统计 III · 区间估计
点估计给"最佳猜测"，区间估计给"猜测 ± 不确定度"。技术上只有一招（枢轴量法），观念上有一个全民级误读要纠正。本页短小，但它的公式表是实验报告与论文里出镜率最高的统计工具。
1. 置信区间：定义与正确解读
定义 置信水平 \(1 - \alpha\) 的置信区间 \([\hat\theta_L, \hat\theta_U]\)（端点是统计量）满足
⚠️ 正确解读（高频误读，值得较真）：随机的是区间，不是参数。"95% 置信"指方法的长期频率——反复抽样造区间，约 95% 的区间会罩住真值；对算出来的具体一个区间，真值要么在要么不在，没有"95% 概率在里面"这回事（那是贝叶斯可信区间的语义，需要先验——概率 I）。实用心态：报告区间宽度=报告不确定度，窄区间才有信息量。
2. 枢轴量法（唯一的技术）
流程：1. 找枢轴量 \(G(X_1,\dots,X_n;\theta)\)——含 \(\theta\) 但分布完全已知（不含未知参数）；2. 对已知分布取分位点 \(P(g_{\alpha/2} \leq G \leq g_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha\)；3. 把不等式反解成 \(\theta\) 居中的形式。
枢轴量从哪来？统计 I 的抽样定理就是枢轴量仓库——那页的 1.2.4. 正是下表的三行。
3. 正态总体置信区间公式表（默写级）
| 目标 | 条件 | 枢轴量 | \(1-\alpha\) 区间 |
|---|---|---|---|
| \(\mu\) | \(\sigma^2\) 已知 | \(\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\) | \(\bar X \pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) |
| \(\mu\) | \(\sigma^2\) 未知（常态） | \(\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n} \sim t(n{-}1)\) | \(\bar X \pm t_{\alpha/2}(n{-}1)\dfrac{S}{\sqrt n}\) |
| \(\sigma^2\) | \(\mu\) 未知 | \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n{-}1)\) | \(\Big[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}},\ \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\Big]\) |
| \(\mu_1 - \mu_2\) | 两总体方差相等 | 合并方差 t | \((\bar X - \bar Y) \pm t_{\alpha/2}(n_1{+}n_2{-}2)\,S_w\sqrt{\tfrac{1}{n_1}{+}\tfrac{1}{n_2}}\) |
| \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) | — | \(F(n_1{-}1, n_2{-}1)\) | \(\Big[\dfrac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}},\ \dfrac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}}\Big]\) |
（χ² 与 F 区间不对称——这两个分布本身不对称；正态与 t 的区间是"点估计 ± 裕量"的对称形。）
4. 大样本区间（非正态总体的通行证）
CLT（概率 V）兜底：\(n\) 大时 \(\frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n} \overset{\cdot}{\sim} N(0,1)\)，第一行公式近似通用。比例区间（民调/A-B 实验的那个公式）：\(\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\)。
样本量设计（区间反着用）：要求半宽 \(\leq d\)，解 \(z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \leq d\) 得
精度加一倍 ⇒ 样本量四倍（\(1/\sqrt n\) 定律的又一次出场，概率 V Monte Carlo 同款）。
🔗 AI 衔接：模型评估的误差条——测试集准确率是比例估计，\(n\) 张测试卡片给出的准确率带着 \(\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\) 的先天噪声；两个模型准确率差 1% 而误差条 ±2% 时，"A 比 B 好"是噪声不是结论（ai 课 10 讲"自己的 10 道题"要配这个意识；正式对比走统计 IV 的检验）。
5. 典型例题
例 1（t 区间全流程） 某工艺 \(n = 16\) 次测得 \(\bar X = 503,\ S = 6\)，求 \(\mu\) 的 95% 置信区间。 解：\(\sigma\) 未知走 t：\(t_{0.025}(15) = 2.131\)，区间 \(503 \pm 2.131 \times \frac{6}{4} = [499.8,\ 506.2]\)。
例 2（方差区间） 同数据求 \(\sigma^2\) 的 95% 区间。 解：\(\chi^2_{0.025}(15) = 27.49,\ \chi^2_{0.975}(15) = 6.26\)，区间 \(\big[\frac{15 \times 36}{27.49}, \frac{15 \times 36}{6.26}\big] = [19.6,\ 86.3]\)。（宽得吓人——方差比均值难估得多，\(n=16\) 对方差推断是小样本。）
例 3（样本量设计） 民调想把支持率估到 ±3%（95% 置信），最坏情形 \(p = 0.5\)：\(n \geq \big(\frac{1.96 \times 0.5}{0.03}\big)^2 \approx 1068\)——新闻里民调样本量约一千的出处。\(\blacksquare\)
下一页：统计推断的另一半版图——假设检验：两类错误、p 值的正确姿势、正态总体检验全表。