概率 II · 随机变量与分布
随机变量把"随机结果"翻译成"数"，从此微积分全套工具进场。本页两件事：分布的描述工具（分布函数/分布列/密度），以及常见分布全家福——每个分布都记三件事：它建模什么场景、参数含义、期望方差。
1. 随机变量与分布函数
定义 随机变量 \(X: \Omega \to \mathbb{R}\)（可测函数——每个事件 \(\{X \leq x\}\) 都在事件域内）。
分布函数 \(F(x) = P(X \leq x)\)。特征性质（是分布函数 \(\iff\) 三条全满足）：单调不减；右连续；\(F(-\infty) = 0, F(+\infty) = 1\)。区间概率 \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\)；单点概率 \(P(X = a) = F(a) - F(a^-)\)（跳跃高度，连续分布处处为零——连续型单点概率为 0 但不代表不可能）。
2. 离散型：分布列与四大分布
\(P(X = x_k) = p_k\)，\(\sum p_k = 1\)。
| 分布 | 分布列 | 场景 | \(E\) | \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| 0–1 分布 \(B(1,p)\) | \(P(X{=}1){=}p\) | 单次成败 | \(p\) | \(p(1-p)\) |
| 二项 \(B(n,p)\) | \(\binom{n}{k}p^k q^{n-k}\) | \(n\) 重独立试验成功数 | \(np\) | \(npq\) |
| 泊松 \(P(\lambda)\) | \(\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\) | 单位时间稀有事件数 | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 几何 \(G(p)\) | \(q^{k-1}p\) | 首次成功所需次数 | \(\frac1p\) | \(\frac{q}{p^2}\) |
| 超几何 | \(\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\) | 不放回抽样 | \(n\frac{M}{N}\) | — |
泊松定理（二项的极限）：\(n \to \infty,\ np \to \lambda\) 时 \(B(n, p) \to P(\lambda)\)——"大量机会 × 微小概率 = 泊松"，\(n \geq 100, np \leq 10\) 时近似可用。几何分布的无记忆性：\(P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)\)（离散唯一；"已经失败 m 次"不改变未来——赌徒谬误的数学反驳）。
3. 连续型：密度与四大分布
\(F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt\)；\(f \geq 0\)，\(\int f = 1\)；\(F' = f\)（连续点处）。
| 分布 | 密度 | 场景 | \(E\) | \(D\) |
|---|---|---|---|---|
| 均匀 \(U(a,b)\) | \(\frac{1}{b-a}\) 于 \((a,b)\) | 等可能区间 | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a)^2}{12}\) |
| 指数 \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) | \(\lambda e^{-\lambda x}\ (x>0)\) | 等待时间/寿命 | \(\frac1\lambda\) | \(\frac{1}{\lambda^2}\) |
| 正态 \(N(\mu, \sigma^2)\) | \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) | 大量因素叠加 | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
| Gamma / Beta | （形状族） | 等待 \(k\) 次事件 / \([0,1]\) 上的比例 | — | — |
指数分布的无记忆性（连续唯一）：\(P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)\)——"用过的和新的一样"，可靠性理论与排队论的基石（🔗 随机过程页 Poisson 过程的间隔）。
正态分布专栏（最重要的分布，单列）：
- 密度归一化依赖 \(\int e^{-x^2}dx = \sqrt\pi\)（数分 VI 的高斯积分在此上岗）；
- 标准化：\(X \sim N(\mu, \sigma^2) \Rightarrow \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\)，一切正态概率查标准正态表 \(\Phi\)：\(P(a < X \leq b) = \Phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})\)；
- 3σ 法则：落在 \(\mu \pm \sigma, 2\sigma, 3\sigma\) 内的概率约 \(68.3\%,\ 95.4\%,\ 99.7\%\)；
- 线性变换保正态：\(aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)\)；
- 为什么无处不在——中心极限定理（概率 V）给出解释；🔗 高斯噪声贯穿扩散模型全线（comfy 课 02 讲的每一个 \(\epsilon\)）。
4. 随机变量函数的分布
\(Y = g(X)\) 的分布：
- 离散：把 \(X\) 的取值代进 \(g\)，同值合并概率；
- 连续通用法（分布函数法）：\(F_Y(y) = P(g(X) \leq y)\) 化成关于 \(X\) 的区间概率，再求导。万能，优先掌握；
- 公式法（\(g\) 严格单调可导）：
（导数因子 = 一维 Jacobi——变量替换的"密度守恒"：\(|f_Y\,dy| = |f_X\,dx|\)。🔗 归一化流生成模型的核心公式就是它的多维版，行列式换成 Jacobi 行列式，数分 VI/V 呼应。）
必会两例：\(X \sim N(0,1) \Rightarrow Y = X^2 \sim \chi^2(1)\)（分布函数法，密度 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\)——统计页三大分布的起点）；\(F\) 连续严格增时 \(F(X) \sim U(0,1)\)（概率积分变换——一切随机数生成的原理：均匀数过 \(F^{-1}\) 得任意分布）。
5. 典型例题
例 1（正态概率） 某测量 \(X \sim N(10, 4)\)，求 \(P(8 < X \leq 14)\)。 解：标准化 \(P(-1 < Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0.9772 - (1 - 0.8413) = 0.8185\)。
例 2（泊松近似） 某书 500 页共 100 个错字，求某页至少 2 个错字的概率。 解：每页错字数近似 \(P(\lambda),\ \lambda = 0.2\)：\(P(X \geq 2) = 1 - e^{-0.2}(1 + 0.2) \approx 0.0175\)。
例 3（函数分布，分布函数法全流程） \(X \sim U(0, 1)\)，求 \(Y = -\frac{1}{\lambda}\ln X\) 的分布。 解：\(y > 0\) 时 \(F_Y(y) = P(-\frac1\lambda \ln X \leq y) = P(X \geq e^{-\lambda y}) = 1 - e^{-\lambda y}\)——指数分布。这正是"均匀数变指数数"的生成器公式（概率积分变换的实战版，Monte Carlo 模拟必备）。\(\blacksquare\)
下一页：多个随机变量同台——联合分布、独立性、卷积与二维正态。