综合项目 · 从冷却后的温度反推初态

学习层：数据拟合得很好，为什么初始温度仍会错得很远？

1. 要恢复的是什么？

设想一根长 \(L=1\,\mathrm m\) 的细棒，初始加热结束后不再有持续热源。我们只在 \(t=1\,\mathrm s\) 读到 16 个内部传感器的温度，却想知道刚开始时哪里更热、哪里更冷。热扩散已经削弱了温度起伏；传感器还带有误差。直接把扩散“倒过来算”，会把什么一起放大？

用 \(u(x,t)\) 表示相对固定环境的超额温度，单位为 K；负值表示比环境冷。两端保持 \(u=0\)，热扩散率固定为 \(\kappa=0.01\,\mathrm{m^2/s}\)，忽略对流和辐射。本页先采用这套模型；模型错误留到后面的检验。

传感器位置是 \(x_j=jL/17\)，\(j=1,\ldots,16\)。只保留八种正弦形状，把初始读数写成

\(\mathbf a=(a_1,\ldots,a_8)^\mathsf T\) 是待恢复的八个系数，单位为 K。\(a_1\) 控制宽缓的起伏，较大的 \(k\) 对应更细的空间变化。这个归一化使离散列向量满足 \(Q^\mathsf TQ=I_8\)；它按 16 个传感器的求和内积归一化。连续曲线也使用同一个 \(\sqrt{2/17}\) 因子，不另换成连续 \(L^2\) 归一化。

热方程 \(u_t=\kappa u_{xx}\) 使第 \(k\) 种形状的系数乘上

指数无量纲：\(\kappa\) 的 \(\mathrm{m^2/s}\)、波数平方的 \(\mathrm{m^{-2}}\) 和时间的 \(\mathrm s\) 相消。定义 \(S=\operatorname{diag}(s_1,\ldots,s_8)\)，传感器观测便是

这里 \(\boldsymbol\epsilon\) 的 16 个分量独立服从 \(N(0,\sigma^2)\)，默认 \(\sigma=0.02\,\mathrm K\)。这是理论噪声模型；网页用协议规定的伪随机流复现一组构造样本。八模态假设限制了我们能重建的形状；它尚未描述完整的无限维逆热问题。

2. 先算两个模态，看噪声怎样进入答案

先做一个人工指定扰动的手算练习：仅令 \(a_1=6\,\mathrm K\)、\(a_6=0.20\,\mathrm K\)，其余系数为零。把观测投影为 \(\mathbf b=Q^\mathsf T\mathbf y\)，这一次指定投影扰动 \(\eta_1=0\)、\(\eta_6=0.02\,\mathrm K\)，其余为零。完整随机基准仍使用上一节的独立传感器噪声。

先预测：相同量级的读数误差，放到第 1 模态和第 6 模态上，会造成相同的初态误差吗？

因为 \(Q^\mathsf TQ=I\)，每个投影读数满足 \(b_k=s_ka_k+\eta_k\)。在 \(t=1\,\mathrm s\)：

第 6 模态的原始信号到观测时刻只剩 \(0.028637\times0.20\approx0.005727\,\mathrm K\)。把 \(0.02\,\mathrm K\) 的扰动一起除以 \(0.028637\)，初态系数就多出约 \(0.698399\,\mathrm K\)。算法确实解出了观测方程，但这个方程包含噪声。

3. 投影与奇异值：把“难恢复”写成一个数

令 \(A=QS\)。这是一个 \(16\times8\) 矩阵；由于 \(Q\) 的列正交归一、\(S\) 的对角元正且从大到小排列，

就是它的薄奇异值分解。此处的奇异值恰好是热衰减因子 \(s_k\)：输入第 \(k\) 个单位系数时，输出向量的长度只剩 \(s_k\)。在 \(t=1\,\mathrm s\)，\(s_8\approx0.00180617\)，因此

这个数描述八模态模型最容易与最难传递的方向相差多少。它不表示每一次重建误差都恰好放大 501 倍；实际误差还取决于扰动落在哪些方向。

正交投影还能解释为什么先计算 \(\mathbf b\) 不会丢掉可用于这个模型的拟合信息。将 \(\mathbf y\) 分成 \(Q\mathbf b\) 和与 \(Q\) 的列空间垂直的部分，勾股关系给出

第二项不随 \(\mathbf a\) 改变，所以最小化原始 16 个读数的残差，等价于最小化八个模态的残差。它也提醒我们：即使把八个模态完全拟合，16 个传感器的残差通常仍非零。

4. 最小二乘解存在，稳定性仍可能很差

支持的时间范围内所有 \(s_k>0\)，无正则最小二乘解唯一：

由 \(\boldsymbol\eta=Q^\mathsf T\boldsymbol\epsilon\) 和正交归一性，

投影本身没有增加每个模态的噪声方差；逆运算中的除法才造成放大。观测越晚，高频 \(s_k\) 越小。这是数值反演中的关键区别：方程有唯一解，并不保证数据稍变时答案也只稍变。

在本页的八模态模型内，传感器上的初态误差还可直接由系数计算：

所以刚才两模态手算的初态 RMSE 约为 \(0.174600\,\mathrm K\)。分母 4 来自 16 个传感器，与取了几个非零模态无关。

5. 从目标函数求导，得到 Tikhonov 滤波器

如果不允许反演任意放大系数，可以增加一个系数大小惩罚：

这是零阶 Tikhonov 正则化。它惩罚系数幅度，不是空间导数；本协议也没有把残差除以 \(\sigma^2\)，因此不能在公式里另插一个噪声方差因子。\(s_k\) 与 \(\lambda\) 均无量纲，\(J\) 的单位为 \(\mathrm K^2\)。

各模态彼此分开，固定其余系数，对 \(a_k\) 求偏导：

二阶偏导 \(2(s_k^2+\lambda)>0\)，所以这个驻点就是该模态的唯一最小值。把答案与最小二乘并排写，变化更清楚：

当 \(s_k^2\gg\lambda\) 时，几乎保留直接反演；当 \(s_k^2\ll\lambda\) 时，显著压低这个不稳定方向。这样也会压低真实信号，因此要在偏差与噪声之间取舍。

在两模态手算中取手动 \(\lambda=0.001\)，得到 \(\widehat a_1\approx5.992700\,\mathrm K\)、\(\widehat a_6\approx0.404793\,\mathrm K\)，初态 RMSE 约为 \(0.051231\,\mathrm K\)。这一组数据的误差改善了；下一组数据是否仍改善，需要检验。

5a. 把“偏差与噪声”拆成可计算的两笔账

固定一个真实初态，只对新的测量噪声取期望。记某种对角反演的增益为 \(g_k\)，即 \(\widehat a_k=g_kb_k\)。对最小二乘、手动 Tikhonov、已经冻结的学习权重，分别取

在前向模型正确时，代入 \(b_k=s_ka_k+\eta_k\)：

第一项在反复测量时不变，是系统偏差；第二项随噪声改变且均值为零。展开平方，交叉项的期望为零，因此

对 Tikhonov，这两项分别是

它们的单位都是 \(\mathrm K^2\)。增加 \(\lambda\) 会降低方差，却通常增加非零信号的偏差平方。实际某次误差可以比这份期望大或小，不能把单条测试轨迹的误差当成方差。

将八项相加再除以 16，得到期望初态 MSE；其平方根是 \(\sqrt{\mathbb E[\mathrm{RMSE}^2]}\)，一般不等于 \(\mathbb E[\mathrm{RMSE}]\)。实验中的风险账本按当前真值和冻结的滤波器计算这份条件期望，只有模拟允许我们直接知道其中的 \(a_k\)。学习权重的训练样本不确定性没有被这份条件风险平均掉。

若真实扩散率与反演假设不同，只需回到真实生成方程：\(b_k=s_k^{\rm true}a_k+\eta_k\)。偏差改为 \((g_ks_k^{\rm true}-1)a_k\)，方差仍为 \(g_k^2\sigma^2\)。不能把模型失配误算成传感器噪声。

5b. 什么时候某个模态已很难辨认？

比较的是到达传感器的信号 \(\lvert s_ka_k\rvert\) 与投影噪声的标准差 \(\sigma\)，不是仅比较奇异值大小。两模态练习中，第六模态到达时只有 \(0.005727\,\mathrm K\)，小于默认噪声标准差 \(0.02\,\mathrm K\)。这说明单次读数信噪比较低，不是不可能识别的绝对阈值；更强的真实信号、独立重复测量或可信的结构约束都可能改变证据。

同一根棒、相同初态，做 \(r\) 次独立、同方差测量并取平均时，投影噪声方差变为 \(\sigma^2/r\)。但热衰减按 \(e^{-c k^2t}\) 下降；仅靠重复测量补偿高频损失可能代价很大。这也要求重复实验确实产生同一个初态、噪声确实独立。校准偏差不会自动按 \(1/\sqrt r\) 消失。

这里要分清两种困难。固定八模态且 \(t\) 有限时，逆映射是一个有界矩阵，只是条件数可能很大。若允许所有正弦模态，在固定 \(t>0\) 下，单位范数的第 \(k\) 个初态仍有单位大小，但其晚时刻范数 \(e^{-\kappa(k\pi/L)^2t}\to0\)。因此无限维逆算子在相应的 \(L^2\) 范数下不连续：任意小的观测变化可能对应有限的初态变化。截断到八模态与对这八个系数做正则化，是两个不同的建模决定。

图中的正则曲线画的是无量纲收缩因子 \(g_ks_k\)，不是逆向增益 \(g_k\)，也不是重建温度。它们分别回答“保留了多少真实信号”与“把读数放大了多少”；不要混用。

5c. 把这次手算带到更一般的逆问题

对一般矩阵 \(A=U\Sigma V^\mathsf T\)，先投影到左奇异向量，逐方向滤波，再由右奇异向量拼回解：

本页的 \(U=Q,V=I\) 只是让这三步可以看得很清楚。若问题不再对角化，可以把零阶 Tikhonov 写成增广最小二乘

这样可用 QR 或 SVD 求解，无须显式求逆或先形成可能放大条件数的 \(A^\mathsf TA\)。若希望惩罚空间粗糙度，则应明确换成 \(\lambda\lVert D x\rVert^2\) 并说明 \(D\) 的含义；不能把零阶幅度惩罚直接解释为导数惩罚。谱滤波的更一般讨论可参阅 Hansen 的正则化讲义，其中参数写为惩罚系数的平方，与本页的 \(\lambda\) 记号不同。

6. 先预测，再打开三种反演的共同实验

操作前先写下理由：

1. 从 \(t=0.5\) 改到 \(1.5\,\mathrm s\)，噪声强度相同，哪类空间细节更难恢复？
2. 增大手动 \(\lambda\)，为什么可能让曲线更平稳，却离真实初态更远？
3. 如果一个算法对 \(t+0.5\,\mathrm s\) 的温度预测很好，是否已证明它恢复了初态的高频细节？

实验还提供一个从训练轨迹学得的对角线性滤波器 \(\widehat a_k=w_kb_k\)。它只有八个权重，不是神经网络；其训练与分布变化问题在 AI 入口 展开。

7. 换一个情境，检查结论的边界

题 A：正则化一定更准吗？ 保持 \(t=1\,\mathrm s\)，现在没有噪声，且只有 \(a_6=6\,\mathrm K\) 非零。比较最小二乘与手动 \(\lambda=0.001\) 的重建。解释为什么上一节的排序不构成普遍定理。

题 B：如果热扩散率估错了呢？ 无噪声时，真实测试棒的 \(\kappa_{\rm true}=0.016\,\mathrm{m^2/s}\)，反演仍假设 \(\kappa_{\rm assumed}=0.01\,\mathrm{m^2/s}\)。写出直接反演的 \(\widehat a_k/a_k\)（假设 \(a_k\ne0\)），判断高频会被高估还是低估。

题 C：增加晚时刻读数，是否总能补回漏掉的空间模态？ 假设真实初态还允许出现 \(c\sin(17\pi x/L)\)，所有传感器仍在 \(x_j=jL/17\)。先不加噪声，在任意多个晚时刻读数，能否发现这个额外分量？

这个项目中的奇异值告诉我们哪些初态方向在观测中已经很弱，正则化则明确规定怎样处理这些方向。相同问题还会出现在模糊图像复原、层析成像和参数反演中：先写清前向模型、数据噪声与允许的解空间，再决定怎样求逆，以及用什么证据验证答案。