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偏微分 I · 三大方程与分离变量法

数学物理方程 = 三个方程的故事：波动（双曲）、热传导（抛物）、Laplace/位势（椭圆）——物理世界的三种基本行为（振动、扩散、平衡）各由一型代言。本页立好分类与定解问题的框架，然后完整走一遍本科 PDE 的主打算法：分离变量法——数分 IV 的 Fourier 级数在此成为解方程的引擎。

1. 三大方程与分类

方程	形式	型	物理	性格
波动	\(u_{tt} = a^2 u_{xx}\)	双曲	弦振动、声波	信号以有限速度传播、守恒不磨损
热传导	\(u_t = a^2 u_{xx}\)	抛物	扩散、温度	瞬间抹平、不可逆、无穷传播速度
Laplace	\(u_{xx} + u_{yy} = 0\)	椭圆	稳态场、位势	无时间、内部由边界决定（复变 I 调和函数）

（二阶方程 \(Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots\) 按判别式 \(B^2 - AC\) 的正零负分双曲/抛物/椭圆——与圆锥曲线同名同源，高代 VI 二次型分类的 PDE 版。）

定解问题 = 方程 + 定解条件：初始条件（波动要 \(u, u_t\) 两个——二阶时间导；热传导要一个）+ 边界条件三型（Dirichlet 给值 / Neumann 给法向导数 / Robin 混合）。适定性（Hadamard）：存在、唯一、连续依赖数据——第三条在数值 I（条件数）与泛函 III（开映射定理）都打过照面，PDE 是它的原产地。

2. 分离变量法（完整流程，一遍走通）

热方程解的高频模式先衰减 — 图 1.1分离变量把解写成本征模式叠加，第 \(n\) 个模式按 \(e^{-n^2 t}\) 衰减——高频先被抹平，热方程天然"磨光"。

样板问题：两端固定的弦上热传导

\[ u_t = a^2 u_{xx},\quad u(0,t) = u(L,t) = 0,\quad u(x,0) = \varphi(x) \]

第一步（分离）：设 \(u = X(x)T(t)\)，代入除以 \(XT\)：

\[ \frac{T'}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \quad(\text{左边只依赖 } t\text{、右边只依赖 } x \Rightarrow \text{同为常数}) \]

第二步（特征值问题）：\(X'' + \lambda X = 0,\ X(0) = X(L) = 0\)。逐案讨论 \(\lambda \leq 0\) 只有零解；\(\lambda > 0\) 时非零解要求

\[ \lambda_n = \Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2, \qquad X_n = \sin\frac{n\pi x}{L}, \quad n = 1, 2, \dots \]

——边界条件把参数量子化成离散谱（"为什么吉他弦只发特定音高"的数学答案；这个"算子 + 边界条件 ⇒ 离散特征值与正交特征函数"的结构是 Sturm–Liouville 理论，其合法性由泛函 III 紧自伴算子谱定理背书）。

第三步（时间部分）：对每个 \(\lambda_n\)：\(T_n' = -a^2\lambda_n T_n \Rightarrow T_n = e^{-a^2\lambda_n t}\)（热方程各模态指数衰减，高频衰得快——\(\lambda_n \sim n^2\)：细节先消失，大势最后平——扩散的本性）。

第四步（叠加 + 配初值）：

\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\, e^{-a^2(n\pi/L)^2 t}\, \sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \]

系数由初值的 Fourier 正弦展开给出（正交性 + \(L^2\) 投影——数分 IV/泛函 II 在此上岗执勤）。

方法总纲：分离 → 特征值问题（空间）→ 时间模态 → 正交展开配初值。换方程只换第三步（波动方程给 \(T_n = \cos/\sin(a\sqrt{\lambda_n}\,t)\)——振荡不衰减，模态是驻波、音乐里的泛音列；Laplace 方程给指数/双曲函数）。换边界条件只换第二步的特征函数系（Neumann 给余弦系）。

3. 非齐次问题的两板斧

非齐次方程（有源项）：特征函数展开法——把源与解都按 \(\{X_n\}\) 展开，逐模态解 ODE（"无穷多个一维问题"）；
非齐次边界：先减去一个满足边界的简单函数（常取线性/稳态解），化归齐次——"平移标准化"套路。

4. 典型例题

例 1（波动方程分离变量） 两端固定弦，初位移 \(\varphi(x) = \sin\frac{\pi x}{L}\)、初速为零：只激发 \(n = 1\) 模态，\(u = \sin\frac{\pi x}{L}\cos\frac{a\pi t}{L}\)——纯基音驻波，节点不动、整体呼吸。

例 2（热方程完整流程） \(L = \pi, a = 1\)，\(\varphi(x) = x(\pi - x)\)：\(b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi x(\pi - x)\sin nx\,dx = \frac{4(1 - (-1)^n)}{\pi n^3}\)（奇数 \(n\) 存活），\(u = \sum_{n \text{ 奇}}\frac{8}{\pi n^3}e^{-n^2 t}\sin nx\)。\(t\) 稍大后 \(n = 1\) 一家独大——扩散的长期行为由最小特征值统治（与 Markov 链的谱隙、幂法收敛同一句话，随机过程 III/数值 II 呼应）。

例 3（Laplace 方程矩形域） \(u_{xx} + u_{yy} = 0\) 于 \([0,a]\times[0,b]\)，三边为零、\(u(x, b) = f(x)\)：分离变量给 \(u = \sum c_n \sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}\)，\(c_n\) 由顶边的正弦展开定——椭圆方程"边界数据渗透内部"的解析样本。\(\blacksquare\)

下一页：换一批更"物理"的武器——特征线、d'Alembert 行波、热核与 Fourier 变换，并在热核处与扩散模型正面相认。