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随机微积分 I · 二次变差与 Itô 引理

布朗运动处处不可微（随机过程页的结论）——经典微积分对它全面失效。随机微积分重建一套能对布朗运动积分求导的演算，核心只有一条新公理：\((dB)^2 = dt\)。由它长出 Itô 引理——本课程往后每一页（SDE、Black–Scholes、扩散模型）的发动机。

1. 为什么需要新微积分：二次变差

布朗运动的二次变差趋于 t — 图 1.1布朗运动的二次变差 \(\sum(\Delta W)^2\) 收敛到确定的 \(t\)（不像光滑函数趋于零）——正是这条使 Itô 引理多出 \(\frac12 f'' dt\) 一项。

回顾：布朗运动 \(B_t\)：独立增量、\(B_t - B_s \sim N(0, t-s)\)、路径连续但处处不可微（增量 \(\sim\sqrt{\Delta t}\)，差商 \(\sim 1/\sqrt{\Delta t}\) 爆炸）。

二次变差（新公理的出处）：把 \([0, t]\) 分成 \(n\) 段，考察增量平方和：

\[ \sum_{i}\big(B_{t_{i+1}} - B_{t_i}\big)^2 \;\xrightarrow[n\to\infty]{L^2}\; t \]

证明思路（两行）：每项期望 \(= \Delta t_i\)，和的期望 \(= t\)；方差 \(= \sum 2\Delta t_i^2 \to 0\)（正态四阶矩）——和收敛到常数 \(t\)。\(\blacksquare\)

对比：光滑函数的二次变差为零（\(\sum(\Delta f)^2 \sim \sum (\Delta t)^2 \to 0\)）。布朗运动的平方增量不可忽略且是确定的——微分记号

\[ \boxed{(dB)^2 = dt, \qquad dB\,dt = 0, \qquad (dt)^2 = 0} \]

这三行乘法表是整门课的新增内容，其余全是老微积分带着它重跑一遍。

2. Itô 积分

定义思想：\(\int_0^t f(s)\,dB_s = \lim \sum f(t_i)\big(B_{t_{i+1}} - B_{t_i}\big)\)——被积函数在左端点取值。这不是品味是原则：\(f(t_i)\) 只能用到 \(t_i\) 之前的信息（适应性/不可预见性——赌注必须在开牌前下好；金融语义：交易策略不能偷看未来价格。你预测层的 forward-only 铁律，在此是定义的一部分而非附加纪律）。

两条基本性质：

鞅性：\(E\big[\int_0^t f\,dB\big] = 0\)（左端点取值 × 零均值增量——"公平赌博的累积盈亏期望为零"）；
Itô 等距：\(E\Big[\big(\int_0^t f\,dB\big)^2\Big] = E\Big[\int_0^t f^2\,ds\Big]\)——随机积分的"勾股定理"（\(L^2\) 理论的地基，方差可算）。

（Stratonovich 积分一嘴：取中点的另一种定义，保持经典链式法则但失去鞅性——物理惯用；金融与概率统一用 Itô，两者可互换转换。）

3. Itô 引理（随机世界的链式法则）

定理 \(X_t\) 满足 \(dX = \mu\,dt + \sigma\,dB\)，\(f(t, x)\) 二阶光滑，则

\[ df(t, X_t) = \Big(f_t + \mu f_x + \frac{1}{2}\sigma^2 f_{xx}\Big)dt + \sigma f_x\,dB \]

推导（就是带新乘法表的 Taylor 展开）：

\[ df = f_t\,dt + f_x\,dX + \frac12 f_{xx}(dX)^2 + \cdots \]

经典微积分里 \((dX)^2\) 是高阶小量直接扔；现在 \((dX)^2 = \sigma^2(dB)^2 + \cdots = \sigma^2\,dt\) 是一阶量必须保留——多出来的 \(\frac12\sigma^2 f_{xx}\,dt\) 就是Itô 修正项，随机微积分与经典微积分的全部差异浓缩于此。\(\blacksquare\)

修正项的直觉：\(f\) 凸时（\(f_{xx} > 0\)），噪声的上下抖动经过凸函数后平均向上（Jensen 不等式的瞬时版）——漂移凭空多出一块。

4. 两个必会计算

例 A（\(B^2\) 的反常）：\(f = x^2\)，\(\mu = 0, \sigma = 1\)：

\[ d(B_t^2) = 2B_t\,dB_t + dt \quad\Longleftrightarrow\quad \int_0^t B\,dB = \frac{B_t^2 - t}{2} \]

经典答案 \(\frac{B^2}{2}\) 被修正了 \(-\frac t2\)——鞅性验证：右边期望恰为 0 ✓（经典答案期望 \(\frac t2 \neq 0\)，暴露它不是 Itô 积分）。

例 B（几何布朗运动，金融页的主角提前登场）：解 \(dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dB\)。对 \(f = \ln S\) 用 Itô（\(f_x = \frac1S, f_{xx} = -\frac{1}{S^2}\)）：

\[ d\ln S = \Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)dt + \sigma\,dB \;\Rightarrow\; S_t = S_0\exp\Big[\Big(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma B_t\Big] \]

那个 \(-\frac{\sigma^2}{2}\)：波动率对复利增长的隐形税（Itô 修正项的镜像——\(\ln\) 凹，抖动平均向下）。实感：年化收益 ±20% 交替的资产，算术平均 0%，实际年化 \(\approx -2\%\)——波动本身吞噬复利，"波动率拖累"是每个投资者该会算的第一笔随机微积分账。

5. 典型例题

例 1（Itô 引理练手） 求 \(d(e^{B_t})\)：\(f = e^x\)，\(= e^{B}\big(\frac12 dt + dB\big)\)——期望以 \(e^{t/2}\) 增长（对数正态均值 \(e^{t/2}\) 的微分版，概率 II 呼应）。

例 2（构造鞅） 证 \(M_t = B_t^3 - 3tB_t\) 是鞅：Itô 给 \(dM = 3B^2 dB + 3B\,dt - 3B\,dt - 3t\,dB = (3B^2 - 3t)\,dB\)——纯 \(dB\) 项、无漂移 ⇒ 鞅 ✓。"用 Itô 消漂移"是构造鞅的标准手法（下一页风险中性定价的技术核心）。

例 3（验证乘法表） \(d(tB_t) = B\,dt + t\,dB + \underbrace{dt\,dB}_{=0}\)——交叉项按乘法表归零，分部积分公式 \(\int_0^t s\,dB_s = tB_t - \int_0^t B\,ds\) 成立（此例无修正项：\(f = tx\) 对 \(x\) 线性，\(f_{xx} = 0\)——修正项只找弯曲的函数）。\(\blacksquare\)

下一页：让方程整个随机化——SDE、OU 过程与 Fokker–Planck 方程，并与扩散模型正式对账。