后关于水平线 \(a\) 反射。反射后的终点落在 \(a\) 以上，且这一步保持 Wiener 路径的概率结构，因此

\[ P(M_T\ge a)=2P(B_T\ge a)=2\left[1-\Phi\left(\frac a{\sqrt T}\right)\right], \qquad a>0,\ T>0. \]

又因为 \(\{\tau_a\le T\}=\{M_T\ge a\}\)，所以首次通过时间的 CDF 是

\[ F_{\tau_a}(T)=2\left[1-\Phi\left(\frac a{\sqrt T}\right)\right], \qquad f_{\tau_a}(t)=\frac{a}{\sqrt{2\pi}\,t^{3/2}}\exp\left(-\frac{a^2}{2t}\right),\quad t>0. \]

这里的“密度”不是把 CDF 再除以 \(T\)，而是对上式真正求导。特别是终点越界概率只看一个时刻，而最大值事件看整条连续路径；二者差的正是那些“先上穿、后回落”的路径。

3. 边界、反例与迁移

  • 若 \(a<0\)，以及按 \(\tau_a=\inf\{t\ge0:B_t\ge a\}\) 的约定取 \(a=0\)，起点已经在阈值上方或阈值处，所以 \(\tau_a=0\) 几乎处处，CDF 在 \(0\) 有原子，不能继续声称上面的 \(t>0\) 密度覆盖全部分布。
  • 若 \(T=0\)，\(B_0=M_0=0\)：\(a>0\) 时两个越界事件概率都是 \(0\)；\(a\le0\) 时都是 \(1\)。因此不能把 \(T>0\) 的连续正态端点公式机械代入 \(T=0\)，也不能把 \(2P(B_0\ge a)\) 当作一般反射定理。
  • 反例：一条离散采样路径没有越过 \(a\)，不代表连续路径没有越过；线性插值也不等于 Brownian 桥的精确条件分布。固定 seed 图像是直觉材料，不是有限 Monte Carlo 对定理的证明。
  • 迁移：带漂移的 \(X_t=\mu t+\sigma B_t\)（\(\sigma>0\)）满足越界条件 \(B_t\ge(a-\mu t)/\sigma\)，减去漂移会把常数阈值变成移动边界，不能再直接套固定阈值反射式；离散随机游走的首次越界还会遇到跳跃和格点 overshoot，不能直接照抄连续密度。

4. 动手实验：预测门、解析账本和固定路径

实验默认 \(a=1,T=1\)。答案提交前，理论读数和路径图保持隐藏；提交后可以切换 \(a\)、\(T\)，直接查看解析概率、首次通过密度和固定 seed 的三条离散路径。改变 \(a\) 保留网格值；改变 \(T\) 则把同一单位区间的样本按 \(\sqrt T\) 缩放，并不是截取某条更长路径的前缀。程序使用有限精度伪随机数，折线不作为 Monte Carlo 频率估计。

JavaScript 失效时的静态读法： 默认 \(a=T=1\)。记 \(\Phi\) 为标准正态 CDF，则

\[ P(B_1\ge1)=1-\Phi(1)\approx0.1587, \quad P(M_1\ge1)=P(\tau_1\le1)=2[1-\Phi(1)]\approx0.3173, \]

并且

\[ f_{\tau_1}(1)=\frac{e^{-1/2}}{\sqrt{2\pi}}\approx0.2420. \]

边界读法是：\(a\le0\) 时 \(\tau_a=0\) 有点质量；\(T=0,a>0\) 时三种越界/CDF 数值为 \(0\)，而 \(T=0,a\le0\) 时起点事件为 \(1\)。固定 seed 路径只用于视觉检查“最大值不由终点完全决定”，不用于证明反射原理。程序还保留概率的自然对数：例如 \(a=3,T=.05\) 时最大值越界概率约为 \(4.8464\times10^{-41}\)，不能因为小数显示不足就当成零。解析公式和其数值求值应分开，反射差中的末位舍入不代表定理失效。

1. 从随机游走到布朗运动：极限究竟在哪里？

设 \(\xi_k\) 独立同分布、均值 \(0\)、方差 \(1\)，\(S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k\)。把 \(n^{-1/2}S_{\lfloor nt\rfloor}\) 作线性插值。Donsker 不变原理说明，它作为 \(C([0,T])\) 上的随机函数，依分布趋向标准布朗运动。这里只要求有限方差；对称 \(\pm1\) 步长是最直接的例子。

普通 CLT 可以解释单个时刻的正态极限，但各时刻的极限不自动给出连续路径空间中的收敛；还需要联合有限维分布及紧性等论证。步长满足 \((\Delta x)^2/\Delta t\to1\) 给单位方差率，若趋于常数 \(\sigma^2>0\)，则得到 \(\sigma B_t\)；不是只有字面上的 \(\Delta x=\sqrt{\Delta t}\) 才能出现非平凡极限。

1.1 定义与信息流

标准布朗运动满足 \(B_0=0\)，具有几乎必然连续的轨道，并且对 \(0\le s<t\)，

\[ B_t-B_s\sim N(0,t-s), \]

不相交时间区间的增量独立。讨论相对于信息流 \((\mathcal F_t)\) 的布朗运动时，还要求 \(B_t\) 适应于它，且 \(B_t-B_s\) 独立于 \(\mathcal F_s\)。不能任意把未来信息提前加入过滤后仍宣称鞅性质成立。

也可以先构造相容的高斯有限维分布，再用 \(\mathbb E|B_t-B_s|^p=C_p|t-s|^{p/2}\)（\(p>2\)） 和连续性定理取得连续版本。修改版本指每个固定时刻几乎必然相等；涉及整条轨道时还须留意零概率集合与量词。

由增量独立性，

\[ \mathbb EB_t=0,\quad \operatorname{Var}(B_t)=t,\quad \operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t). \]

例如 \(s\le t\) 时， \(\mathbb E[B_sB_t]=\mathbb E[B_s^2]+\mathbb E[B_s(B_t-B_s)]=s\)。 布朗运动本身不平稳，因为方差随时间变化；平稳的是增量分布。

1.2 缩放、不可导与二次变差

对 \(c>0\)，过程 \((B_{ct})_{t\ge0}\) 与 \((\sqrt c\,B_t)_{t\ge0}\) 同分布，不是在同一条样本上处处相等。连续版本以概率 \(1\) 处处不可导，并在任意固定紧区间上具有任意 \(\alpha<1/2\) 阶的 Hölder 连续性；这些是路径定理，有限分辨率的折线不能证明它们。

给定 \([0,T]\) 上一列确定性分割，网格大小 \(|\Pi_n|\to0\)，令 \(Q_n=\sum_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})^2\)。高斯增量独立且 \(\operatorname{Var}(Z^2)=2v^2\)（\(Z\sim N(0,v)\)），所以

\[ \mathbb EQ_n=T,\qquad \operatorname{Var}(Q_n)=2\sum_i(\Delta t_i)^2 \le2T|\Pi_n|\longrightarrow0. \]

因此 \(Q_n\to T\) 在 \(L^2\) 中成立。对二进制等分，偏离固定误差的概率可求和，Chebyshev 与 Borel–Cantelli 进一步给出几乎必然收敛。不能把这个结论改成“所有任意选取的随机分割都自动有同一种收敛”。

连续且有限全变差的函数满足 \(\sum(\Delta f)^2\le\max|\Delta f|\sum|\Delta f|\to0\)。 布朗运动在 \(T>0\) 时有非零二次变差，因此几乎必然不是有限全变差路径。符号“\((dB)^2=dt\)”是这种极限规律在随机积分中的记法，不是普通微分的代数恒等式。

2. 反射原理、首次通过与网格漏检

首次到达后反射的折线示意，以及最大值和终点事件的解析概率曲线

图 2.1左图是人为选定的折线反射示意，不是完整布朗样本；它说明反射如何交换两个终点。右图是正阈值 a=1 时的解析概率，两条曲线始终相差两倍。手机可横向滚动。

对 \(a>0\)，连续性保证首次达到“\(\ge a\)”时恰好等于 \(a\)。在 \(\tau_a\) 有限的事件上，停时之后的增量具有独立标准布朗运动的条件分布，这是强 Markov 性，比仅在确定时刻成立的独立增量更强。再用增量正负对称性，首次到达后的反射保持路径律，由此得到前面列出的最大值公式；这里不需要预先假定必然到达。

2.1 几乎必然到达，期望却无穷

当 \(T\to\infty\)，\(2[1-\Phi(a/\sqrt T)]\to1\)，所以 \(\tau_a<\infty\) 几乎必然。但

\[ \Pr(\tau_a>t)=2\Phi(a/\sqrt t)-1 \sim\sqrt{\frac2\pi}\,\frac a{\sqrt t}, \qquad \mathbb E\tau_a=\int_0^\infty\Pr(\tau_a>t)\,dt=\infty. \]

“最终会到”不等于“平均等待有限”。密度积分为 \(1\)，并不意味着它的一阶矩也有限。布朗缩放还给 \(\tau_a\overset d=a^2\tau_1\)。

2.2 端点都低于阈值，桥仍可能越过

在长为 \(\Delta t>0\) 的一个区间，两端值为 \(x,y<a\)。给定这两个端点，内部是 Brownian 桥，越过 \(a\) 的条件概率为

\[ p_{\rm bridge} =\exp\left[-\frac{2(a-x)(a-y)}{\Delta t}\right]. \]

这是反射后的终点密度与原终点密度之比：

\[ \frac{\exp[-(2a-y-x)^2/(2\Delta t)]} {\exp[-(y-x)^2/(2\Delta t)]} =p_{\rm bridge}. \]

若任一端点已经达到阈值，概率为 \(1\)。给定全部网格值后，各个区间的桥条件独立；若网格均低于 \(a\)，至少一个区间发生连续越界的条件概率为 \(1-\prod_i(1-p_i)\)。实验第二份账本显示这个量，计算时用对数保留很小的跨越概率。

例如 \(x=y=0,a=1,\Delta t=1\)，尽管线性插值整段为零，桥仍以 \(e^{-2}\approx.1353\) 的概率上穿 \(1\)。反过来，网格已经上穿只说明连续路径也已上穿；首次网格达标时刻通常晚于真实首次通过时间。

这些条件公式属于理想高斯过程。固定种子、有限位数的 Box–Muller 生成和折线仅是可复现数值展示，不能把所有连续越界位置直接从三个样本恢复出来。

3. 鞅：条件期望与信息

离散过程 \((M_n)\) 关于过滤 \((\mathcal F_n)\) 是鞅，要求：

不等号“\(\ge\)”给下鞅，“\(\le\)”给上鞅。它们描述条件期望方向，不保证每条路径或每一步都向相同方向走。过滤表示当前可用的信息，不一定只能取过程自身的自然历史。

若 \(\xi_{n+1}\) 独立于 \(\mathcal F_n\)、等概率为 \(\pm1\)，\(S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k\)，则

\[ S_n,\qquad S_n^2-n,\qquad \frac{e^{\theta S_n}}{(\cosh\theta)^n} \]

都是鞅。第二式由 \(\mathbb E[(S_n+\xi_{n+1})^2\mid\mathcal F_n]=S_n^2+1\)； 第三式由 \(\mathbb Ee^{\theta\xi_{n+1}}=\cosh\theta\)。

连续时间下，要求对所有 \(s\le t\) 有 \(\mathbb E[M_t\mid\mathcal F_s]=M_s\)。相对于布朗信息流，

\[ B_t,\qquad B_t^2-t,\qquad \exp(\theta B_t-\theta^2t/2) \]

也都是鞅；高斯独立增量可以逐项验证。平方减补偿的形式在离散和连续时间中互相对应。

4. 可选停时：必须写出的条件

非负整数值随机时间 \(\tau\) 是停时，若 \(\{\tau\le n\}\in\mathcal F_n\)：到第 \(n\) 步时就能决定是否已经停止。“第一次达到目标”是停时；“最后一次达到目标，然后才结束观察”通常需要未来信息，不能直接当作停时。

有界停时版。 若 \((M_n)\) 是鞅，且 \(\tau\le N\) 几乎必然，其中 \(N\) 是确定整数，则

\[ \mathbb E M_\tau=\mathbb E M_0. \]

证明把停止值写成

\[ M_\tau=M_0+\sum_{k=1}^N \mathbf1_{\{\tau\ge k\}}(M_k-M_{k-1}). \]

指标 \(\mathbf1_{\{\tau\ge k\}}\) 在第 \(k-1\) 步已知；对 \(\mathcal F_{k-1}\) 取条件期望，每项为零。

对无界但几乎必然有限的 \(\tau\)，可以先对 \(\tau\wedge n\) 用有界版，再考虑令 \(n\to\infty\)。不能只凭几乎必然收敛就交换极限和期望。 一项充分条件是停止后的族 \(\{M_{\tau\wedge n}\}_{n\ge1}\) 一致可积：

\[ \lim_{K\to\infty}\sup_n \mathbb E\!\left[|M_{\tau\wedge n}| \mathbf1_{\{|M_{\tau\wedge n}|>K\}}\right]=0. \]

这保证 \(L^1\) 收敛并保住期望。统一有界的停止值就是一个容易检查的特例。另一个实用充分条件是 \(\mathbb E\tau<\infty\) 且鞅增量有统一绝对界；此时用可积的 \(|M_0|+C\tau\) 控制停止过程。

4.1 反例：公平游走等到第一次赚到一元

从 \(S_0=0\) 出发的对称整数游走，取 \(\tau=\inf\{n:S_n=1\}\)。上一页的常返性说明 \(\tau<\infty\) 几乎必然，但 \(S_\tau=1\)，所以 \(\mathbb ES_\tau=1\ne0\)。这不反驳 OST：停止过程不一致可积，且 \(\mathbb E\tau=\infty\)。若误把“几乎必然最终停止”当作唯一条件，就会得出错误等式。

布朗运动等到首次到达 \(a>0\) 也给出相同警示：\(B_{\tau_a}=a\)，不能无条件从 \(\mathbb EB_t=0\) 推出 \(\mathbb EB_{\tau_a}=0\)。上面的长尾正好说明为何平均等待时间会出问题。

4.2 赌徒破产：先截断，再合法过极限

从本金 \(i\in\{1,\ldots,N-1\}\) 出发的对称游走，在到 \(0\) 或 \(N\) 时停止。有限链的吸收论证保证 \(\tau<\infty\) 几乎必然，且 \(0\le S_{\tau\wedge n}\le N\)。由有界停时和支配收敛，

\[ i=\mathbb ES_\tau=N\,\Pr_i(S_\tau=N), \qquad \Pr_i(S_\tau=N)=i/N. \]

对鞅 \(S_n^2-n\) 先在 \(\tau\wedge n\) 停止：

\[ \mathbb E(\tau\wedge n)= \mathbb ES_{\tau\wedge n}^2-i^2\le N^2. \]

左侧用单调收敛，右侧的平方用有界支配收敛，得到 \(\mathbb E\tau=\mathbb ES_\tau^2-i^2=Ni-i^2=i(N-i)\)。 这样没有先假定未知的期望有限再用它证明自己。

5. 几何布朗运动：一个明确的模型

设 \(S_0>0\)、\(\mu,\sigma\) 为常数，定义

\[ S_t=S_0\exp\!\left((\mu-\sigma^2/2)t+\sigma B_t\right). \]

正态矩母函数给出

\[ \mathbb ES_t=S_0e^{\mu t},\qquad \operatorname{Var}(S_t)=S_0^2e^{2\mu t}(e^{\sigma^2t}-1). \]

减去 \(\sigma^2/2\) 是精确的指数矩补偿：\(\mathbb Ee^{\sigma B_t}=e^{\sigma^2t/2}\)；Jensen 不等式只能解释方向，不能单独给出这个系数。后续 Itô 引理会说明此过程满足 \(dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dB_t\)。

这个模型具有独立正态的对数增量；\(S_t\) 自身的增量通常既不独立也不平稳。这样的分布假设不等同于“有效市场”。在 Black–Scholes 模型中，还须区分真实概率下的漂移和风险中性定价测度下的漂移，并另给市场与无套利假设，不能从本页一个指数式就推出定价结论。

随机扩散方程也使用 \(dB_t\)，但数值生成算法可能采用随机 SDE、确定性概率流 ODE 或其他离散更新。不能断言每次 AIGC 采样都在生成一条布朗轨道。数学连接在于噪声的建模与离散化，具体算法须看实际方程。

6. 例题与练习

例 1：零概率条件如何读？ \(B_2\mid B_1=x\) 的一个正则条件分布版本为 \(N(x,1)\)，因此在该连续高斯条件核下， \(\Pr(B_2>1\mid B_1=1)=1/2\)。因为 \(\Pr(B_1=1)=0\)，这里不是把两个事件概率直接相除。

例 2：协方差。 \(\operatorname{Var}(B_1+B_3)=1+3+2\min(1,3)=6\)；独立的是不重叠增量，不是 \(B_1\) 与 \(B_3\)。

练习 1：为什么“密度比概率大”并不矛盾？

对 \(a=1\) 的首次通过密度，求它达到最大值的时间，并解释密度与 CDF 的单位。

展开推导

\(\log f(t)=-\tfrac12\log(2\pi)-\tfrac32\log t-\tfrac1{2t}\)， 导数为 \(-3/(2t)+1/(2t^2)\)，所以峰值在 \(t=1/3\)。一般阈值峰值在 \(a^2/3\)，密度峰高按 \(1/a^2\) 缩放，可以超过 \(1\)。CDF 无单位且在 \([0,1]\)；密度有“每单位时间”的量纲，只有积分才是概率。

练习 2：两端都没越界，桥会不会越界？

固定 \(x=y=0,a=1\)，比较区间长度 \(1\) 和 \(1/4\) 的条件越界概率。

展开推导

代入桥公式分别得到 \(e^{-2}\approx.135335\) 和 \(e^{-8}\approx.000335463\)。缩短观察间隔且端点保持远离阈值，会大幅减小区间内漏检概率；线性插值在两种情况下都为零，却不能替代条件随机桥。若端点接近阈值，公式中的 \((a-x)(a-y)\) 也会变化，不能只看时间间隔。

练习 3：哪个停止论证成立？

比较“对称游走在首次到达 \(+1\) 时停止”与“在首次到达 \(-m\) 或 \(+1\) 时停止”，其中 \(m\) 是正整数。

展开推导

后一种停止位置有界，平移为区间 \([0,m+1]\) 的赌徒破产问题，从 \(m\) 出发，达到 \(+1\) 的概率为 \(m/(m+1)\)，达到 \(-m\) 的概率为 \(1/(m+1)\)。停止值期望是 \(m/(m+1)-m/(m+1)=0\)，平均时长为 \(m\)。让 \(m\to\infty\) 时，成功概率趋于 \(1\)，但罕见负值的幅度也增长，负向期望贡献并不消失。这正是缺少一致可积时不能交换极限与期望的具体机制。

依据与延伸：MIT 的反射原理与首次通过讲义、MIT 的鞅与可选停时讲义。进一步学习：Itô 积分、随机微分方程、Black–Scholes 模型。这些基础页仍须分别建立积分、解和模型条件，不以“一瞥”代替后续课程。