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统计 IV · 假设检验

区间估计问"参数在哪"，假设检验问"这个断言站得住吗"。它的逻辑是统计版的反证法：先假设"没有效应"（原假设），若观测数据在此假设下概率小得离谱，就推翻它。本页三件事：把这套逻辑（两类错误、p 值）立严，给出正态总体检验全表，以及纠正 p 值的全民级误读。

1. 基本框架：统计反证法

要素：原假设 \(H_0\)（默认立场，"无差异/无效应"）vs 备择假设 \(H_1\)；检验统计量（在 \(H_0\) 下分布已知——又是统计 I 的仓库）；拒绝域（统计量落入则拒绝 \(H_0\)）。

两类错误：

	\(H_0\) 真	\(H_0\) 假
拒绝 \(H_0\)	第一类错误（冤枉好人），概率 \(\alpha\)	正确（功效 \(1-\beta\)）
不拒绝	正确	第二类错误（放走坏人），概率 \(\beta\)

\(\alpha\) 与 \(\beta\) 此消彼长（同一样本量下）；Neyman–Pearson 原则：先把 \(\alpha\) 钉死在小水平（0.05/0.01——"宁可放过不可冤枉"），在此约束下让 \(\beta\) 尽量小。地位不对称的后果："不拒绝 \(H_0\)" ≠ "接受 \(H_0\) 为真"——只是证据不足以推翻（无罪判决 ≠ 证明清白）。增大样本量是同时压两类错误的唯一通道。

流程五步：设 \(H_0/H_1\) → 选统计量 → 定 \(\alpha\) 查临界值 → 算样本值 → 落拒绝域则拒绝，报告结论。

2. p 值：定义与正确姿势

定义 p 值 = 在 \(H_0\) 为真的前提下，出现"不弱于当前观测"这么极端数据的概率。\(p < \alpha \iff\) 落入拒绝域——p 值是"检验结果的连续版"，报告 \(p = 0.003\) 比报告"在 0.05 下显著"信息量大。

⚠️ 全民级误读纠正（与统计 III 的置信区间误读并列）：

p 值不是 \(P(H_0 \text{ 为真} \mid \text{数据})\)——它是 \(P(\text{数据这么极端} \mid H_0)\)，方向反了（要算前者需要贝叶斯与先验，概率 I 的低基率陷阱在此原样重演：领域内真效应本来就稀少时，一堆 \(p<0.05\) 的"发现"可以大部分是假阳性）；
统计显著 ≠ 实际重要：样本量足够大时，0.0001 的真实差异也能做出 \(p < 0.001\)——报告效应量（差多少）与置信区间，不只报 p；
多重检验：做 20 次检验，纯噪声下期望约 1 次"显著"——筛选式分析必须校正（Bonferroni：\(\alpha/m\)）或明示探索性质。🔗 这三条合起来就是"可复现性危机"的统计学根源，也是你读实证论文（含金融研报回测）的防身术——回测挑出来的"显著策略"正是多重检验陷阱的重灾区。

3. 正态总体检验全表（与统计 III 的区间表同源对偶）

单总体（\(H_0: \mu = \mu_0\) 或 \(\sigma^2 = \sigma_0^2\)）：

目标	条件	统计量（\(H_0\) 下分布）	双侧拒绝域
\(\mu\)	\(\sigma\) 已知（z 检验）	\(Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\)	\(\lvert Z\rvert > z_{\alpha/2}\)
\(\mu\)	\(\sigma\) 未知（t 检验，主力）	\(T = \frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt n} \sim t(n{-}1)\)	\(\lvert T\rvert > t_{\alpha/2}(n{-}1)\)
\(\sigma^2\)	（χ² 检验）	\(\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n{-}1)\)	两尾

两总体：均值差用两样本 t 检验（方差相等时合并方差，自由度 \(n_1{+}n_2{-}2\)）；方差比用 F 检验 \(F = S_1^2/S_2^2\)（先 F 后 t：均值比较前先检验方差是否可视为相等）；成对数据用配对 t（对差值做单样本 t——每对共享的个体差异被差分消掉，功效更高；实验设计能配对就配对）。

单侧检验：\(H_1: \mu > \mu_0\) 时拒绝域改单尾 \(T > t_\alpha\)——单双侧由问题立场决定，必须在看数据前定好（看完数据再选单侧是作弊）。

检验 ↔ 置信区间的对偶：水平 \(\alpha\) 的双侧检验不拒绝 \(H_0: \theta = \theta_0\) \(\iff\) \(\theta_0\) 落在 \(1-\alpha\) 置信区间内——两套工具一枚硬币，统计 III 的表反过来就是本页的表。

大样本与比例：CLT 兜底照旧；比例检验 \(Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\)——A/B 实验的标准统计量。

4. 分布检验一瞥

χ² 拟合优度检验（数据是否服从某分布）：分 \(k\) 组，比较观测频数 \(O_i\) 与理论频数 \(E_i\)：

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \;\overset{H_0}{\sim}\; \chi^2(k - 1 - \text{估计的参数个数}) \]

（要求各组 \(E_i \geq 5\)，不足则并组。）列联表独立性检验同型（自由度 \((r-1)(c-1)\)）。正态性检验实务另有 Shapiro–Wilk / QQ 图，知其名。

5. 典型例题

例 1（t 检验全流程） 灯泡寿命标称 \(\mu_0 = 1000\)h，抽 \(n = 16\)：\(\bar X = 970,\ S = 60\)。在 \(\alpha = 0.05\) 下能否认为寿命不达标（\(H_1: \mu < 1000\)，单侧）？解：\(T = \frac{970 - 1000}{60/4} = -2.0\)；临界 \(-t_{0.05}(15) = -1.753\)；\(T < -1.753\) 落入拒绝域 ⇒ 拒绝 \(H_0\)，认为不达标（\(p \approx 0.032\)）。

例 2（先 F 后 t） 两工艺样本 \(n_1 = n_2 = 10\)，\(S_1^2 = 0.34, S_2^2 = 0.29\)：\(F = 1.17 < F_{0.025}(9,9) = 4.03\) ⇒ 方差无显著差异，可用合并方差 t 检验比较均值。

例 3（A/B 实验） 新旧页面转化率 \(\hat p_A = 0.062\ (n{=}5000)\)，\(\hat p_B = 0.055\ (n{=}5000)\)。解：合并 \(\hat p = 0.0585\)，\(Z = \frac{0.007}{\sqrt{0.0585 \times 0.9415 \times \frac{2}{5000}}} \approx 1.49\)，\(p \approx 0.14 > 0.05\)——提升 0.7 个百分点尚不显著，别急着上线庆功；要么加大样本，要么接受"证据不足"。（🔗 ai 课 10 讲私人测试集比模型、你的预测层复盘判断"命中是运气还是实力"，都是本页框架的应用场。）\(\blacksquare\)

最后一页：从"比较"走向"建模"——线性回归与方差分析，统计与机器学习的正式接壤处。