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随机过程 III · Markov 链（二）：平稳分布与收敛

上一页问"怎么走"，本页问"走到最后停在哪"。答案是一个分布而非一个点：平稳分布——链的长期时间份额。这一页也是本站含金量最高的应用出口之一：Google 的 PageRank 和统计计算的 MCMC，都是"造一条链、取它的平稳分布"。

图 stoch-03.1Markov 链状态分类：常返/暂态/吸收态的状态转移图（点 + 带权箭头）。

1. 平稳分布

定义行向量 \(\pi\)（\(\pi_i \geq 0, \sum\pi_i = 1\)）满足

\[ \pi P = \pi \]

——以 \(\pi\) 为初始分布则永远保持 \(\pi\)（"流入 = 流出"的全局平衡）。

线性代数身份（高代 V 全面上岗）：\(\pi\) 是 \(P\) 关于特征值 \(1\) 的左特征向量（归一化）。行随机矩阵必有特征值 1（\(P\mathbf{1} = \mathbf{1}\)），且谱半径 \(= 1\)（圆盘定理）；Perron–Frobenius 定理（不可约非负矩阵）保证特征值 1 简单、对应特征向量可取正——平稳分布存在唯一性的代数根源。

求法：解 \(\pi P = \pi\) + 归一化（\(n\) 个未知数、方程组秩 \(n-1\)，归一化补一条）。

2. 极限定理（本页顶点）

定理（基本极限定理） 不可约、非周期、正常返（有限状态时不可约即自动正常返）的链：

\[ \lim_{n\to\infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j \quad (\text{与出发点 } i \text{ 无关}),\qquad \pi_j = \frac{1}{\mu_j} \]

遍历定理（时间平均 = 空间平均）：不可约正常返链上，\(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(X_k) \xrightarrow{a.s.} \sum_i \pi_i f(i)\)——沿一条轨道数频率，就能得到平稳分布的期望（大数定律的 Markov 版；MCMC 合法性的直接依据）。

3. 可逆链与细致平衡

细致平衡条件：存在分布 \(\pi\) 使

\[ \pi_i\, p_{ij} = \pi_j\, p_{ji} \quad \forall i, j \]

（每对状态间的双向流量相等——比 \(\pi P = \pi\) 的全局平衡更强：两边对 \(i\) 求和立得平稳性。）满足者称可逆链（倒放录像分布不变）。价值：细致平衡是逐对的方程，验证/构造都比全局平衡容易得多——这个"容易"正是 MCMC 的支点。

4. 两大应用出口

PageRank（把互联网当 Markov 链）：网页 = 状态，随机冲浪者以 \(\frac{1}{\text{出链数}}\) 均匀点链接，另以概率 \(1 - d\)（阻尼 \(d \approx 0.85\)）随机跳任意页（保证不可约非周期——收敛定理的条件是设计进去的）。网页排名 = 该链的平稳分布 \(\pi\)：被重要页面链接的页面重要——递归定义恰由 \(\pi P = \pi\) 表达。求解就是幂法迭代 \(\pi^{(n+1)} = \pi^{(n)} P\)（数值分析页的幂法；收敛速度由谱隙控制）。

MCMC（Metropolis–Hastings 思想版）：想从复杂分布 \(\pi\)（只知未归一化值，如贝叶斯后验——概率 I）采样。反着用本页：构造一条以 \(\pi\) 为平稳分布的链，跑久了取样即可。构造法用细致平衡——从提议分布出一步 \(i \to j\)，以概率

\[ \alpha = \min\Big(1,\ \frac{\pi_j\, q_{ji}}{\pi_i\, q_{ij}}\Big) \]

接受（否则原地不动）。逐对验证细致平衡即知 \(\pi\) 平稳（两行代数，值得自己验）；归一化常数在比值中消掉——这就是 MCMC 能绕过归一化的全部秘密。🔗 贝叶斯统计的计算引擎；统计物理采样；扩散模型的祖先（score-based 采样的 Langevin 动力学是它的连续版，comfy 课 02 讲）。

5. 典型例题

例 1（求平稳分布全流程） 天气链 \(P = \begin{pmatrix} 0.8 & 0.2 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}\)。解：\(\pi P = \pi\)：\(0.8\pi_1 + 0.4\pi_2 = \pi_1 \Rightarrow \pi_1 = 2\pi_2\)；归一化得 \(\pi = (\frac23, \frac13)\)——长期 \(\frac23\) 的日子是晴天；平均隔 \(\mu_2 = 1/\pi_2 = 3\) 天下一场雨。

例 2（细致平衡秒解） 随机游走于图（在每个顶点均匀选一条邻边走）。验证 \(\pi_i \propto \deg(i)\) 满足细致平衡：\(\pi_i p_{ij} = \frac{\deg i}{2|E|}\cdot\frac{1}{\deg i} = \frac{1}{2|E|}\)，对称 ✓。——图上随机游走的平稳分布正比于度数（连通非二部图时收敛）；PageRank 是它的带跳转修正版。

例 3（判型再求解） \(P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)（确定性轮转）：不可约但周期 \(d = 3\)——平稳分布存在（\(\pi = (\frac13,\frac13,\frac13)\)，时间平均意义成立）但 \(p_{ij}^{(n)}\) 不收敛（永远轮转）。收敛定理里"非周期"不是装饰。\(\blacksquare\)

最后一页：从离散跳进连续——布朗运动与鞅，通往随机分析与金融数学的门。