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随机微积分 III · Black–Scholes、Greeks 与离散对冲

同一份到期支付，若能用股票与现金复制，今天应值多少？本页从这本自融资账出发，分别讨论无套利恒等式、连续模型的定价公式，以及有限次调仓的一条路径。它们回答不同的问题。

学习层：平价、价格、对冲误差不是同一项检验

设无股息股票价格为 \(S_t\)，执行价 \(K>0\)，到期时间 \(T\)。欧式看涨期权（call）支付 \((S_T-K)^+\)，看跌期权（put）支付 \((K-S_T)^+\)，其中 \(x^+=\max(x,0)\)。

先比较两个组合：

组合 到期支付
call + 到期支付 \(K\) 的债券 \((S_T-K)^++K\)
put + 一股股票 \((K-S_T)^++S_T\)

两边都等于 \(\max(S_T,K)\)，并非总等于 \(S_T\)。 例如 \(S_T=60,K=100\) 时，两个组合都支付 100；只有 \(S_T\ge K\) 时才都支付 \(S_T\)。

在可交易这些资产、可作相应多空组合且无套利的条件下，相同到期现金流必须有相同的今天价格。这给出 put-call parity：

\[ \boxed{C-P=S-Ke^{-r\tau}},\qquad \tau=T-t. \]

它尚未给出 \(C\) 和 \(P\) 各自是多少。要分别定价，还需模型或额外市场信息。

无 JavaScript 时的核算：取 \(S_0=K=100,r=0.05,\sigma=0.2,T=1\)，时间单位为年，利率连续复利，股票不支付股息。

量 数值或定义 应怎样解释
call 约 \(10.450584\) 模型价格
put 约 \(5.573526\) 模型价格
初始 delta 约 \(0.636831\) 股 复制组合的股票持仓
初始现金 \(C-\Delta_0S_0\)，约 \(-53.23248\) 负现金代表模型内借款
平价差 \(C-P=S_0-Ke^{-rT}\) 现金流恒等式
离散终点误差 \(V_T-(S_T-K)^+\) 一条有限网格路径的结果

把场景漂移 \(\mu\) 改掉，模型价格不变，路径和离散对冲误差却可变化。增加调仓次数时，还必须保留同一驱动路径，才能解释差异来自什么。

实验先记录四个预测，再开放参数。它把 384 个细区间的 Brownian 增量聚合到八个网格，所有网格具有相同终点股票值；提供 3 组固定种子、逐行现金账以及两种期权的 Greeks。有限路径的误差不保证随细分单调下降。

1. 模型前提与“风险中性”的含义

两个平价组合的共同支付，以及调仓前后的股票与现金价值守恒

上图把“股票跌到执行价以下”单独显露出来；下方现金账将在第 5 节展开。这两项核算都不需要随机模拟。

先在有限时段上取常数 \(r,\mu\) 和 \(\sigma>0\)：

\[ dS_t=\mu S_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t,\qquad dM_t=rM_t\,dt,\qquad S_0>0,\ M_0=1. \]

本页假设股票不支付股息，可以无摩擦连续交易、借贷和做空，使用可容许的自融资策略，并以这个 Brownian 驱动的信息为市场信息。在这个单噪声、可交易股票与银行账户的模型内，可建立完备性；若额外加入未交易的随机风险，不能自动声称整个市场仍完备。

可容许性排除靠无限借贷、加倍下注等病态策略制造的伪套利。有限交易成本、买卖价差、跳跃、随机波动率或融资限制会改变问题，本页公式是相应简化模型的结论。

1.1 改变测度没有改变到期合约

设 \(\lambda=(\mu-r)/\sigma\)。常数参数满足有限时段的指数可积条件，Girsanov 变换可取

\[ \frac{dQ}{dP}\bigg|_{\mathcal F_T} =\exp(-\lambda W_T-\tfrac12\lambda^2T), \qquad W_t^Q=W_t+\lambda t. \]

在等价测度 \(Q\) 下，股票满足

\[ dS_t=rS_t\,dt+\sigma S_t\,dW_t^Q. \]

这是给可复制现金流定价的测度，不是断言真实世界的收益漂移一定等于 \(r\)。实际/场景测度中的 \(\mu\) 仍影响路径概率。

当 \(\sigma=0\) 时，这个除以 \(\sigma\) 的变换不适用。若仍要求无摩擦无套利的确定性股票模型，就必须有 \(\mu=r\)；否则可利用两个不同的确定增长率构造套利。实验允许 \(\sigma=0,\mu\ne r\) 作为模型失配场景，并明确标注，不能把它读成上述无套利定理的适用例。

2. Delta 对冲必须交代调仓资金

令复制组合价值为

\[ V_t=\Delta_tS_t+\beta_tM_t. \]

自融资的含义是：买入新股票所需的现金来自组合内部，没有额外注资或提取。相应收益过程满足

\[ dV_t=\Delta_t\,dS_t+\beta_t\,dM_t =\Delta_t\,dS_t+r(V_t-\Delta_tS_t)\,dt. \]

若期权价值函数为 \(u(t,S)\)，并令 \(V_t=u(t,S_t)\)，Itô 公式给出

\[ du=\left(u_t+\mu S u_S+\tfrac12\sigma^2S^2u_{SS}\right)dt +\sigma S u_S\,dW_t. \]

比较随机项，必须取 \(\Delta_t=u_S(t,S_t)\)。再比较漂移项：

\[ u_t+\mu S u_S+\tfrac12\sigma^2S^2u_{SS} =\mu S u_S+r(u-Su_S), \]

所以得到 Black–Scholes PDE：

\[ \boxed{u_t+\tfrac12\sigma^2S^2u_{SS}+rSu_S-ru=0.} \]

看涨期权终端条件为 \(u(T,S)=(S-K)^+\)。虽然终端支付有折点，在 \(\tau>0,\sigma>0,S>0\) 的内点，定价函数有用于上述推导的光滑性。

不能直接漏掉动态持仓的微分。 若写 \(\Pi_t=u(t,S_t)-\Delta_tS_t\)，乘积公式给出 \(d(\Delta S)=\Delta\,dS+S\,d\Delta+d[\Delta,S]\)。把 \(d\Pi\) 写成 \(du-\Delta\,dS\) 而不解释自融资现金账，会遗漏调仓项。上面的复制组合推导正是为了把这一步说清楚。

3. 从正态分布算出价格

在风险中性测度下，

\[ S_T=S\exp[(r-\tfrac12\sigma^2)\tau+\sigma\sqrt\tau\,Z], \qquad Z\sim N(0,1). \]

贴现条件期望为

\[ C=e^{-r\tau}\mathbb E^Q[(S_T-K)^+\mid S_t=S]. \]

把事件 \(S_T>K\) 写成关于 \(Z\) 的阈值，再对正态密度配方，得到

\[ d_1=\frac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt\tau}, \qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt\tau, \]
\[ C=S\Phi(d_1)-Ke^{-r\tau}\Phi(d_2),\qquad P=Ke^{-r\tau}\Phi(-d_2)-S\Phi(-d_1). \]

\(\Phi\) 是标准正态累积分布，\(\phi=\Phi'\) 是其密度。\(\mu\) 消失是复制与风险中性结构的结果，不能理解为所有衍生品在任意模型下都与风险溢价无关。

3.1 平价不是一张万能的数值合格证

对于无股息欧式期权，同执行价、到期日与交割规则下，平价来自学习层的现金流复制，不需要假定股票一定服从 GBM。若存在股息、不同融资规则或提前行权，必须先重新写现金流。

另外有模型内的价格界：

\[ \max(S-Ke^{-r\tau},0)\le C\le S,\qquad \max(Ke^{-r\tau}-S,0)\le P\le Ke^{-r\tau}. \]

一个程序若先计算 \(C\)，再强制令 \(P=C-S+Ke^{-r\tau}\)，即使 \(C\) 算错，平价残差也可以是 0。因此需要独立价格参考、支付恒等式和边界检验。

3.2 很小的价格也不应被减没

深度价外期权的价格可能远小于两个正态尾项。粗略 CDF 近似或用两个接近的数相减，会把正价格算成 0，甚至负数。

实验采用另一条正值表示。令 \(D=Ke^{-r\tau}\)、\(m=\ln(S/D)\)、\(w=\sigma\sqrt\tau\)。看涨与看跌的共同时间价值为

\[ \operatorname{TV} =\frac{\sqrt{SD}}{\sqrt{2\pi}} \int_0^w \exp\!\left[-\frac{m^2}{2v^2}-\frac{v^2}{8}\right]dv. \]

积分下端按极限理解。由 Vega 对总波动率积分即可推出该式；零波动端的价格是折现内在价值。因此 \(C=(S-D)^++\operatorname{TV}\)、\(P=(D-S)^++\operatorname{TV}\)。 它避免直接相减两个尾概率，但也意味着屏幕上的平价残差仍只是一项代数一致性检查。

例如 \(S=40,K=180,r=0.05,\sigma=0.1,\tau=1\)，模型 call 约为 \(1.88196\times10^{-48}\)，仍为正。更极端的量若低于浮点可表示范围，数值 0 表示下溢，不是数学上的零价格证明。

4. Greeks：先固定变量，再说导数

内点公式如下。\(\Theta=\partial u/\partial t=-\partial u/\partial\tau\)，保持 \(S\) 固定；时间单位为年。Vega 是对波动率一个绝对单位的导数，\(\rho\) 对利率一个绝对单位求导；若要表示一个百分点的变化，一阶近似还要乘 \(0.01\)。

Greek call put
\(\Delta=\partial_Su\) \(\Phi(d_1)\) \(-\Phi(-d_1)\)
\(\Gamma=\partial_{SS}u\) \(\phi(d_1)/(S\sigma\sqrt\tau)\) 同 call
Vega \(=\partial_\sigma u\) \(S\phi(d_1)\sqrt\tau\) 同 call
\(\Theta\) \(-\frac{S\phi(d_1)\sigma}{2\sqrt\tau}-rD\Phi(d_2)\) \(-\frac{S\phi(d_1)\sigma}{2\sqrt\tau}+rD\Phi(-d_2)\)
\(\rho=\partial_ru\) \(\tau D\Phi(d_2)\) \(-\tau D\Phi(-d_2)\)

Greeks 是局部导数，不能把 \(\Delta\,\Delta S\) 当成任意幅度价格变化的精确结果；二阶近似还要考虑曲率和交叉项。

4.1 到期时：支付的折点不让所有导数都失效

当 \(\tau=0\)，价格就是支付。远离 \(S=K\)，call 的 delta 为 0 或 1，gamma 为 0；在 \(S=K\)，对 \(S\) 的普通导数不存在，实验显示 \(1/2\) 仅是约定，不能叫作唯一数学 delta。

但到期价格不依赖 \(\sigma\)，所以到期 Vega 恒为 0，包括平值处。 到期 \(\rho\) 也为 0。不能因为 \(d_1\) 不能代入，就把所有敏感度都标成不可用。

时间只允许从到期前靠近，故 Theta 要说明单侧口径。\(\sigma>0,S=K\) 时，价格含 \(\sqrt\tau\) 主项，Theta 没有有限的到期前极限；远离折点，call 的极限为价内 \(-rK\)、价外 0，put 对称。

若同时 \(\sigma=0,S=K\)，时间方向还取决于 \(r\)：call 的单侧 Theta 为 \(-\max(rK,0)\)，put 为 \(\min(rK,0)\)。不同方向的边界极限不要混为一个无条件公式。

4.2 零波动时：折点移到了折现执行价

当 \(\sigma=0,\tau>0\)，

\[ C=(S-D)^+,\qquad P=(D-S)^+. \]

远离 \(S=D\)，gamma 为 0，波动率右侧导数 Vega 也为 0。恰在 \(S=D\)，对 \(S\) 的普通 delta/gamma 不存在，但波动率的右侧导数存在：

\[ \left.\partial_{\sigma+}C\right|_{\sigma=0,S=D} =\left.\partial_{\sigma+}P\right|_{\sigma=0,S=D} =\frac{S\sqrt\tau}{\sqrt{2\pi}}. \]

此时 \(\rho\) 有折点；Theta 在 \(r\ne0\) 时也有时间方向的折点。若 \(r=0\)，价格不随 \(\tau\) 改变，Theta 为 0，不能一概标成不可用。

实验的零波动平值预设用 \(r=0,S=K\) 表示明确的等号。一般接近折现执行价时，机器计算的相等不是数学等号的证明；不能用一个任意容差把附近的非折点全部归类为折点。

5. 离散账本：每次买股的钱从哪里来？

在网格 \(0=t_0<\cdots<t_n=T\)，先用模型价格建立组合：

\[ \Delta_0=C_S(0,S_0),\qquad b_0=C(0,S_0)-\Delta_0S_0. \]

\(b\) 是现金金额，不是银行账户份数，也不是 Brownian 运动。进入下一时刻后，先计息，再调仓：

\[ \begin{aligned} b_{j+1}^{\mathrm{pre}}&=b_je^{r(t_{j+1}-t_j)},\\ q_{j+1}&=\Delta_{j+1}-\Delta_j,\\ b_{j+1}&=b_{j+1}^{\mathrm{pre}}-q_{j+1}S_{t_{j+1}},\\ V_{j+1}&=\Delta_{j+1}S_{t_{j+1}}+b_{j+1}. \end{aligned} \]

买入 \(q\) 股花费 \(qS\)；卖出时 \(q<0\)，现金增加。调仓前后组合价值不变，这才是自融资的逐行检查。

最后一行无需再买入到期 delta；实验保留到期前持股，按 \(S_T\) 计价，比较

\[ E_T=V_T-(S_T-K)^+. \]

在无摩擦模型里，到期卖掉股票只把股票价值变成现金，不会改变组合总值或这个误差。“不平仓才保留真正误差”不是正确解释。

5.1 同一驱动与误差方向

实验使用精确 GBM 网格值：

\[ S_{t_j}=S_0\exp[(\mu-\tfrac12\sigma^2)t_j+\sigma W_{t_j}]. \]

先生成细区间 Brownian 增量，再聚合到粗网格，所以所有调仓方案都在同一条采样路径上比较。折线只连接这些采样时刻，不表示区间内部的真实路径。

在足够光滑、远离终端折点且步长小的局部展开中，对冲组合相对期权的单步误差主项近似为

\[ \tfrac12\Gamma\sigma^2S^2\,[h-(\Delta W)^2]. \]

其中 \((\Delta W)^2\) 并不每次等于 \(h\)，所以误差有正有负。有限层级、单路径的绝对误差可以不单调；连续复制极限的论证还需要概率意义与可积性控制，尤其不能忽略到期附近的曲率。

6. 三道逐步核算题

题 1：平价组合到底支付什么？ 取 \(K=100\)，分别令 \(S_T=60,100,140\)，列出 call、put、call+债券、put+股票的支付。

展开：用三种到期状态核对
\(S_T\) call put call+\(100\) put+\(S_T\)
60 0 40 100 100
100 0 0 100 100
140 40 0 140 140

两个组合总是相同，支付为 \(\max(S_T,100)\)。它们不等于“总是持有一股股票”；在股价低于执行价时还有保护性支付。再把今天的债券价格换成 \(100e^{-r\tau}\)，得到平价。

题 2：借款账户是否被忽略了？ 初始 \(S_0=100\)、组合价值 \(10\)、持股 \(0.6\)。忽略本小题区间内的利息，下一时刻股价为 110，目标持股变成 0.7。调仓后现金与组合价值是多少？

展开：买入的 0.1 股必须付钱

初始现金 \(10-0.6\times100=-50\)。下一时刻调仓前组合值 \(0.6\times110-50=16\)。 买入 \(0.1\) 股花费 11，现金变为 \(-61\)；调仓后组合值 \(0.7\times110-61=16\)，没有凭空增值。 若把现金仍写成 \(-50\)，就偷偷注入了 11，不能再称为自融资。

题 3：平值处的 Vega 为什么有两个不同答案？ 比较 \(\tau=0,S=K\) 与 \(\tau>0,r=0,S=K,\sigma=0\)。

展开：固定到期时间，与从正期限靠近，是不同问题

到期时价格是 \((S-K)^+\)，与波动率无关，所以 Vega 为 0。 若 \(\tau>0,r=0,S=K\)，小波动率下 \(C=S[2\Phi(\sigma\sqrt\tau/2)-1] =S\sigma\sqrt\tau/\sqrt{2\pi}+O(\sigma^3)\)， 所以在 \(\sigma=0\) 的右侧 Vega 为 \(S\sqrt\tau/\sqrt{2\pi}>0\)。 再让 \(\tau\downarrow0\)，它也趋于 0，并不矛盾。缺少普通 delta 的空间折点，不会自动破坏对其他变量的导数。

7. 参考与下一步

随机微积分三页至此形成一条联系：Itô 描述路径上的函数变化，扩散方程描述概率分布，自融资复制把路径变化变成价格方程。后续研究跳跃、随机波动率或交易摩擦时，应先检查这条推导中的哪一项假设发生了变化。