随机微积分 I · 二次变差与 Itô 引理

把一段波动的平方加起来，会留下什么？光滑路径的答案趋于零；布朗运动的答案却趋于经过的时间。Itô 公式里的二阶修正来自这个可证明的极限。\((dB)^2=dt\) 是它的记账方式。

1. 二次变差：先证明，再使用微分记号

1.1 分割必须真正变细

回顾布朗运动：\(B_0=0\)，增量独立且 \(B_t-B_s\sim N(0,t-s)\)，路径连续，几乎必然处处不可微。增量的均方根为 \(\sqrt{t-s}\)，但“差商的方差发散”本身不是处处不可微的完整证明。

固定 \(T>0\)，取确定性分割 \(\pi=\{0=t_0<\cdots<t_n=T\}\)，网格宽度为 \(|\pi|=\max_i(t_{i+1}-t_i)\)。定义

正态四阶矩给出 \(\operatorname{Var}[(\Delta B_i)^2]=2(\Delta t_i)^2\)，加上独立增量，

因此只要 \(|\pi_m|\to0\)，就有 \(Q_{\pi_m}\to T\) 于 \(L^2\)，从而依概率收敛。仅增加分割段数还不够：若始终保留一段长度为 \(T/2\) 的大区间，它的波动不会消失。

对等长 \(n\) 段，

这是总体分布的标准差，不是每条路径的误差上界。沿二分网格 \(n=2^m\)，Chebyshev 上界可求和，再用 Borel–Cantelli 可推出固定 \(T\) 处的几乎必然收敛；不能把 \(L^2\) 收敛直接改写成“对任意一切分割、每条路径都收敛”。

1.2 与连续有限变差路径对比

若连续路径 \(A\) 在 \([0,T]\) 上总变差有限，则

连续性使最大增量趋零。对 Brownian 部分与有限变差部分的交叉和，Cauchy–Schwarz 又给出 \(|\sum\Delta A_i\Delta B_i|\le[\sum(\Delta A_i)^2\sum(\Delta B_i)^2]^{1/2}\to0\) （依概率）。所以可写

简写成 \((dB)^2=dt\)、\(dt\,dB=(dt)^2=0\) 时，说的是细分后累加的极限贡献。单个 \((\Delta B)^2\) 仍然随机，绝不逐步等于 \(\Delta t\)。

2. Itô 积分：不读取未来的信息

固定满足通常条件的滤子 \((\mathcal F_t)\)，令 \(B\) 是相对于该滤子的 Brownian 运动；特别是未来增量独立于当前 \(\mathcal F_t\)。这比仅要求“\(B\) 本身有独立增量”更明确：不能提前把未来轨迹放进当前信息集。

对简单可预测过程

定义 \(\int_0^T H_s\,dB_s=\sum_i\xi_i\Delta B_i\)。系数在每段开始时已经确定。由于增量的条件均值为零，不同区间的交叉项期望为零，而

于是得到 Itô 等距

对可预测 \(H\) 满足 \(\mathbb E\int_0^T H_s^2ds<\infty\)，先在 \(L^2(\Omega\times[0,T])\) 中用简单过程逼近，再由等距定义积分的 \(L^2(\Omega)\) 极限。等距保证极限不依赖所选近似。得到的积分过程是平方可积鞅，均值为零。

不能把一般积分定义成任意左端采样。 对连续适应过程，在适当平方可积控制下可用左端阶梯近似；但一般 \(L^2\) 过程只按几乎处处等价类定义。例如确定性 \(H_s=\mathbf1_{\mathbb Q}(s)\) 的积分是 0；若分割端点全是有理数，机械取 \(H_{t_i}=1\) 的左和却是 \(B_T\)。这些阶梯过程没有在所需的 \(L^2\) 空间逼近 \(H\)。

若仅有 \(\int_0^T H_s^2ds<\infty\) 几乎必然，可用停时局部化构造积分，通常首先得到连续局部鞅。局部鞅不自动是真鞅；“微分中没有 \(dt\) 项”不足以保证期望恒定，仍要检查积分性或一致可积等条件。

3. Itô 公式：带二次变差的链式法则

设连续 Itô 过程

系数适当可测，且每个有限时段上 \(\int(|a_s|+b_s^2)\,ds<\infty\) 几乎必然；可预测版本用于随机积分。若 \(f(t,x)\in C^{1,2}\)，即时间一阶、空间二阶导数连续，则

它是积分恒等式的简写，并不是对处处不可微的 \(X_t\) 作经典求导。一般先局部化到系数、过程和导数受控的区间，再解除停时；公式本身不保证随机积分项有零期望。

3.1 二阶项为什么没有消失

形式 Taylor 展开提供计算路线：

在分割上求和后，有限变差平方和与交叉项消失，而扩散部分的加权平方和留下 \(\int b_s^2 f_{xx}(s,X_s)\,ds\)。真正的证明还须控制局部化后的 Taylor 余项，并在相应概率或积分范数中取极限；只写“\((dB)^2=dt\)”是推导提示，不替代这些步骤。

当 \(f\) 在空间上凸时，修正项 \(\tfrac12b^2f_{xx}\) 非负，说明波动经弯曲函数变换后产生额外的局部漂移。这没有声称总漂移非负：\(f_t+a f_x\) 也可能为负；无积分性时更不能直接对整个公式取期望。

3.2 乘积与多个噪声

若 \(dX=a\,dt+b\,dB\)、\(dY=c\,dt+d\,dB\)，则

两个变量共享同一噪声，交叉二次变差不能漏掉。若改为两个独立 Brownian 驱动，交叉二次变差为零；若联合 Brownian 驱动满足常相关系数 \(\rho\)，则 \(dB^1dB^2=\rho\,dt\)。高维 Itô 公式的二阶项是 Hessian 与扩散协方差矩阵的配对。含跳过程另有跳跃修正，不能原样套本页连续过程公式。

4. 左端与对称积分为何不同

对 \(f(x)=x^2\) 应用 Itô 公式，

也可以完全从有限和开始：\(B_{i+1}^2-B_i^2=2B_i\Delta B_i+(\Delta B_i)^2\)。望远镜求和后，左和为 \((B_T^2-Q_\pi)/2\)；二次变差极限提供那个 \(-T/2\)。

相反，梯形和逐项满足

其和直接为 \(B_T^2/2\)。连续半鞅情形可定义 Stratonovich 积分

对足够光滑的标量扩散系数 \(\sigma(x)\)，

Stratonovich 形式保留相应的经典链式法则，但并非任何被积过程都可无条件用“中点取值”定义。它的积分也不是一定不为鞅：确定性适当被积函数使交叉变差为零；而 \(\int B\circ dB=B_T^2/2\) 的期望为 \(T/2\)，这例确实不是鞅。两种约定都用于建模，应根据模型推导选择，不能仅按学科名称断定。

5. 几何布朗运动：先构造正解，再取对数

对常数 \(a,\sigma\) 和确定性 \(X_0>0\)，定义

该过程显然为正；对指数函数应用 Itô 公式，直接验证它满足 \(dX=aX\,dt+\sigma X\,dB\)。线性系数的全局 Lipschitz 条件给出唯一强解，因此再对 \(\ln X_t\) 使用 Itô 是合法的，而不是预先假定了待证的正性。

若 \(X_0=0\)，唯一解恒为零，不能取对数；若 \(X_0<0\)，同一指数表达式保持负号，可处理 \(\ln|X|\)，但它不再是通常的正量模型。实验仅开放正初值。

高斯矩母函数给出

所以 \(-\sigma^2/2\) 修正的是对数增长率；它没有把 \(\mathbb E X_t\) 的增长率从 \(a\) 改掉。这是明确模型内的均值与中位数区别，不能脱离假设推广成所有现实过程的增长定律。若相同书面漂移改用 Stratonovich 约定，解为 \(X_0e^{at+\sigma B_t}\)，其均值相应改变。

6. 数值实验究竟估计什么

6.1 三种更新

设 \(h=T/n\)，在所有方法中共享同一组 \(\Delta B_i\)。ODE Euler 用 \(X_{i+1}=X_i(1+ah)\)；Itô Euler–Maruyama 用

对本页标量线性 Stratonovich 模型，预测校正即随机 Heun 法可写为

EM 的乘子可能为负，因此粗网格数值解可能穿过零；实验保留这些值并报告负终点个数，不截断成零。Heun 乘子为 \([(u_i+1)^2+1]/2>0\)，在这个特定线性模型中保持正性；不能据此声称一般 SDE 的 Heun 方法都保正。

6.2 总体误差、样本估计与抽样误差

终点强 \(L^2\) 误差为

必须把数值解与真解放在同一噪声上比较。实验用 \(M=64\) 条配对路径的 RMS 估计它；单一路径绝对差也不是这个期望范数，更不是整个时间区间的最大误差。

弱误差依赖测试函数。这里固定 \(\varphi(x)=x\)，因此

独立增量使每步乘子的期望可以相乘。EM/ODE 的离散均值为 \(X_0(1+ah)^n\)；Heun 的为 \(X_0[1+ah+(a^2h^2+\sigma^2h)/2]^n\)。实验用这些公式计算弱均值误差，接近相等时用 \(\operatorname{log1p}\)、\(\operatorname{expm1}\) 的数值版本避免消减。

设 \(\bar X_h\) 为数值样本均值，则严格分解为

另外令 \(D_j=X_{T,j}^{(h)}-X_{T,j}\)，配对均差 \(\bar D\) 估计离散偏差。实验报告

这是把路径视为独立抽样时的样本标准误估计；固定伪随机样本和大尾部可能令估计不稳定，不能把 \(\bar D\pm2\,\widehat{\rm SE}\) 自动称为精确置信区间。直方图展示完整 64 个终点的频数，不是解析密度。

6.3 阶数的条件与退化情形

常见全局 Lipschitz、增长与时间正则条件下，EM 强 \(L^2\) 误差为 \(O(h^{1/2})\)；弱一阶还需相应系数和测试函数的光滑性、矩控制。强/弱数值收敛不同于强/弱解：强解在给定滤子与 Brownian 运动上构造；弱解允许概率空间与驱动一起作为待构造对象。

本页非零乘性噪声的 EM 通常展示强半阶，标量光滑 Stratonovich 随机 Heun 法通常展示强一阶；但 \(\sigma=0\) 时它们退化为确定性 Euler 一阶和 Heun 二阶。若同时 \(a=0,\sigma=0\)，解和更新均为常数，误差为零，谈拟合斜率没有意义。对 Itô 模型即使 \(a=0,\sigma>0\)，测试函数 \(x\) 的弱均值误差也恰为零，不能由此推出路径误差为零。

实验只对正误差点拟合有限层级斜率；零值另列，不在对数图上放一个人为地板。改变步长、样本量、种子可能改变拟合值，图中的一条直线不是一般定理的证明。

7. 三道逐步核算题

题 1：有限分割上“少掉的半个时间”在哪里？ 给定四个教学增量 \((0.5,-0.25,0.75,-0.5)\)，\(B_0=0,T=1\)，计算终点、二次变差、左端和、梯形和及 Itô 目标。不要假设这四个数已经满足 \(Q=T\)。

题 2：消掉漂移足够证明真鞅吗？ 对 \(M_t=B_t^3-3tB_t\) 应用 Itô，并补足有限时段上的积分性核验。

题 3：弱误差为零，数值法是否已经精确？ 取 Itô 模型 \(a=0,\sigma>0,X_0=1\)。比较 EM 的终点均值与方差。

8. 参考与下一步

• Lawler，Stochastic Calculus，第 2.8、3、4.1 节：二次变差、随机积分与局部鞅的系统论述。
• Higham，数值模拟 SDE 的算法导论：沿同噪声构造数值实验，并区别强收敛和弱收敛。

下一页：SDE、OU 过程与 Fokker–Planck 方程。本页追踪路径上的函数变换；下一页进一步问，一群路径的概率密度如何演化。